Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug
der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug
Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt
4. ¨ Ubung
Abgabe: Dienstag, 12. November 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik
10. Integration durch Substitution 3+3+3+3=12 Punkte Bestimmen Sie folgende Integrale:
a) R
xx0
dy
5y−71b) R
xx0
dy sin(3 − 7y)
c) R
xx0
dy 6ye
−y2d) R
xx0
dy
1y
√
1+ln(y)
a)
ln(5x−7)5+ c b)
17cos(3 − 7x) + c
c) −3e
−x2+ c d) 2 p
ln(x) + 1 + c
11. Essay 10 Punkte
Tragen Sie auf einer halben bis maximal einer Seite Ihr Wissen ¨ uber die Ableitung und Inte- gration zusammen! Wozu sind sie gut, wie sind sie definiert, etc. Begriffe die dabei zumindest vorkommen sollten: Differenzenquotient, Grenzwert, Riemann-Summe.
12. Fallende Kette 16 Punkte+8 Bonuspunkte Eine Kette der L¨ ange L und Masse m besteht aus zahllosen, sehr kleinen Gliedern. Sie h¨ angt anfangs in Ruhe an der Decke und ber¨ uhrt mit dem unteren Ende eine Waagschale. Zur Zeit t = 0 wird sie aus der Ruheposition fallen gelassen (siehe Skizze). Im Folgenden wollen wir die Kraft F (t) bestimmen, die von der Waage gemessen wird. Hierf¨ ur bieten sich zwei L¨ osungswege an. Befolgen Sie einen der beiden L¨ osungswege f¨ ur die volle Punktzahl. F¨ ur beide L¨ osungswege erhalten Sie Bonuspunkte. Bestimmen Sie zudem die gemessene Kraft, wenn die ganze Kette auf der Waagschale liegt und zeichnen Sie F (t) f¨ ur L = 2m, m = 1kg im Zeitintervall 0s ≤ t ≤ 1s.
a) 1. L¨ osungsweg: Berechnen Sie zun¨ achst die Masse m
f(t) des fallenden Teils der Kette und bestimmen Sie dann dessen Impuls p
f(t). Sie k¨ onnen nun die Kraft F
fauf das fallende Kettenteil ermitteln. Machen Sie sich anschließend klar, aus welchen Kr¨ aften F
fzusammen- gesetzt ist (Gegenwirkungsgesetz) und bestimmen Sie somit F (t).
b) 2. L¨ osungsweg: Zerlegen Sie die Kette in kleine Elemente der L¨ ange ∆x und bestimmen Sie den Impuls ∆p eines Kettenelements, das kurz davor steht, auf die Waage zu treffen.
Berechnen Sie dann aus dessen Impuls die Kraft F
t=
∆p∆tauf die Waage. Denken Sie auch an den Teil der Kette, der bereits auf der Waage liegt, um somit F (t) zu erhalten.
Zun¨ achst bestimmen wir f¨ ur beide L¨ osungswege x(t) und v(t):
x(t) = 1
2 gt
2, v(t) = gt Hiermit k¨ onnen wir bereits erkennen, dass ab der Zeit t
e=
q
2Lg
die gesamte Kette auf der
1
Waagschale liegt. Die gemessene Kraft lautet dann F = mg. Nun m¨ ussen wir noch die Kraft f¨ ur 0 < t < t
eberechnen.
L¨ osungsweg 1:
Die Masse des fallenden Kettenteils lautet:
m
f(t) = L − x(t)
L m = L −
12gt
2L m.
Damit lautet der Impuls:
p
f(t) = m
f(t)v(t) = L −
g2t
2L mgt.
Hiermit l¨ asst sich auf die Kraft schließen:
F
f= dp
fdt = mg − 3mg
22L t
2.
Die Kraft setzt sich zusammen aus der Gewichtskraft m
f(t)g des fallendes Kettenteils und der gesuchten Kraft F (t), welche die Waage auf die Kette aus¨ ubt (Gegenwirkungsgesetz). Da auf der Waage f¨ ur t > 0 schon ein Teil der Kette liegt, muss dessen Gewichtskraft F
l= m
l(t)g = (m − m
g(t))g abgezogen werden. Somit erhalten wir:
F
f= m
fg − (F (t) − m
lg) = mg − F (t) ⇒ F (t) = 3mg
22L t
2. L¨ osungsweg 2:
Die Masse eines Kettenelements der L¨ ange ∆x betr¨ agt
∆m = λ(∆x) mit λ =
mL. F¨ ur den Impuls gilt damit
∆p = (∆m)v = λ(∆x)v.
Hiermit l¨ asst sich die Kraft des Kettenelementes auf die Waage bestimmen, F
t= ∆p
∆t = λ ∆x
∆t v = λv
2= λg
2t
2.
Zus¨ atzlich wirkt auf die Waage die Kraft F
ldes bereits liegenden Kettenteils:
F
l= m
lg = λxg = 1 2 λg
2t
2. Zusammen ergibt dies:
F (t) = 1
2 λg
2t
2+ λg
2t
2= 3mg
22L t
2.
2
0.2 0.4 0.6 0.8
t 5
10 15 20 25 F