3.5 Alternative Tunnelkopplungen
3.5.3 Exakte Lösung ohne Wellenzahlerhaltung
dE ρ0(E)F(E) (3.98)
Dabei bezeichnet ρ0(E) = N1 PkM δ(E −kM) die freie Bloch-Zustandsdichte. Wegen den Dispersionen γ||,M und insbesondere γ⊥,M muss die zweidimensionale Wellenzahl-summation nun explizit ausgeführt werden. Dies stellt für die numerische Auswertung einen erheblichen Mehraufwand dar, da jede zusätzliche Integration die Rechenzeit um etwa den Faktor 1000 erhöht4. Darüberhinaus müssen die spinabhängigen Besetzungs-zahlen in jeder Schicht (abgesehen von den beiden Randschichten) selbstkonsistent und im Nichtgleichgewicht bestimmt werden. Die Zahl der Schichten, in die jede Region zer-legt werden muss, kann als zusätzlicher Parameter betrachtet werden. Allerdings sollten die aus dem Experiment bekannten Größenverhältnisse ungefähr eingehalten werden.
Für den Isolator würden also ein bis zwei Schichten reichen, da er in realen Tunnelstruk-turen typischerweise auch nur wenige Atomlagen dick ist [86]. Der rechte Ferromagnet müsste schon deutlich dicker gewählt werden, insbesondere da in zu dünnen Schichten Ferromagnetismus nicht sehr stabil ist [118]. Die beiden Kontakte, also der linke Ferro-magnet und der ParaFerro-magnet, sollen im Wesentlichen Bulk-Verhalten zeigen und müssen daher in entsprechend viele Schichten zerlegt werden. Daher sind für die gesamte Struk-tur schätzungsweise mindestens 20 Schichten zur Beschreibung realer TunnelstrukStruk-turen nötig. Ohne Supercomputer wird ein solches Modell kaum vernünftig auswertbar sein.
Das hier vorgeschlagene Modell mit teilweiser Wellenzahlerhaltung stellt somit eine aus numerischer Sicht deutlich überlegene Alternative dar.
3.5.3 Exakte Lösung ohne Wellenzahlerhaltung
Die Hybridisierung wurde bei der Auswertung des Modells in Abschnitt 3.3 nicht exakt, sondern nur im Rahmen der Annahmen (3.35) und (3.42), die im Folgenden als Diagonal-annahmen bezeichnet werden, behandelt. Die Konsequenzen dieser Annahmen wurden bereits diskutiert. Es bleibt die offene Frage, ob das Modell auch ohne diese Annahmen bezüglich der Hybridisierung exakt zu lösen ist. Im allgemeinen Fall wird dies wohl nicht möglich sein, da die Bewegungsgleichungen ohne die Annahme nicht mehr entkoppelt werden können. Aber für wellenzahlunabhängige HybridisierungenkMkX =M X ist eine exakte Lösung tatsächlich möglich, wie im Folgenden gezeigt werden soll. Ausgangspunkt ist die Bewegungsgleichung der nichtdiagonalen GreenfunktionGqRkRσ =hhcqRσ;c+k
Rσii des rechten Ferromagneten. Für sie gilt analog zu Gl. (3.21):
(E−qR−ΣqRσ)GqRkRσ =δkRqR+X
kI
RIGkIkRσ+X
kP
RPGkPkRσ (3.99) Die Greenfunktion GkPkRσ im letzten Term wurde bereits früher berechnet (s. Gl.
(3.26)), wobei die Diagonalnäherung nicht verwendet wurde. Daher kann sie
unmittel-4Die genaue Größenordnung ist von der vorgegebenen Genauigkeit abhängig.
