Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug
der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug
Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt
11. ¨ Ubung
Abgabe: Dienstag, 14. Januar 2020 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
35. Anfangsbedingungen einer DGL 4+6+6=16 Punkte Die Newtonsche Bewegungsgleichung m¨ x = kx (k > 0) hat die allgemeine L¨ osung
x(t) = ae
λt+ be
−λtmit λ = r k
m , a, b ∈ R . Die Anfangsbedingungen sind gegeben durch x(0) = x
0und ˙ x(0) = v
0. a) Geben Sie a und b (und damit x(t)) in Abh¨ angigkeit von x
0und v
0an.
x(0) = a + b = x
0˙
x(0) = aλ − bλ = v
0)
⇒ a = x
0λ + v
02λ & b = x
0λ − v
02λ
b) Im Folgenden wird x
0= 1 gesetzt. F¨ ur welche Werte von v
0gilt lim
t→∞
x(t) = −∞, 0 und ∞?
F¨ ur t → ∞ ist nur der Term ae
λtentscheidend, da be
−λtgegen 0 geht.
⇒
t→∞
lim x(t) = −∞ ⇒ a < 0 ⇒ v
0< −λ
t→∞
lim x(t) = 0 ⇒ a = 0 ⇒ v
0= −λ
t→∞
lim x(t) = ∞ ⇒ a > 0 ⇒ v
0> −λ
c) Skizzieren Sie die Bahn x(t) f¨ ur v
0= −2λ, −λ, 0.
Nun betrachten wir den dreidimensionalen harmonischen Oszillator. Hierbei handelt es sich um ein Teilchen der Masse m, das sich im dreidimensionalen Raum bewegen kann und der R¨ uck- stellkraft F (|~ r|) = −k|~ r| ausgesetzt ist (k ist wieder ein reeller, positiver Parameter). Dement- sprechend wird die Dynamik des Systems durch folgende dreikomponentige DGL beschrieben:
m ~ r ¨ = −k~ r a) Skizzieren Sie das Kraftfeld F ~ (~ r) in der xy-Ebene .
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -1.0
-0.5 0.0 0.5 1.0
x
y
b) Zeigen Sie, dass
~ r(t) = ~ r
0cos(ωt) + ~ v
0ω sin(ωt) mit ω = p k/m
die DGL mit den Anfangsbedingungen ~ r(0) = ~ r
0und ˙ ~ r(0) = ~ v
0l¨ ost.
Ableitungen bilden:
~ r(t) = ˙ −~ r
0ω sin(ωt) + ~ v
0cos(ωt),
~ r(t) = ¨ −~ r
0ω
2cos(ωt) − ~ v
0ω sin(ωt).
In die DGL einsetzen:
m ~ ¨ r(t) = −m~ r
0ω
2cos(ωt) − m~ v
0ω sin(ωt) = −k~ r
0cos(ωt) − k ~ v
0ω sin(ωt) = −k~ r(t).
Beide Seiten stimmen ¨ uberein.
c) Skizzieren Sie die Bahnkurven in der xy-Ebene f¨ ur folgende Kombination von Anfangswerten (a ∈ R ):
(i) ~ r
0= a~ e
xund ~ v
0= ~ 0, (ii) ~ r
0= a~ e
xund ~ v
0= aω~ e
y, (iii) ~ r
0= a~ e
xund ~ v
0= 2aω~ e
y.
2
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -2
-1 0 1 2
x
y
( i )
( ii ) ( iii )
d) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls des Teilchens bzgl. des Ursprungs erhalten ist.
~ `(t) = m~ r(t) × ~ r(t) ˙
= m ~ r
0cos(ωt) + ~ v
0ω sin(ωt)
× − ~ r
0ω sin(ωt) + ~ v
0cos(ωt)
= m cos
2(ωt)(~ r
0× ~ v
0) − m sin
2(ωt)(~ v
0× ~ r
0)
= m cos
2(ωt)(~ r
0× ~ v
0) + m sin
2(ωt)(~ r
0× ~ v
0)
= m(sin
2(ωt) + cos
2(ωt))(~ r
0× ~ v
0)
= m(~ r
0× ~ v
0)
Der Drehimpuls wird also nur von Konstanten bestimmt und ist somit auch konstant.
37. Eindimensionale Bewegung 8+8=16 Punkte a) Gegeben sei das folgende eindimensionale Potential:
V (x) =
( sin
2(x) : |x| ≤ π/2, 1 : |x| > π/2.
Skizzieren Sie das Potential und bestimmen Sie f¨ ur welche x-Werte eine Ruhelage vorliegt.
Bestimmen Sie zudem f¨ ur welche Werte der Gesamtenergie E zum einen eine gebundene und zum anderen eine ungebundene Bewegung vorliegt. Skizzieren Sie in das Potential f¨ ur beide F¨ alle eine m¨ ogliche Bahn (wie in der Vorlesung).
F¨ ur eine Ruhelage muss die Kraft auf das Teilchen verschwinden:
F (x) = − dV dx =
( 2 cos(x) sin(x) : |x| < π/2, 0 : |x| ≥ π/2.
Im Bereich |x| < π/2 verschwindet die Kraft nur bei 0. Eine gebundene Bahn erhalten wir f¨ ur E < 1 und umgekehrt eine ungebundene Bahn f¨ ur E > 1.
b) Betrachten Sie nun das harmonische Potential der Form V (x) =
12kx
2mit k > 0. In diesem Potential ist die Bewegung eine periodische Schwingung zwischen zwei Punkten maximaler Auslenkung A und −A. Berechnen Sie die Schwingungsperiode T als Funktion der Ampli- tude A. Nutzen Sie hierf¨ ur die aus der Vorlesung bekannte Formel. Wie h¨ angt T von A ab?
Hinweis: Zur L¨ osung des Integrals f¨ ur die Schwingungsperiode k¨ onnen Sie die Regel R
√dx1−ax2
=
sin−1(√ax)
√a
nutzen, indem Sie geeignet substituieren.
Aus der Vorlesung ist bereits bekannt, dass die Schwingungsperiode beim harmonischen Oszil- lator nicht von der Amplitude abh¨ angt. Hier wollen wir dies nachrechnen. Wenn A die maximale Auslenkung ist, gilt E = V (A) =
12k A
2. Wir berechnen die Zeit, welche die Masse ben¨ otigt um von −A nach A zu kommen. Dies ist dann T /2,
T 2 =
Z
A−A
dx q
2m
E −
12kx
2= r m
2E Z
A−A
dx q
1 −
2Ekx
2= r 2m
E Z
A0
dx q
1 −
2Ekx
2.
4
Nun nutzen wir den Hinweis und ersetzen die Integrationsgrenze (A = p 2E/k):
T 2 =
r 2m E
"
sin
−1( p
k/2Ex) p k/2E
#
√
2E/k
0