5.8 Mean Field-Näherung für beide Ferromagnete
In den letzten Abschnitten wurde gezeigt, dass es mit Hilfe des vorgeschlagenen Modells und der NSDA-Näherung möglich ist, strominduziertes Schalten zu modellieren. Dabei stellt sich natürlich die Frage, ob dies auch mit anderen Näherungen für das Hubbard-Modell möglich wäre oder ob es sich unter Umständen lediglich um eine Eigenart der NSDA handelt. Um diese Frage zu beantworten, wird der rechte Ferromagnet in diesem Abschnitt, genau wie der linke, im Rahmen einer Mean Field-Näherung beschrieben. Die rechte Wechselwirkungsselbstenergie lautet also
Σrk
Rσ(E) =URhnR,−σi. (5.14)
Da es sich um eine reelle Größe handelt, verschwindet ihre kleinere Komponente, d.h.
Σ<k
Rσ(E) = 0 (vgl. Abschnitt 4.1). Alle Parameter werden wiederum wie in Tabelle 5.1 gewählt, um die Ergebnisse besser vergleichen zu können. Aufgrund der Form der Selbstenergie ist davon auszugehen, dassUR und die vorgegebene Besetzungszahlndie interessantesten Parameter sind, um die NSDA- mit der Mean Field-Näherung zu verglei-chen. In Abb. 5.40 ist zunächst das Magnetisierungsverhalten ohne anliegende Spannung dargestellt, um die relevanten Parameterbereiche zu identifizieren. Im linken Bild ist die Abhängigkeit von der rechten Wechselwirkungsstärke UR gezeigt. Die antiparallele Ma-gnetisierung zeigt das typische Mean Field-Verhalten: sie ist erst ab einem bestimmten kritischen UR≈0.27 eV stabil, sinkt anschließend zuerst schnell, dann etwas langsamer und geht bei UR ≈1.65 eV in ihren Sättigungswert über. Die parallele Magnetisierung verhält sich im großen ganzen genauso, außer zwischenUR= 0.27 eV undUR= 0.45 eV, da sie dort nicht stabil ist und das System unabhängig vom Startwert eine negative Ma-gnetisierung aufweist. Der Grund hierfür ist die Abstoßung aufgrund der Hybridisierung.
In diesem Bereich ist der rechte Ferromagnet nicht gesättigt, d.h. beide Spinrichtungen haben eine endliche Besetzungszahl hnR,↑i,hnR,↓i 6= 0. Dies führt aufgrund der Mean Field-Selbstenergie dazu, dass die Bandschwerpunkte beider Bänder oberhalb des frei-en Bandschwerpunkts T0,R liegen, der mit dem linken Bandschwerpunkt identisch ist.
Durch die Abstoßung mit dem linken Band wird das Spin Up-Band zu noch höheren Energien geschoben, während das Spin Down-Band nicht unmittelbar beeinflusst wird.
Diese Abstoßung ist nicht sehr groß, aber für kleine UR ist auch der Unterschied der beiden Bandschwerpunkte T0,R+URhnR,↑i und T0,R+URhnR,↓i entsprechend gering, wodurch die Abstoßung ausreicht, um sie aneinander vorbei zu schieben. Es stellt sich also eine negative Magnetisierung ein! Für höhereURwird der Abstand der Spinbänder im rechten Ferromagneten aber immer größer, so dass der Abstoßungseffekt nicht mehr ausreicht um die Bänder zu vertauschen. Positive Magnetisierung wird somit möglich.
