der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

2. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 29. Oktober 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

3. Vektoraddition 4+3+3=10 Punkte

Die in der unten stehenden Abbildung gezeigten Pfeile repr¨ asentieren Vektoren, die hier als Verschiebungen in der Ebene zu interpretieren sind.

a) Skizzieren Sie folgende Linearkombinationen: ~ u + ~ v, ~ u − ~ v,

~ u, 2 w ~ + 3(~ u + ~ v +

w) ~

b) Schreiben Sie die Vektoren ~ u, ~ v und w ~ als Linearkombination der Basisvektoren e ~

, e ~

und bestimmen Sie somit die Komponenten von ~ u, ~ v und w ~ bez¨ uglich der Basisvektoren e ~

, e ~

. Bestimmen Sie anschließend die Betr¨ age |~ u|, |~ v| und | w|. ~

c) Warum bilden die Vektoren e ~

, ~ u zusammen kein geeignetes Basissystem f¨ ur alle Verschie- bungen in der Ebene?

4. Skalarprodukt 6+8+8+8=30 Punkte

a) Gegeben seien die Vektoren f ~ =



 3 3 1



, ~ g =





−1 0 1



 und ~h =



 1

−2 0



. Berechnen Sie die

Skalarprodukte f ~ · ~ g, ~ g · ~h, ~h · f ~ und die Winkel zwischen diesen Vektorpaaren.

b) Es seien die Vektoren ~ r, ~t, ~ z und der Wert der Skalarprodukte untereinander gegeben:

~ r · ~ r = 1, ~t · ~t = 1, ~ z · ~ z = 4, ~ r · ~t = 1

4 , ~ r · ~ z = 0, ~t · ~ z = 3 4 Berechnen Sie f¨ ur die Vektoren

~j = ~ r + ~ z, ~ k = 2~t − ~ z und ~l = −~ r + 3 ~t

die Betr¨ age | ~j |, | ~ k|, | ~l|, sowie die Skalarprodukte ~j · ~ k, ~j · ~l und ~ k ·~l.

c) Beweisen Sie die Dreiecksungleichung | ~a +~b| ≤ | ~a| + | ~b|. Sie k¨ onnen die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung hierf¨ ur nutzen.

d) Beweisen Sie den Kosinussatz c

= a

+ b

− 2ab cos(γ) mithilfe des Skalarprodukts. Die folgende Skizze kann hierbei behilflich sein.

5. Arbeit 10 Punkte

Die an einem Objekt geleistete Arbeit W ist das Skalarprodukt aus der Kraft F ~ , auf die es wirkt, und dem Weg ~ s, den es zur¨ ucklegt:

W = F ~ · ~ s

Ein Klotz der Masse m = 2 kg wird auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α = 30

entlang der Strecke ~ s mit |~ s| = ∆s = 5 m aufw¨ arts gezogen. Dabei greifen vier Kr¨ afte an ihm an (siehe Skizze): Die Kraft F ~

, mit der er nach oben gezogen wird, seine Gewichtskraft F ~

= m~ g, die Normalkraft F ~

, die der Untergrund auf ihn aus¨ ubt und die senkrecht zur Oberfl¨ ache wirkt, und eine Reibungskraft F ~

mit | F ~

| = 10 N, die der Bewegungsrichtung entgegen wirkt.

Berechnen Sie die Arbeit, die jeweils von den Kr¨ aften F ~

, F ~

und F ~

am Klotz geleistet werden.

Geben Sie einen Ausdruck an f¨ ur die Arbeit W

, die insgesamt von allen vier Kr¨ aften geleistet

wird. Welche Kraft | F ~

| muss mindestens ausge¨ ubt werden, damit der Klotz aufw¨ arts gezogen

werden kann?