Als weitere Vorbereitung zur Diskussion des eigentlichen Modells bietet sich die Erklä-rung des Verhaltens der SDA im Gleichgewicht an. Wie bereits in Kapitel 4 gezeigt, ergibt sie sich als Grenzfall der NSDA für verschwindende Kopplung des rechten Ferro-magneten an die übrigen Schichten. Die SDA wurde in anderen Arbeiten bereits sehr intensiv diskutiert [105, 119, 120], daher soll an dieser Stelle nur ein knapper Überblick über ihre wesentlichen Eigenschaften gegeben werden. Der Schwerpunkt liegt dabei na-türlich auf solchen Eigenschaften, die sie mit der NSDA gemeinsam hat.
Die Parameter der SDA sind neben der Gitterstruktur die Besetzungszahl n, das Ver-hältnis von Coulomb-Wechselwirkungsstärke zur BandbreiteU/W und die Temperatur T. Als Gitterstruktur wird das dreidimensionale kubisch raumzentrierte Gitter (bcc) verwendet. Für die spätere Diskussion ist vor allem das Verhalten der Magnetisierung von Interesse. Es wird sich zeigen, dass SDA und NSDA größtenteils qualitativ ähnliche Ergebnisse liefern. Daher ist es durchaus sinnvoll, die einzelnen Parameterabhängigkei-ten zuerst für die einfachere SDA zu verstehen und anschließend erst zu dem vollen Nichtgleichgewichtsproblem überzugehen.
Praktisch alle Eigenschaften der SDA können anhand ihrer Quasiteilchenzustandsdich-te (QDOS) diskutiert und verstanden werden. In Abb. 5.3 ist sie für den in der Bild-unterschrift angegebenen Parametersatz dargestellt. Zusätzlich wurde noch die Mean Field-Zustandsdichte zu Vergleichszwecken eingezeichnet. Eine wesentliche Eigenschaft der SDA ist, dass sie die beiden Spinbänder in die sogenannten Hubbard-Bänder bei E≈T0 und E≈T0+U aufspaltet. Die Mean Field-Näherung führt andererseits nur zu einer starren Verschiebung der Bänder. Die Aufspaltung in die beiden Hubbard-Bänder
5.2 SDA im Gleichgewicht
Abbildung 5.3: Quasiteilchenzustandsdichte in SDA- und Mean Field-Näherung. Para-meter:n= 0.7,U = 4 eV,W = 2 eV,T0= 0 eV,T = 0 K
tritt, vom trivialen Fall U = 0 eV einmal abgesehen, für alle Parameterwerte auf. Es kommt lediglich zu einer Verschiebung von spektralem Gewicht zwischen den einzelnen Bändern (vgl. Abb. 5.4).
Im linken Bild von Abb. 5.5 ist die Magnetisierung in Abhängigkeit der Besetzungszahln dargestellt. Als Vergleichsgröße ist zusätzlich die Mean Field-Magnetisierung eingezeich-net. Offenbar verhalten sich beide Magnetisierungen qualitativ ähnlich: eine endliche Magnetisierung m =n↑−n↓ existiert erst ab einer bestimmten kritischen Besetzungs-zahl. Oberhalb dieser steigt die Magnetisierung monoton an und geht anschließend in die Sättigung m =n=n↑+n↓ über. Die Existenz einer solchen kritischen, minimalen Besetzungszahl ist unabhängig von der Näherung anhand des Modells relativ leicht ein-zusehen, da die Hubbard-WechselwirkungU niσni−σam GitterplatzRioffenbar nur dann von Null verschieden sein kann, wenn der Gitterplatz mit Elektronen unterschiedlicher Spinrichtung doppelt besetzt ist. Für geringe Teilchendichten ist die Wahrscheinlichkeit hierfür allerdings gering, wodurch der Hubbard-Term näherungsweise vernachlässigt wer-den kann. Damit ist dann natürlich auch eine spontane Magnetisierung ausgeschlossen.
Jede glaubwürdige Näherung des Hubbard-Modells sollte also erst oberhalb einer gewis-sen kritischen Besetzungszahl eine endliche Magnetisierung zeigen.
Ein Unterschied zwischen beiden Näherungen besteht darin, dass die kritische Beset-zungszahl nM FC ≈ 0.1 der Mean Field-Näherung deutlich kleiner ist als die der SDA (nSDAC ≈ 0.6). Darin spiegelt sich die bereits erwähnte Tatsache wider, dass die Mean Field-Näherung die Stabilität des Ferromagnetismus deutlich überschätzt. Außerdem geht die Mean Field-Magnetisierung oberhalb der kritischen Besetzungsdichte praktisch sofort in die Sättigung über. Bei der SDA ist der Bereich in dem zwar endliche
Magne-Abbildung 5.4: Quasiteilchenzustandsdichten in SDA-Näherung. Spin Up-QDOS sind als durchgezogene, Spin Down-QDOS als gestrichene Linien eingezeichnet.
In der linken Spalte sind sie für verschiedene Werte der Besetzungszahln, in der rechten für verschiedene Temperaturen T gezeigt. Das chemische Potential wird durch die geraden Linien symbolisiert. Parameter: U = 4 eV,W = 2 eV,T0 = 0 eV,n= 0.7 (rechts) und T = 0 K (links).
