Ausgangspunkt der Beschreibung ist ein physikalisches System, das durch den folgenden zeitabhängigen Hamilton-Operator beschrieben werden soll:
H(t) =H+V(t) =H0+Hint+V(t) (2.1) Die Einzelterme des Hamilton-Operators sind dabei so gewählt, dass das Eigenwertpro-blem zu H0 exakt lösbar ist und Hint die Wechselwirkungen des Systems enthält. Der TermV(t) stellt eine zusätzliche Störung dar, die das System aus dem thermodynami-schen Gleichgewicht bringt. Er soll erst ab einem gewissen Zeitpunktt0 wirken, so dass sich das System für Zeitent < t0im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Die Art der Störung kann vielfältiger Natur sein. Einige Möglichkeiten wären z.B. ein elektrisches oder magnetisches Feld, ein Laserpuls oder die Kopplung von Regionen mit unterschied-lichen Temperaturen oder chemischen Potentialen. Insbesondere letztere Störung wird in dieser Arbeit von Interesse sein. Im Weiteren wird immer t0 → −∞ angenommen, d.h. die Störung wirke bereits eine unendlich lange Zeit. Durch diese Annahme wird die Formulierung des Formalismus deutlich vereinfacht, wobei sie allerdings den Nach-teil besitzt, dass dadurch eventuelle anfängliche Korrelationen des Systems komplett vernachlässigt werden [78]. Da in dieser Arbeit ausschließlich stationäre, d.h. zeitunab-hängige, Phänomene untersucht werden, spielen solche Korrelationen aber sowieso keine Rolle, daher ist ihre Vernachlässigung durchaus gerechtfertigt [60].
Die Berechnung von Erwartungswerten stellt eine zentrale Aufgabe der Vielteilchen-theorie dar, die mit Hilfe des Greenfunktionsformalismus gelöst werden kann. Dazu wird zunächst die kausale Greenfunktion definiert:
GcAB(t, t0) =−ihTA(t)B(t0)i (2.2) Dabei bezeichnen A und B quantenmechanische Operatoren in ihrer zeitabhängigen Heisenberg-Darstellung.T ist der Wicksche Zeitordnungsoperator:
TA(t)B(t0) =
(A(t)B(t0) fürt > t0
±B(t0)A(t) fürt < t0 (2.3) Er ordnet die Operatoren so an, dass der Operator mit der kleineren Zeit immer am weitesten rechts steht. Das Vorzeichen im Fall t < t0 hängt von der Art der Operato-ren ab: + gilt für bosonische, − für fermionische Operatoren1. Die spitzen Klammern in der Definition der Greenfunktion stehen für die thermodynamische Mittelung. Im Gleichgewicht lässt sie sich über die BeziehunghAi=Sp( ˆρA) mit Hilfe des statistischen Operators ˆρ berechnen. Für diesen existieren, je nach verwendeter thermodynamischer Gesamtheit, verschiedene analytische Ausdrücke [79].
Bei der Berechnung der Greenfunktion spielt die TemperaturT eine große Rolle.
Insbe-1Bosonische (fermionische) Operatoren beschreiben Teilchen mit ganzzahligem (halbzahligem) Spin.
Die hier verwendete Vorzeichenkonvention ist nicht zwingend, erweist sich üblicherweise aber als zweckmäßig [71].
2.1 Definition sondere der Fall T = 0 ist dabei hervorzuheben, da dort ein eindeutiger Grundzustand
|ψ0i existiert, in dem sich das System befinden wird, solange es nicht gestört wird.
Daher muss die thermodynamische Mittelung nur über diesen einen Zustand durch-geführt werden, was die Berechnung natürlich deutlich vereinfacht [71]. Bei endlichen Temperaturen ist dies nicht mehr möglich, da aufgrund von thermischen Anregungen auch höherenergetische Zustände besetzt werden können. Die Mittelung kann allerdings auf andere Weise vereinfacht werden, indem man nämlich erkennt, dass eine formale Ähnlichkeit zwischen dem, in die komplexe Zeitebene fortgesetzten, Zeitentwicklungs-operator U(t, t0) = exp(−i(H −µNˆ)(t−t0)) und dem großkanonischen statistischen Operator ˆρ = Ξ1exp(−β(H−µNˆ)) besteht. Dabei ist Ξ = Sp(exp(−β(H−µNˆ))) die großkanonische Zustandssumme, β = 1/(kBT) die inverse Temperatur, µ das chemi-sche Potential und ˆN der Teilchenzahloperator. Diese Erkenntnis ist der Ausgangspunkt des sogenannten Matsubara-Formalismus [80], der eine systematische Störungstheorie auch bei endlichen Temperaturen ermöglicht. Beide Versionen der Vielteilchentheorie sind sehr erfolgreich bei der Beschreibung der thermodynamischen Eigenschaften eines Systems im Gleichgewicht, versagen jedoch sobald das Gleichgewicht verlassen wird. Im Nichtgleichgewicht kann nämlich weder davon ausgegangen werden, dass das System sich durchgehend im Grundzustand befindet, noch dass der statistische Operator die übliche Gestalt hat. Somit ist eine Erweiterung des Formalismus nötig, die auf diese beiden An-nahmen verzichten kann.
