Übungen zur Topologie (Abschnitte 6.4-6.5, 7.1 (erster Teil)) Blatt 10

Dr. Stephan Mescher SS 2020

Übungen zur Topologie

(Abschnitte 6.4-6.5, 7.1 (erster Teil))

Blatt 10

Aufgabe 0 (zum Aufwärmen)

a) Gib eine Kategorie an, in der die Identitäten die einzigen Isomorphismen sind.

b) Seien

C

_und

D

Kategorien und

F

ein kovarianter oder kontravarianter Funktor von

C

nach

D

. Zeige, dass

F

jeden Isomorphismus auf einen Isomorphismus abbildet.

Aufgabe 1 Sei

C

eine Kategorie und

(

X_i

)

_i∈I eine Familie von Objekten von

C

. Ein Koprodukt oder eineSumme von

(

X_i

)

_i∈I ist ein Objekt S von

C

mit einer Familie von Morphismen

(

ϕ_i

)

_i∈I, wobei ϕ_i

∈

MorC

(

X_i,S

)

für allei

∈

I, so dass folgendes gilt:

Für jedes ObjektYvon

C

und jede Familie

(

f_i

)

_i∈Ivon Morphismen mit f_i

∈

_MorC

(

X_i,Y

)

für allei

∈

I gibt es ein eindeutigesg

∈

MorC

(

S,Y

)

, so dassg

◦

ϕ_i

=

f_ifür allei

∈

I.

S

g

X_i

ϕi

OO

fi //Y

a) Man beweise: Je zwei Koprodukte derselben Familie von Objekten in einer Katego- rie sind stets isomorph.

b) Zeige, dass jedes Paar von Objekten in der Kategorie Top_∗ ein Koprodukt besitzt und bestimme dieses.

Aufgabe 2 Sei X ein topologischer Raum. Zeige, dass PX

=

C⁰

([

0, 1

]

,X

)

homoto- pieäquivalent zuXist.

Hinweis: Verwende geeignete Resultate aus Abschnitt 4.5.

Aufgabe 3 SeiXein topologischer Raum undF :

[

_{0, 1}

]

²

→

Xeine stetige Abbildung.

Definiereα,β,γ,δ

∈

PX durch

α

(

s

) =

F

(

s, 0

)

, β

(

s

) =

F

(

1,s

)

, γ

(

s

) =

F

(

0,s

)

, δ

(

s

) =

F

(

s, 1

) ∀

s

∈ [

0, 1

]

.

Zeige, dassα

∗

βundγ

∗

δweghomotop sind. (Hierbei sollte es sehr helfen, sich zunächst eine Skizze davon aufzumalen.)

Aufgabe 4 SeiXein topologischer Raum undx₀

∈

X. Zeige, dass es eine Bijektion π₁

(

X,x₀

) →

^1:1 π₀

(

_Ω

(

X,x₀

))

gibt, wobeiπ₀wieder die Menge der Wegzusammenhangskomponenten bezeichne.

Hinweis: Verwende Satz 4.55 und eine geeignete Adjunktionsabbildung.

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