bar übernommen werden. Nach Summation über alle Wellenzahlen des Paramagneten
Auch zur Bestimmung der zweiten gemischten Greenfunktion GkIkRσ können bereits bekannte Ergebnisse verwendet werden. Ihre Bewegungsgleichung lautet (vgl. Gl. (3.27)):
(E−kI)GkIkRσ =X Dabei wurde die Tunnelselbstenergie ∆Lσ = Pk
LILgkLσLI analog zu Gl. (3.34) de-finiert. Aufgrund der fehlenden Wellenzahlabhängigkeit der Tunnelkopplungen ist sie ebenfalls nicht wellenzahlabhängig. Die letzte Gleichung wird mit der freien Isolator-greenfunktion gkIσ = 1/(E −kI) multipliziert und anschliessend über alle Isolator-wellenzahlenkI summiert. Dies führt zu einer Bestimmungsgleichung für die gemischte Greenfunktion:
Die wellenzahlgemittelte gemischte Greenfunktion lässt sich somit auf die Greenfunktion des rechten Ferromagneten zurückführen:
Setzt man nun beide Ausdrücke für die gemischten Greenfunktionen (3.100) und (3.103) in die ursprüngliche Bewegungsgleichung (3.99) ein, multipliziert mit
FqRσ ≡ 1
E−qR −ΣqRσ (3.104)
und summiert anschließend über alle WellenzahlenqR erhält man:
X
3.5 Alternative Tunnelkopplungen wobei zusätzlichFRσ =Pk
RFkRσ definiert wurde. An dieser Stelle bietet es sich an, den Term in der Klammer analog zu Gl. (3.43) als Gesamttunnelselbstenergie zu definieren:
∆Rσ = ∆(I)Rσ+ ∆(P)Rσ ≡ RIgIσIR
1−gIσ∆Lσ +RPgP σP R (3.106) Damit ist die wellenzahlgemittelte nichtdiagonale rechte Greenfunktion bestimmt:
X
qR
GqRkRσ = FkRσ
1−FRσ∆Rσ (3.107)
Für die Berechnung der Magnetisierung ist natürlich nur die diagonale Greenfunktion GkRσ = GkRkRσ von Bedeutung. Für ihre Berechnung wird aber die nichtdiagonale Funktion benötigt, wie man anhand ihrer Bewegungsgleichung leicht erkennt:
(E−kR −ΣkRσ)GkRσ = 1 + ∆RσX
qR
GqRkRσ (3.108) Mit Hilfe der bereits geleisteten Vorarbeit ist die vollständige Berechnung dieser Funktion nun problemlos möglich:
GkRσ (3.107)
= FkRσ +FkRσ∆Rσ FkRσ
1−FRσ∆Rσ
=FkRσ
1−FRσ∆Rσ+FkRσ∆Rσ 1−FRσ∆Rσ
=FkRσ1−Fk0Rσ∆Rσ
1−FRσ∆Rσ (3.109)
Der Strich an der Greenfunktion bedeutet dabei, dass über alle Wellenzahlen außer kR summiert wird, d.h.
Fk0Rσ =
qR6=kR
X
qR
FqRσ =FRσ−FkRσ. (3.110) Alternativ kann die Greenfunktion auch auf ihre „Standardform“ umgeformt werden:
GkRσ = 1
E−kR −ΣkRσ−∆ˆRσ (3.111) wobei die effektive Tunnelselbstenergie ˆ∆Rσ folgendermaßen definiert ist:
∆ˆRσ = ∆Rσ 1−Fk0
Rσ∆Rσ (3.112)
Der Unterschied zur Greenfunktion mit Diagonalannahme (3.44) liegt im Nenner der ef-fektiven Tunnelselbstenergie. Mit Diagonalannahme ist er nämlich exakt 1, d.h. der Term Fk0
Rσ∆Rσ fehlt. Dieser hängt zum einen von allen von kR verschiedenen Wellenzahlen ab. Gerade diese wurden bei der Diagonalannahme aber vernachlässigt und konnten dort
also gar nicht auftreten. Außerdem taucht die Tunnelselbstenergie in dem neuen Term auf. Da diese quadratisch von den Hybridisierungen abhängt, kann der Term für kleine Werte der Hybridisierung gegen 1 vernachlässigt werden, wodurch die Lösung mit Dia-gonalannahme reproduziert wird. Dies stimmt mit der früheren Behauptung überein, dass die Diagonalannahme für nicht allzu große Hybridisierungen exakt erfüllt ist.
Es ist also in der Tat möglich, die NEGF auch ohne die Diagonalannahme herzuleiten.