Der erste Schritt zur Beschreibung des Nichtgleichgewichtsformalismus besteht in der Definition einer Nichtgleichgewichtsgreenfunktion (NEGF) [60, 73, 81, 62]:
GAB(t, t0) =−ihψ|TA(t)B(t0)|ψi (2.4) Diese Definition hat große Ähnlichkeit mit derjenigen der kausalen Gleichgewichtsgreen-funktion in Gl. (2.2). Der Unterschied besteht darin, dass die Mittelung nun über einen beliebigen Zustand|ψierfolgt. Dieser muss also selbst beiT = 0 nicht mit dem Grundzu-stand übereinstimmen. Um eine systematische Störungstheorie zu entwickeln ist das bis-her verwendete Heisenberg-Bild nicht sehr günstig. Eine bessere Wahl ist das Dirac-Bild, da dort die Dynamik der Operatoren allein durch den ungestörten Hamilton-Operator H bestimmt wird, während die Störung V(t) die zeitliche Entwicklung der Zustände bestimmt. Für die Transformationen zwischen den beiden Bildern gelten folgende Bezie-hungen [82]:
AH(t) =US−1(t, t0)U0(t, t0)AD(t)U0−1(t, t0)US(t, t0) (2.5)
|ψHi=US−1(t, t0)U0(t, t0)|ψD(t)i (2.6) wobei die IndizesH bzw.Djeweils für das Heisenberg- oder Dirac-Bild stehen.US(t, t0) ist der Zeitentwicklungsoperator im Schrödinger-Bild, der für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-OperatorenH die folgende Gestalt besitzt:
US(t, t0) =e−iH(t−t0) (2.7)
U0(t, t0) ist der freie Zeitentwicklungsoperator, der fast genauso wie US aussieht; man muss lediglich in der obigen Definition den vollen durch den freien Hamilton-Operator H0 ersetzen. Beide Zeitentwicklungsoperatoren haben folgende wichtige Eigenschaften:
U(t, t0) =U+(t0, t) =U−1(t0, t) (2.8) U(t, t0) =U(t, t1)U(t1, t0) ∀t1 (2.9) Weiterhin wird noch der Zeitentwicklungsoperator des Dirac-Bildes S(t, t0) benötigt.
Dieser lässt sich durch die bereits eingeführten Operatoren ausdrücken [82]:
S(t, t0) =U0−1(t, t0)US(t, t0)U0(t0, t0) (2.10) Setzt man diese Ausdrücke für die Operatoren in die Definition der NEGF ein, so ergibt sich:
GAB(t, t0) =−ihψH|TAH(t)BH(t0)|ψHi
=−ihψH|TnUS−1(t, t0)U0(t, t0)AD(t)U0−1(t, t0)US(t, t0)×
×US−1(t0, t0)U0(t0, t0)BD(t0)U0−1(t0, t0)US(t0, t0)o|ψHi (2.11) Zwischen den OperatorenAD undBD erkennt man den Dirac-Zeitentwicklungsoperator.
Da die Zustände im Heisenberg-Bild prinzipiell nicht von der Zeit abhängen, können sie ohne Probleme unter den Zeitordnungsoperator T gebracht und anschließend über Gl.