5.2 SDA im Gleichgewicht
Abbildung 5.5: Links: Magnetisierung als Funktion der Besetzungszahl n. Rechts: Ma-gnetisierung als Funktion der Coulomb-Wechselwirkungsstärke U. Die durchgezogenen Linien wurden jeweils mit der SDA-, die gestrichenen mit der Mean Field-Näherung berechnet. Parameter: U = 4 eV (links), n= 0.7 (rechts),W = 2 eV,T = 0 K
tisierung, aber noch keine Sättigung, d.h. 0 < m < n, vorliegt, deutlich größer. Auch dies ist ein Kennzeichen der verringerten magnetischen Stabilität der SDA gegenüber Mean Field. Dieses Verhalten lässt sich auch anhand der entsprechenden Quasiteilchen-zustandsdichten (linke Spalte in Abb. 5.4) nachvollziehen. Bei n = 0.6 existiert noch kein Magnetismus, daher ist auch kein Unterschied zwischen den beiden spinabhängigen Quasiteilchenzustandsdichten erkennbar. Dies ist erst bei den Bildern für höheresn der Fall. Mit steigender Besetzungszahl verlagert sich immer mehr spektrales Gewicht vom oberen ins untere Spin Up-Band. Das Spin Down-Band verhält sich genau umgekehrt.
Bei n ≈ 0.85 ist die Sättigung erreicht, d.h. es gibt gar keine besetzten Spin Down-Zustände mehr. Dadurch verschwindet auch das obere Spin Up-Band.
Auf analoge Weise lässt sich das Verhalten der Magnetisierung in Abhängigkeit der Wechselwirkungsstärke im rechten Bild von Abb. 5.5 verstehen. Für zu kleines U kann der Einfluss der Coulomb-Wechselwirkung gegenüber dem kinetischen Anteil vernach-lässigt werden und daher kann keine spontane Magnetisierung entstehen. Das kritische U, das benötigt wird, ist für Mean Field (UCM F ≈0.8 eV) etwas kleiner als für die SDA (UCSDA≈1.2 eV). Oberhalb der kritischen Wechselwirkungsstärke geht die Mean Field-Lösung wiederum sehr schnell in die Sättigung m=n über und hängt dann nicht mehr von U ab. Die SDA-Lösung steigt zwar ebenfalls an, erreicht ihren Sättigungswert aber erst deutlich später.
Genau genommen ist U alleine noch nicht sehr aussagekräftig. Der eigentliche Para-meter ist der Quotient U/W, also das Verhältnis von Coulomb-Wechselwirkung und Bandbreite bzw. Hopping. Um den Vergleich mit den später in diesem Kapitel zu dis-kutierenden NSDA-Ergebnissen zu erleichtern, wird die Abhängigkeit von diesen beiden Parametern jedoch getrennt behandelt. Am linken Bild von Abb. 5.6 erkennt man, dass sich die Magnetisierung in Abhängigkeit der BandbreiteW qualitativ genau umgekehrt wie in Abhängigkeit vonU verhält: für kleineW ist die Magnetisierung gesättigt, nimmt aber mit steigendem W ab, um dann oberhalb einer kritischen Bandbreite komplett
zu-Abbildung 5.6: Magnetisierung in Abhängigkeit der Bandbreite (links) bzw. der Tempe-ratur (rechts) in SDA- und Mean Field-Näherung. Im rechten Bild ist die Mean Field-Kurve aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht vollständig dargestellt. Parameter:n= 0.7, U = 4 eV, W = 2 eV (rechts), T = 0 K (links).
sammenzubrechen. Da der kinetische Term des Hamilton-Operators (3.1) proportional zuW ist, lässt sich der Hubbard-Term für großesW U und festgehaltenes U wieder-um näherungsweise vernachlässigen, wodurch eine spontane Magnetisierung unmöglich wird. Wie bereits bei den anderen Parametern beobachtet wurde, führt die Mean Field-Näherung auch in diesem Fall über einen deutlich ausgedehnteren Parameterbereich zu endlicher Magnetisierung, die auch durchgehend größer als die der SDA ist.
Die Abhängigkeit der Magnetisierung vom letzten Modellparameter, der TemperaturT, ist im rechten Bild von Abb. 5.6 gezeigt. Man erkennt eine typische, Brillouin-förmige Magnetisierungskurve: sie startet bei T = 0 K mit ihrem Sättigungswert, um dann mit steigender Temperatur stetig und monoton abzunehmen. Die Abnahme beschleu-nigt sich bei höherem T, was vor allem in der Nähe der Curie-Temperatur (TC ≈ 560 K für die in der Abbildung gewählten Parameter) klar zu erkennen ist. Die Mean Field-Magnetisierung ist aus Gründen der Übersichtlichkeit nur zum Teil dargestellt. In dem betrachteten Parameterbereich zeigt sie offenbar gar keine besondere Temperaturabhän-gigkeit. Qualitativ verhält sie sich allerdings genauso wie die SDA-Kurve, allerdings mit einemTC von über 100 000 K! Daher befindet sich der dargestellte Bereich noch in der Sättigung; eine Temperaturabhängigkeit würde man erst bei deutlich höheren Tempera-turen sehen.
Die temperaturabhängigen Quasiteilchenzustandsdichten sind in der rechten Spalte von Abb. 5.4 dargestellt. Zwischen den T = 0 K- und den T = 400 K-Bildern ist kaum ein Unterschied zu erkennen. Daher ändert sich auch die Magnetisierung in diesem Bereich nur sehr wenig. BeiT = 500 K hat die Asymmetrie zwischen den beiden Spinrichtungen dagegen schon deutlich abgenommen, indem spektrales Gewicht vom unteren ins obere Spin Up-Band und in umgekehrter Richtung für das Spin Down-Band verlagert wurde.
Bei T = 600 K, also oberhalb der Curie-Temperatur, ist, wie zu erwarten war, keine Spinabhängigkeit mehr vorhanden.