der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

11. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 14. Januar 2020 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

35. Anfangsbedingungen einer DGL 4+6+6=16 Punkte Die Newtonsche Bewegungsgleichung m¨ x = kx (k > 0) hat die allgemeine L¨ osung

x(t) = ae ^λt + be ^−λt mit λ = r k

m , a, b ∈ R .

Die Anfangsbedingungen sind gegeben durch x(0) = x 0 und ˙ x(0) = v 0 . a) Geben Sie a und b (und damit x(t)) in Abh¨ angigkeit von x ₀ und v ₀ an.

b) Im Folgenden wird x 0 = 1 gesetzt. F¨ ur welche Werte von v 0 gilt lim

t→∞ x(t) = −∞, 0 und ∞?

c) Skizzieren Sie die Bahn x(t) f¨ ur v ₀ = −2λ, −λ, 0.

36. Harmonischer Oszillator in 3 Dimensionen 3+5+5+5=18 Punkte Nun betrachten wir den dreidimensionalen harmonischen Oszillator. Hierbei handelt es sich um ein Teilchen der Masse m, das sich im dreidimensionalen Raum bewegen kann und der R¨ uck- stellkraft F (|~ r|) = −k|~ r| ausgesetzt ist (k ist wieder ein reeller, positiver Parameter). Dement- sprechend wird die Dynamik des Systems durch folgende dreikomponentige DGL beschrieben:

m ~ r ¨ = −k~ r

a) Skizzieren Sie das Kraftfeld F ~ (~ r) in der xy-Ebene . b) Zeigen Sie, dass

~ r(t) = ~ r ₀ cos(ωt) + ~ v ₀

ω sin(ωt) mit ω = p k/m

die DGL mit den Anfangsbedingungen ~ r(0) = ~ r ₀ und ˙ ~ r(0) = ~ v ₀ l¨ ost.

c) Skizzieren Sie die Bahnkurven in der xy-Ebene f¨ ur folgende Kombination von Anfangswerten (a ∈ R ):

(i) ~ r 0 = a~ e x und ~ v 0 = ~ 0, (ii) ~ r 0 = a~ e x und ~ v 0 = aω~ e y , (iii) ~ r ₀ = a~ e _x und ~ v ₀ = 2aω~ e _y .

d) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls des Teilchens bzgl. des Ursprungs erhalten ist.

37. Eindimensionale Bewegung 8+8=16 Punkte a) Gegeben sei das folgende eindimensionale Potential:

V (x) =

( sin ² (x) : |x| ≤ π/2, 1 : |x| > π/2.

Skizzieren Sie das Potential und bestimmen Sie f¨ ur welche x-Werte eine Ruhelage vorliegt.

Bestimmen Sie zudem f¨ ur welche Werte der Gesamtenergie E zum einen eine gebundene und zum anderen eine ungebundene Bewegung vorliegt. Skizzieren Sie in das Potential f¨ ur beide F¨ alle eine m¨ ogliche Bahn (wie in der Vorlesung).

b) Betrachten Sie nun das harmonische Potential der Form V (x) = ¹ ₂ kx ² mit k > 0. In diesem Potential ist die Bewegung eine periodische Schwingung zwischen zwei Punkten maximaler Auslenkung A und −A. Berechnen Sie die Schwingungsperiode T als Funktion der Ampli- tude A. Nutzen Sie hierf¨ ur die aus der Vorlesung bekannte Formel. Wie h¨ angt T von A ab?

Hinweis: Zur L¨ osung des Integrals f¨ ur die Schwingungsperiode k¨ onnen Sie die Regel R _dx

√ 1−ax

= ^sin

⁽

√ ax)

√ a nutzen, indem Sie geeignet substituieren.