(2.6) in das Dirac-Bild transformiert werden:
GAB(t, t0) =−iTnhψD(t)|U0−1(t, t0)US(t, t0)US−1(t, t0)U0(t, t0)
| {z }
=1
AD(t)×
×S(t, t0)BD(t0)U0−1(t0, t0)US(t0, t0)US−1(t0, t0)U0(t0, t0)
| {z }
=1
|ψD(t0)io
=−iTnhψD(t)|AD(t)S(t, t0)BD(t0)|ψD(t0)io (2.12) Damit wurde das Problem schon deutlich vereinfacht. Allerdings ist dieser Ausdruck nach wie vor ein wenig problematisch, da die Zustände noch unter dem Zeitordnungsoperator stehen. Mit Hilfe der allgemeinen Definition des Zeitentwicklungsoperators
|ψD(t0)i=S(t0, t0)|ψD(t0)i (2.13) lässt sich dies ändern, indem der linke Zustand bis zur Zeitt=∞und der rechte Zustand bist=−∞entwickelt wird:
GAB(t, t0) =−iTnhψD(∞)|S(∞, t)AD(t)S(t, t0)BD(t0)S(t0,−∞)|ψD(−∞)io (2.14)
2.1 Definition Da |ψ0i ≡ |ψD(t = −∞)i zur kleinsten möglichen Zeit auszuwerten ist, würde der Zustand vom Zeitordnungsoperator ganz nach rechts geschoben. Analog dazu würde hψD(t=∞)|ganz nach links geordnet. Sie können daher unter dem Zeitordnungsopera-tor herausgezogen werden. Weiterhin können die OperaZeitordnungsopera-toren beliebig vertauscht werden, da der Zeitordnungsoperator sie am Ende automatisch in die richtige zeitliche Reihen-folge bringt. Ordnet man alle Zeitentwicklungsoperatoren nach links, können sie mit Hilfe der Beziehung (2.9) zusammengefasst werden2. Somit ergibt sich insgesamt für die Greenfunktion in Dirac-Darstellung:
GAB(t, t0) =−ihψ(∞)|T S(∞,−∞)A(t)B(t0) |ψ0i (2.15) Für die praktische Verwendung wird dieser Ausdruck allerdings immer noch problema-tisch sein, da der Zustand |ψ(∞)i üblicherweise nicht bekannt ist. Im Gleichgewicht wird dieses Problem durch das sogenannte Gell-Man-Low-Theorem gelöst [83]. Dessen Grundaussage lautet, dass das System nach (adiabatischem) Abschalten der Wechsel-wirkung wieder, bis auf einen eventuellen Phasenfaktor, in den ursprünglichen Zustand übergeht, d.h.
|ψ(∞)i ∝ |ψ0i. (2.16)
Der Phasenfaktor kann dabei durch entsprechende Normierung herausgekürzt werden.
Wesentliche Voraussetzung zum Beweis dieses Theorems ist, dass sich die Wechselwir-kung adiabatisch anschalten lässt, so dass das System zu jedem Zeitpunkt in seinem Grundzustand verbleibt. Außerhalb des thermodynamischen Gleichgewichts erscheint diese Annahme natürlich höchst fragwürdig. Da das System stark gestört wird, ist kaum davon auszugehen, dass es sich nach Abschalten der Wechselwirkung wieder im ursprüng-lichen Ausgangszustand befinden wird. Das Gell-Man-Low-Theorem kann also nicht ver-wendet werden, um den Zustand|ψ(∞)iauf|ψ0izurückzuführen. Die einzige Möglichkeit dies trotzdem zu erreichen, ist eine erneute Verwendung des Zeitentwicklungsoperators, da nach Definition offensichtlich gilt:
|ψ(∞)i=S(∞,−∞)|ψ(−∞)i=S(∞,−∞)|ψ0i (2.17) Durch Einsetzen dieses Zustands in den Ausdruck für die Greenfunktion erhält man
GAB(t, t0) =−ihψ0|S+(∞,−∞)TS(∞,−∞)A(t)B(t0)|ψ0i (2.18) Damit ist es also in der Tat gelungen den Zustand |ψ(∞)i zu eliminieren, aber dafür erscheint nun der zu mittelnde Ausdruck reichlich kompliziert. Bereits die Entwicklung der Gleichgewichtsstörungstheorie, in der aufgrund der Verwendung des Gell-Man-Low-Theorems nur ein Zeitentwicklungsoperator auftaucht, ist keine triviale Angelegenheit [71]. Letztlich lässt sie sich nur wegen den bereits erwähnten speziellen Eigenschaften
2Dabei tritt auch für fermionische Operatoren kein zusätzliches Vorzeichen auf, daS(t, t0) im Wesent-lichen aus dem NichtgleichgewichtstermV(t) besteht (vgl. Gl. (2.19)). Für Fermionen besteht dieser immer aus einer geraden Anzahl von Operatoren [71], wodurch es auch nur zu einer geraden Anzahl von Vertauschungen kommen kann.
