der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

(1)

Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

6. ¨ Ubung

Abgabe: Dienstag, 26. November 2019 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

18. Richtungsableitung 8+6=14 Punkte

a) Recherchieren Sie den Begriff der Richtungsableitung. Suchen Sie hierzu geeignete Quelle(n) und erkl¨ aren Sie die Richtungsableitung in eigenen Worten.

b) Durch ein Gel¨ ande mit der H¨ ohe h(x, y) =

₁₀¹

(1000 + x + y + √

xy + 76) werde l¨ angs der Gerade ~ r(t) =

1 2

+ t 3

4 eine Straße gebaut. Bestimmen Sie den Anstieg der Straße im Gel¨ andepunkt p ~ =

4 6

.

Anwendung der Formel f¨ ur die Richtungsableitung:

∇h(x, y) = 1 10

1 +

₂^√_xy+76^y

1 +

₂^√_xy+76^x

!

⇒ ∇h(x, y)

x

y

=₄

6

= 1

25 13/4

3

1 25

13/4 3

· 3

4 3 4

= 0.174

(In einem Winkelmaß umgerechnet, erh¨ alt man tan

⁻¹

(0.174) = 0.172 rad = 9.87

^◦

.)

- 5 0 5 10 15

x

y

1

(2)

19. Drehimpuls 7+7+7=21 Punkte a) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich auf einer Kreisbahn ~ r(t) mit konstanter Geschwindig- keit. Zu welchem Bezugspunkt ist der Drehimpuls des Teilchens erhalten? Zeigen Sie zudem, dass der Drehimpuls zu diesem Bezugspunkt senkrecht zur Kreisbahnebene steht.

Als Bezugspunkt muss der Mittelpunkt der Kreisbahn gew¨ ahlt werden. Dann ist nicht nur der Betrag des Geschwindigkeitsvektor ~ v(t) zu jedem Zeitpunkt konstant, sondern auch der des Verbindungsvektors ~ r(t) und der eingeschlossene Winkel. Somit gilt

~ `(t) = m ~ r(t) × ~ v(t) = konst.

Zu diesem Bezugspunkt ist der Drehimpuls senkrecht zur Kreisbahnebene, denn aufgrund des Kreuzproduktes gilt zu jeder Zeit, dass

~ r(t) · ~ `(t) = m~ r(t) · ( ~ r(t) × ~ v(t)) = 0.

b) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich kr¨ aftefrei auf einer Bahn ~ r(t). Zeigen Sie, dass der Dre- himpuls ~ ` zu einem beliebigen Bezugspunkt erhalten ist und die Fl¨ ache A, die der Ortsvektor in einer Zeit ∆t uberstreicht, durch ¨ A =

_2m^∆t

| ~ `| gegeben ist.

Kr¨ aftefreie Bahn: ~ r(t) = ~ r

0

+ ~ v

0

t. Also

~ ` = m~ r × ~ r ˙ = m(~ r

0

+ ~ v

0

t) × ~ v

0

= m ~ r

0

× ~ v

0

.

Also ist ~ ` schon mal konstant. Die von ~ r(t) in der Zeit ∆t ¨ uberstrichene Fl¨ ache ist ein Dreieck, mit Grundfl¨ ache g = v

0

∆t und H¨ ohe h = r

0

sin(α), wobei α der Winkel zwischen ~ r

0

und ~ v

0

ist. Also ist

A = g h 2 = 1

2 r

0

sin(α) v

0

| {z }

=|~r0×~v0|=|~`|/m

∆t = ∆t 2m | ~ `|

c) Ein Teilchen der Masse m bewegt sich in einem zum Ursprung symmetrischen Zentralpo- tential V (~ r) im dreidimensionalen Raum. Da der Wert des Zentralpotentials somit nur vom Abstand |~ r| zum Ursprung abh¨ angt, k¨ onnen wir auch V (~ r) = ˜ V (|~ r|) schreiben. Bestimmen Sie die Kraft auf das Teilchen und zeigen Sie, dass der Drehimpuls ~ ` erhalten ist.

