der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

4. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 12. November 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

10. Integration durch Substitution 3+3+3+3=12 Punkte Bestimmen Sie folgende Integrale:

a) R

x0

dy

b) R

x0

dy sin(3 − 7y)

c) R

x0

dy 6ye

d) R

x0

dy

y

√

1+ln(y)

11. Essay 10 Punkte

Tragen Sie auf einer halben bis maximal einer Seite Ihr Wissen ¨ uber die Ableitung und Inte- gration zusammen! Wozu sind sie gut, wie sind sie definiert, etc. Begriffe die dabei zumindest vorkommen sollten: Differenzenquotient, Grenzwert, Riemann-Summe.

12. Fallende Kette 16 Punkte+8 Bonuspunkte Eine Kette der L¨ ange L und Masse m besteht aus zahllosen, sehr kleinen Gliedern. Sie h¨ angt anfangs in Ruhe an der Decke und ber¨ uhrt mit dem unteren Ende eine Waagschale. Zur Zeit t = 0 wird sie aus der Ruheposition fallen gelassen (siehe Skizze). Im Folgenden wollen wir die Kraft F (t) bestimmen, die von der Waage gemessen wird. Hierf¨ ur bieten sich zwei L¨ osungswege an. Befolgen Sie einen der beiden L¨ osungswege f¨ ur die volle Punktzahl. F¨ ur beide L¨ osungswege erhalten Sie Bonuspunkte. Bestimmen Sie zudem die gemessene Kraft, wenn die ganze Kette auf der Waagschale liegt und zeichnen Sie F (t) f¨ ur L = 2m, m = 1kg im Zeitintervall 0s ≤ t ≤ 1s.

a) 1. L¨ osungsweg: Berechnen Sie zun¨ achst die Masse m

(t) des fallenden Teils der Kette und bestimmen Sie dann dessen Impuls p

(t). Sie k¨ onnen nun die Kraft F

auf das fallende Kettenteil ermitteln. Machen Sie sich anschließend klar, aus welchen Kr¨ aften F

zusammen- gesetzt ist (Gegenwirkungsgesetz) und bestimmen Sie somit F (t).

b) 2. L¨ osungsweg: Zerlegen Sie die Kette in kleine Elemente der L¨ ange ∆x und bestimmen Sie den Impuls ∆p eines Kettenelements, das kurz davor steht, auf die Waage zu treffen.

Berechnen Sie dann aus dessen Impuls die Kraft F

=

auf die Waage. Denken Sie auch

an den Teil der Kette, der bereits auf der Waage liegt, um somit F (t) zu erhalten.

13. Zweidimensionale Bahnen 12 Punkte Gegeben sind die zweidimensionalen Bahnen in der Darstellung als vektorwertige Funktionen

~ r

(t), i = 1, ..., 6 in kartesischen Koordinaten:

~ r

(t) =

−5 sin(t) sin(t)

~ r

(t) =

exp(−(t − 1)

) exp(−t

)

~ r

(t) =

3 cos(t) t

~ r

(t) =

t

0.1t

~ r

(t) =

sin(2t) cos(t)

~ r

(t) =

exp(−t

) p 1 − exp(−2t

)

Welche der folgenden Bahnen werden durch die ~ r

(t) beschrieben? (Die Bahnen sind jeweils dargestellt f¨ ur −5 ≤ t ≤ 5).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

- 4 - 2 0 2 4 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

0 5 10 15 20 25 0

10 20 30 40 50 60

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 - 4

- 2

0

2

4