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung der Keldysh-Kontur C
der Gleichgewichtssysteme, also der Eindeutigkeit des Grundzustands bei T = 0 bzw.
der formalen Ähnlichkeit zwischen Zeitentwicklungs- und statistischem Operator, über-haupt durchführen. Da beide Voraussetzungen im Nichtgleichgewicht nicht mehr gelten und zusätzlich noch ein zweiter Zeitentwicklungsoperator auftritt, erscheint das Pro-blem zunächst unlösbar. Und in der Tat bedurfte es eines Nobelpreisträgers, um den entscheidenden Schritt zur Lösung zu gehen. Julian Schwinger hatte die geniale Idee, beide Zeitentwicklungsoperatoren formal zu einem Konturordnungsoperator zusammen-zufassen [69]. Diese Idee wurde später von Keldysh übernommen, der sie in der hier vorgestellten Form verwendete [77].
Der rechte ZeitentwicklungsoperatorS(∞,−∞) stellt die Entwicklung des Systems vom Zeitpunkt t=−∞nach t=∞ dar, während der linke Zeitentwicklungsoperator genau die umgekehrte Richtung beschreibt. Die gesamte Entwicklung des Systems folgt somit der in Abb. 2.1 gezeigten Kontur. Da der linke Zeitordnungsoperator adjungiert wer-den muss, sind die Zeiten auf dem unteren Ast der Kontur antizeitgeordnet. Anhand der Bewegungsgleichung des Zeitentwicklungsoperators, die hier nicht explizit abgeleitet werden soll, lassen sich folgende Ausdrücke zeigen [82]:
S(∞,−∞) =Texp
−i Z ∞
−∞
dt V(t)
(2.19) S+(∞,−∞) = ˜Texp
i
Z ∞
−∞dt V(t)
(2.20) T˜ ist der Antizeitordnungsoperator, der die Operatoren genau in die umgekehrte zeitliche Reihenfolge wie der Zeitordnungsoperator bringt:
T˜A(t)B(t0) =
(A(t)B(t0) fürt < t0
±B(t0)A(t) fürt > t0 (2.21) Man kann somit die OperatorenS+(∞,−∞), S(∞,−∞) undT formal durch einen ein-zigen KonturordnungsoperatorTC ersetzen, der die Zeiten entlang der Kontur C ordnet.
Die Greenfunktion hat dann die folgende Gestalt:
GAB(t, t0) =−ihψ0|TCA(t)B(t0)|ψ0i, (2.22)
2.1 Definition wobei die Operatoren A und B nun wieder im Heisenberg-Bild stehen. Da |ψ0i der Zustand vor dem Einschalten der Störung V(t) ist, handelt es sich um einen Gleich-gewichtszustand. Daher kann die thermodynamische Mittelung mit Hilfe des üblichen statistischen Operators im Gleichgewicht durchgeführt werden. Damit gilt also:
GAB(t, t0) =−ihTCA(t)B(t0)i (2.23) Vergleicht man diesen Ausdruck für die NEGF mit der Definition der kausalen Gleichge-wichtsgreenfunktion in Gl. (2.2), so erkennt man eine große formale Ähnlichkeit zwischen beiden. Es muss lediglich der Zeitordnungsoperator durch den Konturordnungsopera-tor ersetzt werden. Dies ist einer der Hauptgründe für den großen Erfolg des Keldysh-Formalismus, da man alle Erkenntnisse, die man über die kausale Greenfunktion ge-sammelt hat, unmittelbar auf die NEGF übertragen kann, indem man diese Ersetzung vornimmt. Dies soll hier am Beispiel der Dyson-Gleichung beispielhaft vorgeführt wer-den. Das System befinde sich dazu zunächst im Gleichgewicht, beschrieben durch den Hamilton-OperatorH =H0+Hint, wobei wie üblich das Eigenwertproblem zuH0exakt lösbar sei undHintdie Wechselwirkungen enthalte, die eine exakte Lösung des Gesamt-problems unmöglich machen. Um eine zumindest approximative Lösung zu erhalten, postuliert man folgende Zerlegung:
hh[A, Hint]−(t);B(t0)iic≡ Z
dt1ΣcAB(t, t1)GcAB(t1, t0) (2.24) Sofern eine solche Zerlegung in die sogenannte Selbstenergie ΣcAB(t, t0) und die kausale Greenfunktion gelingt, ist das Problem praktisch gelöst. Man kann nämlich zeigen, dass die kausale Greenfunktion die Dyson-Gleichung [71]
GcAB(t, t0) =gcAB(t, t0) + Z ∞
−∞
dt1dt2gABc (t, t1)ΣcAB(t1, t2)GcAB(t2, t0) (2.25) erfüllt. Dabei ist gABc (t, t0) die (üblicherweise leicht berechenbare) Greenfunktion des freien Systems, das nur durch H0 beschrieben wird. Dies sind wohlbekannte Ergebnis-se der Gleichgewichtsvielteilchentheorie. Der Übergang zum Nichtgleichgewicht erfolgt durch die Ersetzung der Zeitintegration durch Integration entlang der Kontur C. Für die NEGF gilt somit eine analoge Dyson-Gleichung:
GAB(t, t0) =gAB(t, t0) + Z
C
dτ1dτ2gAB(t, τ1)ΣAB(τ1, τ2)GAB(τ2, t0) (2.26) Damit kann auch das entsprechende Nichtgleichgewichtsproblem als prinzipiell gelöst gelten, falls es gelingt eine (Nichtgleichgewichts-)Selbstenergie zu finden.
