Moderne Theoretische Physik f¨ ur Lehramtskandidaten

Institut f¨ur Theoretische Teilchenphysik

Moderne Theoretische Physik f¨ ur Lehramtskandidaten

WS 2015/16

Prof. Dr. U. Nierste

Dr. S. Schacht, Dr. M. Spinrath

Ubungsblatt 11¨ Abgabe: Mi, 20.01.2016 14:00 Uhr im Briefkasten Besprechung: Fr, 22.01.2016 Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf jedes Blatt Ihrer L¨osung und geben Sie auf der ersten Seite Ihre Tutorgruppe (Ort, Zeit, Name des Tutors) an.

Aufgabe 1 (5 Punkte):

a)(0.5 Punkte) Es seiAein linearer Operator auf dem VektorraumH(dimH=N). Aus der Vorlesung kennen Sie die MatrixdarstellungA_jk =he_j|A|e_kivonAbzgl. der Orthonormalbasis {|e₁i, . . .|e_Ni}. Beweisen Sie

A=X

j,k

A_jk|e_jihe_k| .

Hinweis: Zwei Operatoren sind identisch wenn sie die gleiche Matrixdarstellung haben.

b)(0.5 Punkte) Die Zust¨ande|xi,|yiund|φi= cosφ|xi+ sinφ|yibeschreiben linear pola- risierte Photonen mit den Polarisationsrichtungen e_x,e_y und cosφe_x+ sinφe_y. Betrachten Sie den Operator Pφ=|φihφ|. Berechnen Sie die Matrixdarstellung von Pφbzgl.{|xi,|yi}.

c) (1 Punkt) Licht sei in der Richtung cosαe_x + sinαe_y polarisiert und werde durch den Zustandsvektor|αi= cosα|xi+ sinα|yibeschrieben. Der Erwartungswert einer Messung der Polarisation in Richtung cosφex+ sinφey ist w_φ(α) = hα|P_φ|αi. Berechnen Sie diesen Erwartungswert sowie die Unsch¨arfe

∆P_φ(α) = q

hα|P_φ²|αi −w_φ(α)² . F¨ur welche α finden Sie maximale bzw. minimale Unsch¨arfe?

d)(1 Punkt) Links- bzw. Rechts-Zirkular polarisierte Photonen werden beschrieben durch

|Li= 1

√2(|xi+i|yi) , |Ri= 1

√2(|xi −i|yi) .

Der Basiswechsel von {|xi,|yi} nach {|Li,|Ri} werde durch einen linearen Operator U mit U|xi = |Li und U|yi = |Ri beschrieben. Zeigen Sie anhand der Matrixdarstellung von U, dassU unit¨ar ist.

e)(1 Punkte) Betrachten Sie die OperatorenPL=|LihL|undPR=|RihR|und berechnen Sie die Matrixdarstellungen vonP_L und P_R bez¨uglich der Basis {|xi,|yi}. SindP_L und P_R hermitisch? Berechnen Sie die Matrixdarstellungen von P_LP_R, P_RP_L sowie die Eigenwerte und Eigenvektoren vonPL und PR und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse.

f ) (1 Punkt) |Li und |Ri sind Zust¨ande mit Helizit¨at −1 und +1.¹ Sie sind also Eigen- zust¨ande des Helizit¨atsoperators H mit H|Li = −|Li und H|Ri = +|Ri. Berechnen Sie die Matrixdarstellung von H bzgl. {|xi,|yi} und bestimmen Sie die Erwartungswerte und Unsch¨arfen von H f¨ur die Zust¨ande|xi und |yi.

1Zur physikalischen Bedeutung: Die Helizit¨at ist die Projektion des Drehimpulses auf die Bewegungsrichtung des Photons.

Aufgabe 2 (5 Punkte):

Es seienA, B, C, X(t) und Y(t) lineare Operatoren auf einem endlich-dimensionalen Vek- torraum mit DimensionN.

a)(0.5 Punkte) Zeigen Sie: [AB, C] =A[B, C] + [A, C]B. b)(0.5 Punkte) Zeigen Sie: [A, B]^†= [B^†, A^†].

c)(1 Punkt) Zeigen Sie:

d

dt[X(t), Y(t)] = d

dtX(t), Y(t)

+

X(t), d dtY(t)

.

Dabei ist die Ableitung eines Operators definiert ¨uber seine Matrixdarstellung bez¨uglich einer (beliebigen) Orthonormalbasis{|e₁i, . . . ,|e_Ni}:

X(t) =

N

X

i,j=1

Xij(t)|e_iihe_j| ⇒ d

dtX(t) =

N

X

i,j=1

dX_ij

dt (t)|e_iihe_j| .

d)(1 Punkt) Es sei

X(t) =X0(t) =e^tABe^−tA , Xn+1(t) = [A, Xn(t)] ∀n∈N , (1) wobeiA undB nicht von tabh¨angen. Beweisen Sie durch vollst¨andige Induktion:

dⁿ

dtⁿX(t) =Xn(t) . (2)

e)(1 Punkt) Beweisen Sie mit (2) die Campbell-Baker-Hausdorff-Formel e^tABe^−tA=B+

∞

X

n=1

tⁿ

n!B_n , (3)

wobeiBn analog zu Xn(t) in (1) definiert ist.

f ) (1 Punkt) Betrachten Sie den Fall

A= 0 1 0 0

!

, B = b11 b12

b₂₁ b₂₂

!

und berechnen SieB_n f¨ur alle n∈N. Berechnen Sie auche^±tA und verifizieren Sie (3).