Übungen zur Topologie (Abschnitte 1.1-1.3) Blatt 1

Dr. Stephan Mescher SS 2020

Übungen zur Topologie

(Abschnitte 1.1-1.3) Blatt 1

Aufgabe 1 Sei D

⊂

^R2 die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und betrachte die Funktion

d: D

×

D

→

^R, d

(

x,y

) =

(

k

x

−

y

k

fallsxundylinear abhängig inR²,

k

x

k + k

y

k

sonst.

Hierbei bezeichne

k · k

die euklidische Norm aufR². a) Zeige, dassdeine Metrik aufDist.

b) Bestimme die offenen ¹₂-Kugeln bezüglichdum

(

0, 0

)

und

(

¹₂, 0

)

.

c) Zeige, dass die Einschränkung vondaufS¹

=

^∂Ddie diskrete Topologie induziert.

Aufgabe 2 Sei X :

=

C⁰

([

0, 1

]

,R

) = {

f :

[

0, 1

] →

^R

|

f ist stetig

}

. Wir wissen, dass zwei Metrikend_∞,d2 :X

×

X

→

^Rgegeben sind durch

d_∞

(

f,g

) = k

f

−

g

k

_∞

=

sup

x∈[0,1]

|

f

(

x

) −

g

(

x

)|

,

d2

(

f,g

) = k

f

−

g

k

_L²

=

s

Z ₁

0

(

f

(

x

) −

g

(

x

))

² dx.

Untersuche, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, wobei wir R mit der euklidischen Metrikdeukl

(

x,y

) = |

x

−

y

|

betrachten.

(1) id :X

→

Xistd∞-d2-stetig.

(2) id :X

→

Xistd2-d_∞-stetig.

(3) ev :X

→

^R, ev

(

f

) =

f

(

0

)

, istd_∞-d_eukl-stetig.

(4) ev :X

→

^Ristd2-deukl-stetig.

Aufgabe 3 SeienXundYtopologische Räume. Man beweise die folgenden Aussagen:

a) IstXmit der diskreten Topologie versehen, so ist jedes f :X

→

Ystetig.

b) IstYmit der diskreten Topologie versehen, so ist f : X

→

Ygenau dann stetig, wenn f lokal konstantist, d.h. wenn es zu jedemx

∈

Xeine UmgebungU

⊂

Xvonxgibt, so dass f

|

_U konstant ist.

c) Ist X mit der indiskreten Topologie versehen und Y ein metrischer Raum, so ist f :X

→

Ygenau dann stetig, wenn f konstant ist.

d) SindXundYbeide mit der indiskreten Topologie versehen, so ist jedes f : X

→

Y stetig.

Aufgabe 4

a) SeiXein topologischer Raum und seienA,B

⊂

X. Zeige, dass A˚

∩

B^˚

=

int

(

A

∩

B

)

, A¯

∪

B^¯

=

A

∪

B.

Finde Gegenbeispiele für die beiden Aussagen, die man erhält, wenn man

∪

und

∩

vertauscht.

b) Finde eine Teilmenge A

⊂

^R, für die die folgenden sieben Mengen paarweise ver- schieden sind:

A, A,˚ A,¯ A,¯˚ A,˚¯ A,˚¯˚ A.¯˚¯

c) ^∗Zeige, dass man durch weitere Iteration von ˚

·

und ¯

·

in b) keine zusätzlichen Men- gen mehr erhalten kann.

(Mit einem Sternchen markierte Teilaufgaben sind besonders schwierig.)

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