Für die konkrete Auswertung der NEGF muss unterschieden werden, auf welchem der beiden Konturäste sich die beiden Zeiten befinden. Da es sich um eine zweizeitige Funk-tion handelt, gibt es somit insgesamt vier Möglichkeiten die Zeiten auf den Ästen anzu-ordnen. Diesen vier Möglichkeiten entsprechen vier verschiedene Greenfunktionen. Be-zeichnet man den oberen Ast mitC1 und den unteren entsprechend mitC2, so lassen sie
sich folgendermaßen zusammenfassen:
GAB(t, t0) =
GcAB(t, t0) t, t0 ∈C1 G>AB(t, t0) t∈C2, t0∈C1 G<AB(t, t0) t∈C1, t0∈C2
G˜cAB(t, t0) t, t0 ∈C2
(2.27)
An dem Ausdruck (2.23) für die NEGF kann man unter Berücksichtigung des Umlauf-sinnes der Kontur folgende Ausdrücke für die Greenfunktionen auf der rechten Seite ablesen, die für fermionische OperatorenA und B gelten:
GcAB(t, t0) =−ihTA(t)B(t0)i (2.28) G>AB(t, t0) =−ihA(t)B(t0)i (2.29) G<AB(t, t0) = +ihB(t0)A(t)i (2.30) G˜cAB(t, t0) =−ihT˜A(t)B(t0)i (2.31) Auf dem oberen AstC1 sind die Zeiten zeitgeordnet, daher muss in der ersten Gleichung der Zeitordnungsoperator explizit auftauchen. In diesem Fall reproduziert die NEGF die bereits eingeführte kausale Greenfunktion. Falls die Zeiten auf verschiedenen Ästen liegen, ist der Zeitordnungsoperator nicht mehr nötig, da dann bereits per Vorausset-zung klar ist, welche Zeit zuerst durchlaufen wird, nämlich die auf dem oberen AstC1. Daher sind die Operatoren im Fall der sogenannten größeren GreenfunktionG>AB(t, t0) bereits in der richtigen zeitlichen Reihenfolge. Bei der kleineren GreenfunktionG<AB(t, t0) muss die Reihenfolge der Operatoren allerdings vertauscht werden, da t auf dem obe-ren Ast liegt und A(t) somit zuerst ausgeführt werden muss. Durch die Vertauschung entsteht das zusätzliche Vorzeichen. Auf dem unteren Ast werden größere Zeiten zuerst durchlaufen, daher müssen die Operatoren, um das korrekte Verhalten sicherzustellen, antizeitgeordnet werden, und es ergibt sich die antikausale Greenfunktion.
Im Gleichgewichtsformalismus spielen neben der kausalen noch die retardierten und avancierten Greenfunktionen eine zentrale Rolle. Deren Definitionen können auch im Nichtgleichgewicht unmittelbar übernommen werden [71]:
Gr(t, t0) =−iθ(t−t0)h[A(t), B(t0)]+i (2.32) Ga(t, t0) =iθ(t0−t)h[A(t), B(t0)]+i (2.33) Dabei bezeichnetθ(t−t0) die Stufenfunktion. Damit hat man sechs verschiedene Green-funktionen zur Verfügung. Allerdings erkennt man relativ schnell, dass sie nicht alle unabhängig voneinander sind. Durch Einsetzen ihrer Definitionen lassen sich folgende