der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

5. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 19. November 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

14. Partielle Ableitung 4+6=10 Punkte

a) Gegeben sei die Funktion g(x, y) = sin(ln(x))+x ² sin(xy)+e ^y . Bestimmen Sie die gemischten Ableitungen

∂

∂x ∂g

∂y

und ∂

∂y ∂g

∂x

.

∂g

∂y = e ^y + x ³ cos(xy)

∂g

∂x = x ² y cos(xy) + cos(log(x))

x + 2x sin(xy)

∂

∂x ∂g

∂y

= ∂

∂y ∂g

∂x

= 3x ² cos(xy) − x ³ y sin(xy) F¨ ur beide Reihenfolgen erhalten wir das gleiche Ergebnis.

b) Beweisen Sie, dass gemischte zweite Ableitung eines skalaren Feldes f (x, y) unabh¨ angig von der Reihenfolge sind, in der die Ableitungen durchgef¨ uhrt werden, also:

∂

∂x ∂f

∂y

= ∂

∂y ∂f

∂x

.

Nutzen Sie hierf¨ ur den Differentialquotienten. Sie k¨ onnen annehmen, dass die Reihenfolge der Grenzwerte vertauscht werden kann.

∂

∂x ∂f

∂y

= ∂

∂x

∆y→0 lim

f (x, y + ∆y) − f (x, y)

∆y

(1)

= lim

∆x→0

1

∆x

∆y→0 lim

f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x + ∆x, y)

∆y (2)

− lim

∆y→0

f (x, y + ∆y) − f (x, y)

∆y

(3)

= lim

∆x→ lim

∆y→0

1

∆x∆y

f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x + ∆x, y) (4)

− f(x, y + ∆y) − f(x, y)

(5)

Vertauscht man in der obigen Rechnung alle x und y, so erh¨ alt man den gleichen Ausdruck

unter der Bedingung, dass die Grenzwerte vertauscht werden k¨ onnen

15. Gradient 12+8=20 Punkte a) Berechnen Sie jeweils den Gradient folgender Funktionen und stellen Sie die Funktion und

den Gradienten graphisch dar.

f 1 (x, y) = 3x, f ₂ (x, y) = x ² − y ² ,

f ₃ (x, y) = e ^−(x

^+y

⁾ , f ₄ (x, y) = √ ¹

x

+y

.

∇f ₁ (x, y) = 3

0

,

∇f ₂ (x, y) = 2x

−2y

,

∇f ₃ (x, y) = −2xe ^−(x

^+y

⁾

−2ye ^−(x

^+y

⁾

! ,

∇f ₄ (x, y) = − ^x

(x

+y

)

− ^y

(x

+y

)

! .

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

x

y

f

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

x

y

f

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

x

y

f

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

x

y

f

b) An welchen Punkten ist der Gradient von f ₅ (x, y, z) = x ³ + y ³ + z ³ − 3xyz senkrecht zur x-Achse? Wo ist der Gradient gleich 0?

∇f ₅ =





3x ² − 3yz 3y ² − 3xz 3z ² − 3xy





2

Der Gradient ist senkrecht zur x-Achse an den Punkten, die die Gleichung

∇f ₅ · ~ e x = 3x ² − 3yz = 0 erf¨ ullen. Der Gradient ist gleich 0, wenn

∇f ₅ = ~ 0.

Dies gilt nur f¨ ur x = y = z.

16. Elektromagnetische Felder 3+3+3+3=12 Punkte Skizzieren und beschreiben Sie die folgenden (statischen) elektrischen und magnetischen Felder in der xy-Ebene:

a) Das elektrische Feld eines Plattenkondensators mit Platten senkrecht zur x-Achse bei x = 0 und x = L mit

E(~ ~ r) = E(x)~ e x mit

( E > 0, : 0 ≤ x ≤ L, E = 0, : sonst.

b) Das elektrische Feld einer Punktladung mit E(~ ~ r) = E ~ r

|~ r| ³ .

c) Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahts, der entlang der z-Achse gespannt ist (dieser ist der Einfachheit halber als unendlich lang angenommen):

B ~ (~ r) = B





−y x 0



 1 x ² + y ² . d) Das elektrische Feld eines elektrischen Dipols:

E(~ ~ r) = E

~ r − ~ r ₀

|~ r − ~ r 0 | ³ − ~ r + ~ r ₀

|~ r + ~ r 0 | ³

mit ~ r ₀ =



 1 0 0



.

- 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

x

y

a ) mit L = 1

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

x

y

b )

- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0 - 1.0

- 0.5 0.0 0.5 1.0

x

y

c )

- 2 - 1 0 1 2

- 2 - 1 0 1 2

x

y

d )

17. Kraftfeld und Potential 2+2+2+2 = 8 Punkte Gegeben sei das Potential V (~ r) mit ~ r ∈ R ² :

V (~ r) = cos(x) + cos(y).

a) Bestimmen Sie das Kraftfeld F ~ (~ r) = −∇V (~ r).

F ~ (~ r) = −∇V (~ r) =

sin(x) sin(y)

b) F¨ ur welche ~ r ∈ R ² ist das Potential maximal bzw. minimal?

Das Potential ist maximal f¨ ur ~ r = 2π n

m

und minimal f¨ ur ~ r = π

2n + 1 2m + 1

mit n, m ∈ Z .

c) F¨ ur welche ~ r ∈ R ² gilt F ~ (~ r) = ~ 0?

F ~ (~ r) =

sin(x) sin(y)

= ~ 0 gilt f¨ ur ~ r = π

n m

mit n, m ∈ Z . Wie im Fall von Funktionen einer Variablen entsprechen die

4

Nullstellen des Gradienten den Extremstellen (Minimal, Maxima, Sattelpunkte).

d) Zeigen Sie, dass die Geraden y = (2n + 1)π ± x (n ∈ Z ) H¨ ohenlinien des Potentials mit V (~ r) = 0 sind.

V

x (2n + 1)π ± x

= cos(x) + cos((2n + 1)π ± x) = cos(x) − cos(x) = 0