B Drehimpuls und Rotation

6.6 Drell-Yan Prozess

B Drehimpuls und Rotation

Für infinitesimal kleine Translationen, d.h. Verschiebungen entlang einer Richtung, lassen sich Zustände schreiben als

′

= D = ( x + x ) = ( x ) + x @

= ( 1 + i x p

) (B.1) mit dem Impulsoperator p

= − i@

als Generator der Transformati- on. Endlich große Verschiebungen

x = n x

ergeben sich aus n infinitesimal kleinen Verschiebungen, die hinter- einander ausgeführt werden, im Limes n → ∞ und

x → 0 .

D = lim

n→∞

( 1 + i x p

)

= e

(B.2) Ganz analog gilt für eine infinitesimal kleine Rotation z.B. um die z -Achse

′

= R = ( ' + ' ) = ( ' ) + ' @

= ( 1 + i ' J

) mit der Drehimpulskomponente

J

= (� r × p � )

= − i ( x @

− y @

)

als Generator der Rotation um die z-Achse. Das J

tatsächlich der richtige Generator ist sieht man aus den rotierten Koordinaten

x = r cos ' x = ( @

x ) ' = − r sin ' ' = − y ' (B.3) y = r sin ' y = ( @

y ) ' = r cos ' ' = x ' (B.4) und

R ( x, y, z ) = ( x

, y

, z ) (B.5)

= ( x, y, z ) + ( @

) x + ( @

) y (B.6)

= ( x, y, z ) − y ' @

+ x ' @

(B.7)

= ( 1 + i ' J

) ( x, y, z ) (B.8) Für eine Rotation um einen endlich großen Winkel ' = n ' gilt wie oben:

R = lim

n→∞

( 1 + i ' J

)

= e

15

Die Taylorentwicklung von

� 1 + ix

n �

= 1 + n n

ix

1! + n ( n − 1 ) n

( ix )

2! + n ( n − 1 )( n − 2 ) n

( ix )

3! + � liefert für n → ∞

n

lim

( 1 + i x

n )

= 1 + ix + i

( x )

2! + i

( x )

3! + � = e

86

6.6 Drell-Yan Prozess Für die Komponenten J

des durch J � = r � × p � definierten Drehim-

pulsoperators und für J

= J

+ J

+ J

ergeben sich folgende Ver- tauschungsrelationen:

[ J

, J

] = i✏

J

[ J

, J

] = 0 Für die Auf- und Absteigeoperatoren

J

= J

± iJ

gilt [ J

, J

] = J

J

J

= J

− J

+ J

[ J

, J

] = − J

J

J

= J

− J

− J

Für einen Drehimpulszustand � jm > mit Gesamtdrehimpuls j und z -Komponente m gilt

− j ≤ m ≤ j J

� jm >= m � jm > J

� jm >= j ( j + 1 ) � jm >

Daraus folgt

J

( J

� jm >) = J

( J

− 1 ) � jm >= ( m − 1 )( J

� jm >) und

J

( J

� jm >) = ( m + 1 )( J

� jm >) so dass für die Auf-und Absteigeoperatoren gilt:

J

� jm >= C

� j, m + 1 > J

� jm >= C

� j, m − 1 >

mit C

= �

j ( j + 1 ) − m ( m + 1 ) C

= �

j ( j + 1 ) − m ( m − 1 ) Dreht man einen Zustand � j, m > um die y-Achse um den Winkel ✓, so wird daraus eine Linearkombination von Zuständen � j, m

> mit gleichem Gesamtdrehimpuls j und neuen dritten Komponenten m

.

e

� j, m >= �

m^′

d

( ✓ ) � j, m

>

Die einzelnen d-Funktionen sind von ✓ und von j, m, m

abhängig und werden Drehmatrizen genannt. Multiplikation von links mit

< j, m

� liefert

< j, m

� e

� j, m >= d

( ✓ )

Der Fall Spin j = ¹ ₂

Für die Darstellung der beiden möglichen Zustände � j, m >

� 1 2 , 1

2 >= � 1

0 � � 1 2 , − 1

2 >= � 0 1 �

ist die Darstellung von J

geben durch die Pauli-Matrizen,

J

= 1 2

= 1

2 � 0 − i i 0 �

87

6.6 Drell-Yan Prozess

Wegen

= 1 folgt aus einer Taylorentwicklung für sin und cos:

e

= cos (− ✓J

) + i sin (− ✓J

)

= 1

cos ( ✓

2 ) − i

sin ✓

2 = � cos

− sin

sin

cos

�

Damit ist z.B.

d

= d

= < j, m

� e

� j, m >

= ( 1, 0 ) � cos

− sin

sin

cos

� � 1

0 �

= cos ✓

2

Der Fall Spin j = 1

Berechnet werden soll z.B. j = 1, m = 1, m

= 1 , also d

. Auch ohne explizite Darstellung ist die Berechnung möglich wenn man berücksichtigt, dass J

= −

( J

− J

). Für die ersten Terme der Taylor-Entwicklung

e

= 1 − i✓J

− ✓

2! J

+ i ✓

3! J

+ ⋅ folgt wegen J

� 1, 1 >= 0 :

J

� 1, 1 >= − i

2 ( J

− J

)� 1, 1 >= i

2 J

� 1, 1 >= i

√ 2 � 1, 0 >

J

� 1, 1 >= 1

2 (� 1, 1 > −� 1, − 1 >) etc. Daraus folgt

< 1, 1 � e

� 1, 1 >= 1 − 1 2

✓

2! + 1

2

✓

4! + ⋅ oder

d

= 1

2 ( 1 + cos ✓ )

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