Es gilt ~ ` = m ~ r × ~ r ˙ und ∇V (r) =

^~^r_r

V

⁰

(r). Damit hat man

~ ˙

` = m



 ~ r ˙ × ~ r ˙

| {z }

=0

+~ r × ~ r ¨



 = ~ r × (m ~ r) = ¨ ~ r × F ~

= ~ r × (−∇V (r)) = − ~ r × ~ r

| {z }

=0

V

⁰

(r) r = 0

20. Rotierende Massen 5+5+5=15 Punkte

Es seien zwei punktf¨ ormige Massen K

1

und K

2

gegeben, die durch einen Draht verbunden sind.

Aufgrund der durch den Draht vermittelten Kr¨ afte bewegen sich die beiden Massen auf den

2

(3)

Bahnen

K

1

: ~ r

1

(t) = R

1





cos(ωt) sin(ωt)

0 

, K

2

: ~ r

2

(t) = −R

₂





cos(ωt) sin(ωt)

0 

 mit R

1

= 1, R

2

= 2 und ω = 2π. Es wirken keine weiteren ¨ außeren Kr¨ afte.

a) Skizzieren Sie die Bahnkurven in der xy-Ebene und machen Sie sich klar, wo der Schwerpunkt liegen muss. Nun habe die erste Masse das Gewicht m

1

= 1. Berechnen Sie das Gewicht m

2

der zweiten Masse.

Da keine ¨ außeren Kr¨ afte wirken, muss der Schwerpunkt in Ruhe verharren oder sich auf einer geradlinigen Bahn befinden. Zudem muss der Schwerpunkt auf der Verbindungslinie der beiden kreisenden Massen liegen. Der einzige Punkt, der diese Bedingungen erf¨ ullt, ist der Ursprung, der somit den Schwerpunkt darstellt. Mithilfe der Definition f¨ ur den Schwerpunkt k¨ onnen wir nun die Masse m

2

bestimmen.

~ 0 = 1 m

1

+ m

2

(m

1

R

1

− m

2

R

2

)





cos(ωt) sin(ωt)

0 

 ⇒ m

2

= m

1

R

1

R

2

= 1/2

-2 -1 0 1 2

x

y

R

1

R

2

b) Welche Kraft ¨ ubt K

₁

auf K

₂

aus? Und welche Kraft ¨ ubt K

₂

auf K

₁

aus?

Aufgrund des Gegenwirkungsgesetzes erwarten wir, dass die Kr¨ afte vom Betrag gleich sind und jeweils in entgegengesetzte Richtung entlang der Verbindungslinie zwischen den beiden Massen wirken F ~

12

= − F ~

21

. Die Kr¨ afte auf die Massen ist gegeben durch:

F ~

12

(t) = m

1

~a

1

(t) = m

1

d

²

dt

²

~ r

1

(t) = −

=1

z }| { m

1

R

1

ω

²





cos(ωt) sin(ωt)

0 

, (1)

F ~

₂₁

(t) = m

₂

~a

₂

(t) = m

₂

d

²

dt

²

~ r

₂

(t) =

=1

z }| { m

₂

R

₂

ω

²





cos(ωt) sin(ωt)

0 

. (2)

c) Zur Zeit t

1

= π/ω werde der Draht durchtrennt. Auf welchen Bahnkurven bewegen sich K

1

und K

2

f¨ ur t > t

1

? Skizzieren Sie die kompletten Bahnkurven ~ r

1

(t) und ~ r

2

(t) in der xy-Ebene.

3

(4)

Wenn der Draht zum Zeitpunkt t

1

= π/ω = 0.5 durchschnitten wird, gilt:

r

1

(t) =



 



 



r

₁

(t), : t ≤ t

₁

r

₁

(t

₁

) + v

₁

(t

₁

)(t − t

₁

) = −R

₁





 1 2π(t − 0.5)

0 



 , : t > t

₁

r

₂

(t) =



 



 



r

₂

(t), : t ≤ t

₁

r

₂

(t

₁

) + v

₂

(t

₁

)(t − t

₁

) = R

₂





 1 2π(t − 0.5)

0 



 , : t > t

₁

- 2 - 1 0 1 2

- 2 - 1 0 1 2 3 4

x

y

0 ≤ t ≤ 0.8

R

1

R

2

4