der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

1. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 22. Oktober 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

1. Differentiation 2+4+8+20=34 Punkte

a) Wie ist die Ableitung einer Funktion f definiert?

f

(x) = lim

∆x→0

f(x+∆x)−f(x)

∆x

b) Das Diagramm zeigt den Graphen der Funktion f. Welche geometrische Bedeutung hat die Ableitung f

hinsichtlich des Graphen von f ? Skizzieren Sie den Graphen von f

.

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5 1.5

Die Ableitung f

(x) gibt die Tangentensteigung der Funktion f(x) an der Stelle x an.

-1 1 2 3 4 5 6

-1.5 1.5

1

c) Leiten Sie die folgenden Ableitungsregeln ausgehend vom Differentialquotienten her:

1. Potenzregel f¨ ur Potenzfunktionen x

mit nat¨ urlichem Exponenten n ≥ 2 Unter Anwendung des binomischen Lehrsatzes ergibt sich:

(x

)

= lim

∆x→0

(x + ∆x)

− x

∆x (1)

= lim

∆x→0 n 0

x

+

x

∆x +

x

∆x

+ · · · +

x∆x

+

∆x

− x

∆x

(2)

= lim

∆x→0

n 1

x

+ n

2

x

∆x + · · · + n

n − 1

x∆x

+ n

n

∆x

(3)

= n

1

x

= n · x

(4)

2. Produktregel

f

(x) = (u(x) · v(x))

(5)

= lim

∆x→0

u(x + ∆x) · v(x + ∆x) − u(x) · v(x)

∆x (6)

= lim

∆x→0

u(x + ∆x) · v(x + ∆x)

=0

−u(x)v(x + ∆x) + u(x)v(x + ∆x) −u(x) · v(x)

∆x

(7)

= lim

∆x→0

u(x + ∆x) − u(x)

∆x · v(x + ∆x) + lim

∆x→0

u(x) · v(x + ∆x) − v(x)

∆x (8)

= u

(x) · v(x) + u(x) · v

(x) (9)

3.

ln(x) =

(Nutzen Sie hierf¨ ur die aus der Vorlesung bekannte Regel f¨ ur Umkehr- funktionen)

g(x) = ln(x) ist die Umkehrfunktion von f (x) = e

. Da f

(x) = f (x) = e

ist, ergibt sich f¨ ur die Ableitung von g(x) = ln(x):

g

(f (x)) = 1

f

(x) = 1 e

= 1

f(x) ⇒ d

dx ln(x) = 1 x

d) Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen nach x. Die aus der Vorlesung bekannten Ableitungsregeln sind hierbei behilflich.

1. 1 + x + x

/2 + x

/6 2. √

2x

3. (x + 1)(x − 1) 4. (x

+ 1/x)

5.

6. x

cos(2ax) 7. (x − a)e

8. ln(sin(2x − 3)) 9.

10. x

2

1. 1 + x + x

/2 2.

√x

√ 2

3. 2x

4. 6x

− 3/x

+ 9x

5.

6. 2x(cos(2ax) − ax sin(2ax)) 7. e

(

− 1)

8. 2 cot(2x − 3) 9. sec(x)

10. x

(1 + log(x))

2. Eindimensionale Bewegung 10+6=16 Punkte Die eindimensionale Bewegung eines K¨ orpers der Masse m wird durch folgende Bahn x

(t) beschrieben:

x

(t) =



 

 

−t, : t < −b

b

2

+

, : −b ≤ t ≤ b t, : t > b

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v

(t) und die Beschleunigung a

(t) des K¨ orpers. Skizzieren Sie die Funktionen x

(t), v

(t), a

(t).

v

(t) = ˙ x

(t) =



 

 

−1, : t < −b

t

b

, : −b ≤ t ≤ b 1, : t > b

a

(t) = ¨ x

(t) =



 

 

0, : t < −b

1

b

, : −b ≤ t ≤ b 0, : t > b

-2 -1 1

t

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

b=1

x v a

b) Nach der Newtonschen Bewegungsgleichung F

(t) = ma

(t), l¨ asst sich die Kraft F

(t) be- rechnen, die auf einen K¨ orper mit der Bahn x

(t) wirkt. Skizzeren Sie F

(t) f¨ ur verschiedene b. Was folgt f¨ ur die Funktion F

(t) im Limes b → 0?

3

Wenn die Richtungs¨ anderung in infinitesimaler Zeit abl¨ auft geht die Beschleunigung gegen unendlich und somit der Betrag der Krafteinwirkung. (Elastische St¨ oße k¨ onnen somit nicht instantan ablaufen.)

4