Das rechte Bild zeigt die Magnetisierungskurven des rechten Ferromagneten als Funkti-on der Besetzungszahl. Offenbar stimmen sie für beide Orientierungen praktisch überein, und zeigen ein monoton wachsendes Verhalten mit steigender Besetzungszahl. Oberhalb von n≈0.15 sind beide Phasen stabil, darunter verschwindet die Magnetisierung. Aus-gehend von den Beobachtungen der UR-Magnetisierungskurven, sollte auch in diesem Fall die parallele Magnetisierung für kleine Besetzungszahlen instabil sein. Dies ist
al-Abbildung 5.40: Magnetisierung des rechten Ferromagneten in Mean Field-Näherung in Abhängigkeit der rechten WechselwirkungsstärkeUR(linkes Bild) bzw.
der Besetzungszahln(rechtes Bild) für beide Orientierungen ohne anlie-gende Spannung. Zum besseren Vergleich ist im rechten Bild der Betrag der antiparallelen Magnetisierung und zusätzlich noch die Magnetisie-rung des linken Ferromagneten eingezeichnet. Parameter aus Tab. 5.1.
lerdings nicht der Fall. Die Magnetisierung war bei einer vorgegebenen Besetzungszahl vonn= 0.7 zwischenUR≈0.3−0.45 eV instabil, das entspricht einer effektiven Wech-selwirkungsstärke vonURn≈0.21−0.32 eV. Im rechten Bild ist UR= 4 eV vorgegeben.
Um also dieselbe effektive Wechselwirkungsstärke zu erreichen, wären Besetzungszahlen zwischen n ≈ 0.05 und n ≈ 0.08 nötig. In diesem Bereich ist der linke Ferromagnet allerdings noch gar nicht magnetisch, daher ist in diesem Fall unabhängig vom Startwert allein die paramagnetische Lösung stabil. Für höhere Besetzungszahlen ist wiederum der Abstand zwischen den Spinbändern zu groß, so dass beide Phasen stabil bleiben.
Für die Diskussion des Schaltverhaltens sind also vor allem die Bereiche oberhalb von UR≈0.45 eV undn≈0.15 interessant. In Abb. 5.41 sind die Phasendiagramme darge-stellt. Anhand der Erklärung, die in Abschnitt 5.4 für das Auftreten des Hysteresever-haltens geliefert wurde, ist es nur für relativ kleine Werte der Coulomb-Abstoßung UR zu erwarten. Relativ klein bedeutet hierbei, dass der rechte Ferromagnet noch keine Sät-tigung zeigt, d.h. dass die beiden Spinbänder noch deutlich überlappen. Für höhereUR
entsteht dagegen eine Bandlücke zwischen Majoritäts- und Minoritätsband, die deut-lich größer ist als die Abstoßung aufgrund der Hybridisierung. Daher kann in diesem Bereich kein Schalten stattfinden. Diese Vermutung wird von dem linken Phasendia-gramm in Abb. 5.41 bestätigt. Unterhalb von UR≈0.45 eV liegt ohne Spannung keine spontane Magnetisierung vor. Somit ergibt sich durch den Zu- bzw. Abfluss von Spin Up-Elektronen für positive Spannungen eine positive, für negative Spannungen eine ne-gative Magnetisierung, wie es auch für die NSDA beobachtet wurde. ZwischenUR≈0.5 eV undUR≈1.75 eV tritt Hystereseverhalten auf. Oberhalb vonUR= 1.75 eV bleibt die parallele Orientierung allerdings für beliebig hohe negative Spannungen stabil. Nur die antiparallele Orientierung kann nach wie vor durch eine positive Spannung umorientiert werden. Das dazu nötige kritischeV wächst ungefähr linear mitUR. Dies ist, wie bereits
5.8 Mean Field-Näherung für beide Ferromagnete
Abbildung 5.41: Abhängigkeit der kritischen Spannung von der rechten Wechselwir-kungsstärke UR (links) bzw. der Besetzungszahl n (rechts) mit Mean Field-Näherung für beide Ferromagnete. Positive Spannungen gelten je-weils ausgehend von antiparalleler, negative Spannungen von paralleler Orientierung. Parameter aus Tab. 5.1.
das Zurückschalten der antiparallelen Orientierung bei niedrigen UL in der NSDA (vgl.
