Berechnung der Bandkorrekturen

Von den vier Bandkorrekturen gestaltet sich die Berechnung von B1,−σ(k_R) noch am einfachsten, da es sich relativ leicht durch eine bereits bekannte Größe ausdrücken lässt.

Nach dem Ausführen der Fouriertransformation (vgl. Anhang .6) gilt nämlich:

B1,−σ(k_R) = 1

Im letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass es sich um eine stationäre Theorie handelt, wodurch die Teilchenzahl nicht zeitabhängig sein kann. Dieser Aspekt wurde bereits bei der Ableitung des Tunnelstroms in Abschnitt 3.4 diskutiert. Somit ist die Bandkorrektur B1,−σ(k_R) im stationären Fall vernachlässigbar.

BW,−σ(k_R) besteht aus mehreren höheren Korrelationsfunktionen und ist zusätzlich über

4.3 Berechnung der Bandkorrekturen die Exponentialfunktion noch wellenzahlabhängig. Damit ist die Berechnung dieses Fak-tors eine anspruchsvolle Aufgabe. Sie wird aber dadurch vereinfacht, dass man sich relativ schnell klarmachen kann, dassBW,−σ(k_R) zumindest auf Mean Field-Niveau spinunab-hängig ist und somit für die Behandlung des Magnetismus als eher zweitrangig anzusehen ist [120]. In Mean Field-Näherung gilt nämlich hn_iR−σn_jR−σi MF

= hn_R,−σihn_R,−σi und die ersten beiden Terme von BW,−σ(k_R) heben sich gegenseitig weg. Die beiden verblei-benden Ausdrücke lassen sich so umformen, dass man ihre Spinunabhängigkeit direkt erkennt. Durch Vertauschen der Operatoren ergibt sich für den ersten Term:

hc⁺_j

Rσc⁺_j

R−σciR−σciRσi=hc⁺_j

R−σc⁺_j

RσciRσciR−σi (4.38) Damit liefert dieser Term sowohl für σ =↑ als auch für σ =↓ denselben Beitrag. Auf ähnliche Weise zeigt man dies für den letzten Term:

hc⁺_j Im ersten Schritt wurde benutzt, dass der Erwartungswert eine reelle Größe ist. Man könnteBW,−σ(k_R) somit vernachlässigen, ohne allzu große Änderungen des Magnetisie-rungsverhaltens befürchten zu müssen. Als etwas fortgeschrittenere Näherung soll der Term in dieser Arbeit aber nicht komplett vernachlässigt werden, sondern lediglich in seiner über alle Wellenzahlen gemittelten Form berücksichtigt werden. Dadurch wird BW,−σ(k_R) nämlich zu einer lokalen Größe: Dabei konnte die Tatsache verwendet werden, dass für Fermionen aufgrund des Pauli-Prinzips immern²_iRσ =niRσ gilt. Der letzte Term ist darüberhinaus wegen der Annahme der Translationssymmetrie nur formal vom GitterplatzR_iR abhängig.

Offenbar istBW,−σ nach der Mittelung doch spinabhängig. Daher gilt der obige „Beweis“

der Spinunabhängigkeit tatsächlich nur auf Mean Field-Niveau. Eine genauere Untersu-chung des Einflusses vonBW,−σ(k_R) hat jedoch gezeigt, dass die Nichtlokalität lediglich im Fall eines einfach kubischen (sc) Gitters einen deutlichen Einfluss auf das Magnetisie-rungsverhalten hat [120]. Für das in dieser Arbeit betrachtete bcc-Gitter ist sie hingegen vernachlässigbar.

Eine weitere unbekannte Größe, die bei der Berechnung des dritten Moments auftrat, warBS,−σ. Sie besteht im Wesentlichen aus zwei Korrelationsfunktionen:

BS,−σ = 1 Diese Bandkorrektur wird sich als entscheidend für das Auftreten von spontanem Ma-gnetismus erweisen. Für i_R = j_R erkennt man recht schnell eine deutliche Ähnlichkeit zwischen diesem Ausdruck undBW,−σ. Es bietet sich daher an, beide zusammenzufassen.

Als abkürzende Schreibweise wird BSW,−σ für die Summe der beiden Bandkorrekturen benutzt: Es ist möglich, die höhere Korrelationsfunktionhc⁺_i

R−σcjR−σniRσi allein durch eine Ein-teilchen-Greenfunktion auszudrücken. Dazu multipliziert man

[H, c⁺_i von rechts mitc_jR−σ und mittelt anschließend:

h[H, c⁺_i

Dabei tritt auf der rechten Seite, bis auf eine triviale Vertauschung von Operatoren, gerade die interessierende höhere Korrelationsfunktion auf. Unter Ausnutzung der Hei-senberg-Bewegungsgleichung [71]

−i∂

∂tc⁺_i

R−σ(t) = [H, c⁺_i

R−σ]₋(t) (4.45)

