der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

6. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 26. November 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

18. Richtungsableitung 8+6=14 Punkte

a) Recherchieren Sie den Begriff der Richtungsableitung. Suchen Sie hierzu geeignete Quelle(n) und erkl¨ aren Sie die Richtungsableitung in eigenen Worten.

b) Durch ein Gel¨ ande mit der H¨ ohe h(x, y) =

(1000 + x + y + √

xy + 76) werde l¨ angs der Gerade ~ r(t) =

1 2

+ t 3

4

eine Straße gebaut. Bestimmen Sie den Anstieg der Straße im Gel¨ andepunkt p ~ =

4 6

.

19. Drehimpuls 7+7+7=21 Punkte

a) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich auf einer Kreisbahn ~ r(t) mit konstanter Geschwindig- keit. Zu welchem Bezugspunkt ist der Drehimpuls des Teilchens erhalten? Zeigen Sie zudem, dass der Drehimpuls zu diesem Bezugspunkt senkrecht zur Kreisbahnebene steht.

b) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich kr¨ aftefrei auf einer Bahn ~ r(t). Zeigen Sie, dass der Dre- himpuls ~ ` zu einem beliebigen Bezugspunkt erhalten ist und die Fl¨ ache A, die der Ortsvektor in einer Zeit ∆t uberstreicht, durch ¨ A =

| ~ `| gegeben ist.

c) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einem zum Ursprung symmetrischen Zentralpo- tential V (~ r) im dreidimensionalen Raum. Da der Wert des Zentralpotentials somit nur vom Abstand |~ r| zum Ursprung abh¨ angt, k¨ onnen wir auch V (~ r) = ˜ V (|~ r|) schreiben. Bestimmen Sie die Kraft auf das Teilchen und zeigen Sie, dass der Drehimpuls ~ ` erhalten ist.

20. Rotierende Massen 5+5+5=15 Punkte

Es seien zwei punktf¨ ormige Massen K

und K

gegeben, die durch einen Draht verbunden sind.

Aufgrund der durch den Draht vermittelten Kr¨ afte bewegen sich die beiden Massen auf den Bahnen

K

: ~ r

(t) = R





cos(ωt) sin(ωt)

0



, K

: ~ r

(t) = −R





cos(ωt) sin(ωt)

0





mit R

= 1, R

= 2 und ω = 2π. Es wirken keine weiteren ¨ außeren Kr¨ afte.

a) Skizzieren Sie die Bahnkurven in der xy-Ebene und machen Sie sich klar, wo der Schwerpunkt liegen muss. Nun habe die erste Masse das Gewicht m

= 1. Berechnen Sie das Gewicht m

der zweiten Masse.

b) Welche Kraft ¨ ubt K

auf K

aus? Und welche Kraft ¨ ubt K

auf K

aus?

c) Zur Zeit t

= π/ω werde der Draht durchtrennt. Auf welchen Bahnkurven bewegen sich

K

und K

f¨ ur t > t

? Skizzieren Sie die kompletten Bahnkurven ~ r

(t) und ~ r

(t) in der

xy-Ebene.