Abschnitt 5.6.2), eine Folge des Stromflusses. Durch Anlegen einer positiven Spannung an den antiparallel ausgerichteten rechten Ferromagneten wird er zu tieferen Energien geschoben. Da in diesem Fall das Spin Up- über dem Spin Down-Band liegt, führt dies dazu, dass die rechten und linken Spin Up-Bänder auf eine Höhe rutschen. Da das rech-te Spin Up-Band größrech-tenrech-teils unbesetzt ist, kommt es zum Stromfluss, d.h. es werden zusätzliche Spin Up-Elektronen in den rechten Ferromagneten tunneln. Durch die Selbst-konsistenz wird dieser Effekt noch verstärkt: aufgrund der höheren Spin Up-Besetzung rutscht das Spin Down-Band, das ja mitURhnR,↑iverschoben wird, ebenfalls zu höheren Energien, wodurch die Spin Down-Besetzungszahl reduziert wird. Dies wiederum ver-schiebt das Spin Up-Band zu tieferen Energien, womit hnR,↑i weiter erhöht wird usw.
Durch diesen Effekt kommt es letztlich zur Umorientierung des Ferromagneten. Da die Hybridisierungsabstoßung hierbei keine Rolle spielt, ist auch der Abstand zwischen den Spinbändern nicht entscheidend. Daher schaltet der Ferromagnet auch bei hohen UR. Das eigentliche strominduzierte Schalten, d.h. die volle Hysteresekurve, tritt allerdings nur bei kleinen bis mittleren UR auf. Dies steht im Gegensatz zur NSDA, die bei allen URoberhalb der kritischen Wechselwirkungsstärke, ab der eine spontane Magnetisierung möglich ist, Schaltverhalten vorhersagt (vgl. Abb. 5.19).
Auch das Phasendiagramm in Abhängigkeit der Bandbesetzung im rechten Bild von Abb. 5.41 zeigt ein ähnliches Verhalten. Für zu geringe Bandbesetzungen, bei denen noch kein selbstkonsistenter Magnetismus im rechten Ferromagnet existiert, wird das Auftre-ten der Phasen allein durch die Richtung des Stroms bestimmt. Das System orientiert sich also parallel für positive Spannungen und antiparallel für negative Spannungen. Ab etwa n = 0.2 wird die rechte Magnetisierung auch bei V = 0 endlich und das System zeigt Schaltverhalten, wobei die kritische Spannung, die zur Umorientierung nötig ist mit steigender Besetzungszahl ebenfalls zunimmt. Bereits bein= 0.4 stabilisiert sich die
par-allele Phase allerdings, so dass, wie im Fall großerUR, keine vollständige Hysteresekurve mehr vorliegt. Die Begründung dafür ist erneut, dass die effektive Wechselwirkungsstärke URn, und damit der Abstand der beiden Spinbänder, im Vergleich zum Abstoßungsef-fekt der Hybridisierung zu groß wird, so dass es nicht mehr zur Umorientierung kommen kann. Die antiparallele Phase kann aber weiterhin für alle Besetungszahlen geschaltet werden, was ebenso wie bei dem UR-Phasendiagramm verstanden werden kann, da es, sobald das Spin Up-Band des rechten Ferromagneten energetisch auf derselben Höhe wie das linke Spin Up-Band liegt, zum Zufluss von Spin Up-Elektronen und somit zur Reduzierung der negativen Magnetisierung kommt.
Es wurden in diesem Abschnitt somit zwei wesentliche Ergebnisse gewonnen. Zum einen ist strominduziertes Schalten auch möglich, wenn beide Ferromagnete in Mean Field-Näherung beschrieben werden. Es handelt sich also insbesondere nicht um ein Arte-fakt der NSDA, sondern um einen intrinsischen Effekt des Systems. Da alle bisherigen Theorien, basierend auf der Landau-Lifshitz-Gleichung, die Wechselwirkung auf Mean Field-Niveau behandelt haben, ist dieses Ergebnis wichtig für die Glaubwürdigkeit des Modells. Zum anderen tritt das Schaltverhalten in Mean Field aber nur bei schwacher bis mittlerer effektiver WechselwirkungsstärkeURn.1.2 auf. Im Gegensatz dazu ist die NSDA auch bei stark korrelierten Systemen, wie sie im Experiment verwendet werden, in der Lage den Schaltvorgang zu modellieren.