4.3 Berechnung der Bandkorrekturen

lässt sich die linke Seite weiter umformen:

h[H, c⁺_i Im dritten Schritt wurde auf die übliche Weise von Zeit- auf Energieabhängigkeit fou-riertransformiert. Die beiden restlichen Korrelationsfunktionen in Gl. (4.44) lassen sich nach Fouriertransformation ebenfalls durch kleinere Greenfunktionen ausdrücken:

hc⁺_l Setzt man diese Ausdrücke für t = t⁰ in Gl. (4.44) ein, so führt dies auf eine Bestim-mungsgleichung für die gesuchte höhere Korrelationsfunktion:

hn_iRσc⁺_i Die rechte Seite wird nun noch auf Wellenzahlen transformiert:

hn_iRσc⁺_i Die gemischten kleineren Greenfunktionen G^<_k

RkX−σ(E) sind in ähnlicher Form bereits bei der Stromberechnung in Abschnitt 3.4 aufgetreten. Dort wurde der Ausdruck (3.64) für die NEGF gezeigt, der sich unter Verwendung der Diagonalannahme ∆_kRqRσ =^!

∆_kRσδ_kRqR folgendermaßen schreiben lässt:

Aus Symmetriegründen gilt daher ebenfalls: Durch analytische Fortsetzung erhält man daraus die avancierten und kleineren Kompo-nenten der gemischten Greenfunktion:

Erstere wird bei der Berechnung vonBT ,−σ eine Rolle spielen und wurde daher ebenfalls mit angegeben. Mit Hilfe des Ausdrucks für die kleinere Komponente und der Keldysh-Gleichung (4.16) kann der Integralkern der höheren Korrelationsfunktion (4.50) folgen-dermaßen umgeformt werden:

Somit ergibt sich letztendlich der folgende Ausdruck für die höhere Korrelationsfunktion

hn_iRσc⁺_i der nun noch inBSW,−σ eingesetzt werden muss:

BSW,−σ =−T_0,Rhn_R,−σi²− i Die letzte verbleibende Bandkorrektur istBT ,−σ. Ihre Definition

BT,−σ = 1

4.3 Berechnung der Bandkorrekturen ist strukturell sehr ähnlich zu BS,−σ. Daher verläuft auch die Berechnung der dabei auftretenden höheren Korrelationsfunktion analog. Man multipliziert also zunächst

[c_iR−σ, H]−=^X

X−σ und mittelt anschließend:

hd⁺_i

Der Kommutator auf der linken Seite lässt sich wiederum mit Hilfe der Heisenberg-Bewegungsgleichung auf einen einzelnen OperatorciR−σ reduzieren und die beiden Ein-teilchen-Korrelationsfunktionen auf der rechten Seite sind bis auf einen trivialen Vor-faktor identisch zu kleineren Greenfunktionen. Nach Fouriertransformation von Zeit auf Energie gilt: Für die höhere Korrelationsfunktion folgt für t=t⁰ somit:

U_Rhd⁺_i

Im zweiten Schritt wurde auf Wellenzahlen transformiert. Der letzte Term im Integran-den kann durch eine weitere gemischte Greenfunktion und die Tunnelselbstenergie aus-gedrückt werden. Analog zu Gl. (4.54) gilt:

X

Setzt man diesen Ausdruck in die höhere Korrelationsfunktion (4.64) ein, so folgt: Damit istBT,−σ bis auf die gemischte Greenfunktion G_kRkXσ bestimmt:

BT,−σ = i

Nun kann erneut die Tunnelselbstenergie benutzt werden, um die gemischte Funktion vollständig auf die rechte Greenfunktion zurückzuführen. Durch Einsetzen der Ausdrücke (4.53) und (4.54) in die obige Bestimmungsgleichung vonBT ,−σ und einigen Umformun-gen erhält man die Bandkorrektur. Details dieser Rechnung sind in Anhang .7 angegeben.

Als Gesamtergebnis findet man fürBT,−σ: BT,−σ =− i Damit können alle drei in ˜A₂ auftretenden Bandkorrekturen zu einer Gesamtbandkor-rekturBR,−σ zusammengefasst werden:

hn_R,−σi(1− hn_R,−σi)B_R,−σ ≡T_0,Rhn_R,−σi²+BSW,−σ+BT ,−σ Dabei wurde verwendet, dass es sich bei der Wechselwirkungsselbstenergie Σ^r_k

Rσ = Σ^a_k

Rσ

um eine reelle Größe handelt. ˜A₂ nimmt somit die folgende, vergleichsweise kompakte Gestalt an:

A˜₂= (2 +hn_R,−σi)_kRhn_R,−σi+hn_R,−σi(1− hn_R,−σi)(B_R,−σ +T_0,R) (4.70) Die Berechnung der Momente ist somit im Prinzip abgeschlossen. Allerdings hängt das dritte Moment über die BandkorrekturBR,−σ von der nach wie vor unbestimmten

Wech-4.4 Hochenergieentwicklung der Tunnelselbstenergie