Um wichtige Größen wie die Magnetisierung berechnen zu können, wird zusätzlich noch ihre kleinere Komponente benötigt. Diese erhält man wie üblich mit Hilfe der Keldysh-Gleichung, die an Gl. (3.111) unmittelbar abgelesen werden kann:
G<kRσ = (Σ<k
Rσ+ ˆ∆<Rσ)|Grk
Rσ|2 (3.113)
Die retardierte Greenfunktion hat dieselbe Form wie die NEGF, es muss lediglich an alle Größen ein Indexr angefügt wird. Die Berechung der kleineren effektiven Tunnel-selbstenergie ˆ∆<Rσ ist allerdings sehr problematisch. Der Grund hierfür ist ihre relativ komplizierte Struktur, insbesondere die Funktionen im Nenner. Dieser muss zunächst beseitigt werden, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Diese Multiplikation ist aber nicht eindeutig, da nicht klar ist, ob sie von links oder rechts erfolgen muss. Die beiden Alternativen lauten:
∆ˆRσ−Fk0Rσ∆Rσ∆ˆRσ= ∆Rσ (3.114)
∆ˆRσ−∆ˆRσFk0Rσ∆Rσ= ∆Rσ (3.115) Bis hierher sind beide Ausdrücke natürlich noch äquivalent. Nun müssen aber die analy-tischen Fortsetzungsregeln zur Bestimmung der kleineren Komponenten auf beide Glei-chungen angewendet werden und dabei ergeben sich Differenzen. Man erhält:
∆ˆ<Rσ−Fk0r
Rσ∆rRσ∆ˆ<Rσ−Fk0r
Rσ∆<Rσ∆ˆaRσ−Fk0<
Rσ∆aRσ∆ˆaRσ = ∆<Rσ (3.116)
∆ˆ<Rσ−∆ˆrRσFk0rRσ∆<Rσ−∆ˆrRσFk0<
Rσ∆aRσ−∆ˆ<RσFk0aRσ∆aRσ = ∆<Rσ (3.117) beziehungsweise nach Umstellen nach ˆ∆<Rσ:
∆ˆ<Rσ = (1−(Fk0a
Rσ−Fk0r
Rσ)∆aRσ)∆<Rσ+Fk0<
Rσ(∆aRσ)2
|1−Fk0r
Rσ∆rRσ|2 (3.118)
∆ˆ<Rσ = ∆<Rσ+Fk0<
Rσ|∆rRσ|2
|1−Fk0r
Rσ∆rRσ|2 (3.119)
Nun sind deutliche Unterschiede zwischen beiden Versionen erkennbar. Insbesondere führt die erste Version zu einer kleineren Selbstenergie, die endlichen Realteil besitzt, während die zweite Version eine rein imaginäre effektive Selbstenergie ergibt, da sowohl
∆<Rσals auchFk0<
Rσ rein imaginär sind. Aufgrund der Keldysh-Gleichung führt Gl. (3.118) also auch zu einem endlichen Realteil für die kleinere Greenfunktion und wegen (s.
3.5 Alternative Tunnelkopplungen würde das eine komplexwertige Besetzungszahl ergeben, was physikalisch natürlich un-sinnig wäre. Damit kann geschlossen werden, dass nur die zweite Version korrekt sein kann. Zur vollständigen Lösung des Problems benötigt man also noch Ausdrücke für
∆<Rσ und Fk0<
Rσ. Die kleinere Greenfunktion kann unmittelbar durch die entsprechende Keldysh-Gleichung berechnet werden:
Die Wechselwirkungsselbstenergie wird an dieser Stelle wiederum als bekannt vorausge-setzt. Die Berechnung der kleineren Tunnelselbstenergie gestaltet sich etwas mühseliger.
Zunächst bietet es sich an sie in ihre beiden Teile ∆(I),<Rσ und ∆(PRσ),< zu zerlegen. Die Bestimmung von ∆(PRσ),< bereitet keinerlei Probleme, da es sich im Wesentlichen um eine Gleichgewichtsgreenfunktion handelt:
Bei ∆(I)Rσ steht erneut eine Greenfunktion im Nenner. Daher muss man wie bei der Be-rechnung von ˆ∆<Rσ vorgehen. Auch hier zeigt sich, dass nur eine der beiden Multipli-kationsmöglichkeiten, nämlich die von links, zu einer rein imaginären kleineren Tunnel-selbstenergie führt. Man erhält: mit der linken kleineren Tunnelselbstenergie
∆<Lσ=−2ifL(E)X
kL
ILImgrkLσLI (3.124) Damit sind alle Ausdrücke bestimmt, um die kleinere Greenfunktion (3.113) berechnen zu können. Die numerische Auswertung erfolgt in Abschnitt 5.10.