der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

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Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

Ubung: Verkehrte Welt ¨

42. Komplexe Zahlen

a) Berechnen Sie f¨ ur die komplexen Zahlen z

₁

= 5i − 3 und z

₂

= 4 − i (i) z

1

+ z

2

,

(ii) z

1

· z

2

. b) Machen Sie den Nenner folgender Br¨ uche reell:

(i) 3 7i , (ii) 2

i

²

− 3 .

c) Bestimmen Sie die kartesische Form z = Re(z) + i Im(z) von (i) (5 − i)(2i + 3), (ii) (i

²

+ 3) · 2i.

d) Bestimmen Sie alle L¨ osungen der Gleichung

−2x

²

+ 4x = 6.

43. Taylorreihe

Uber eine Funktion ist folgendes bekannt: ¨ f (0) = 0 f

⁰

(0) = 1

f

⁽ⁿ⁾

(0) = −4f

⁽ⁿ⁻²⁾

(0) f¨ ur n ≥ 2

Finden Sie einen Ausdruck (mithilfe der Summennotation) f¨ ur die Taylorreihe der Funktion um 0. K¨ onnen Sie einen geschlossenen Ausdruck (ohne unendliche Summe) f¨ ur die Taylorreihe finden?

44. Partielle Ableitungen

a) Gegeben sei die Funktion f (x, y) = 3x

²

+ 4xy + y

²

. Bestimmen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen.

b) Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen von g(x, y) = x

²

√ y − 2 f¨ ur y > 2.

c) Bestimmen Sie den Gradienten von g.

(2)

45. Gradienten

Gegeben sei das skalare Feld f(x, y, z) =

¹₆

x

³

+ 4y

²

+ z − 2xyz.

a) Bestimmen Sie die Bedingung f¨ ur die Punkte, an dem der Gradient orthogonal auf

~ p =



 0 1 0





steht.

b) An welchem Punkt ist der Gradient von f (x, y, z) gleich dem Gradienten der Funktion g(x, y, z) = −2x − 12y + z?

46. Teilchen im Kraftfeld

Ein Teilchen bewegt sich im Kraftfeld A ~ =

x − y 2y

.

Welche Arbeit muss verrichtet werden, um geradlinig von 1

2 zu 5

3 zu gelangen?

47. Massepunkt entlang einer Bahn

Ein Massepunkt bewegt sich in der xy-Ebene entlang der Bahn

y(x) =



 

 

x : x < 10m,

−2x + 30 : 10m < x < 12.5m, 5 : 12.5m < x,

nahe der Erdoberfl¨ ache, welche entlang y = 0m verl¨ auft, unter Einwirkung der Gewichtskraft F

G

= −mg ~ e

y

.

a) Zeichnen Sie die Bahn und das Kraftfeld.

b) Berechnen Sie die aufgebrachte Arbeit mittels

W =

Z

C

d~ r · F ~ (~ r).

Parametrisieren Sie hierf¨ ur die Bahn. Es gilt m = 1kg und g = 10

_s^m2

.

48. Differentialgleichungen

Bestimmen Sie die L¨ osung y(t) folgender Differentialgleichungen. Nutzen Sie dabei die Methode der Trennung der Variablen. Der Anfangswert ist y(0) = y

0

.

a) y ˙ = 4t b) y ˙ = b + 1 c) y ˙ = −2βy d) y ˙ =

¹⁺

1 2t 8y

e) y ˙ = 10ty

²

(3)

49. Schwingung

Eine Feder mit Federkonstante k > 0 stehe orthogonal zum Boden. Die Feder befinde sich in Ruhe, dies sei die Auslenkung y = 0. Nun wird an die Feder eine Masse m > 0 angeheftet, diese um y

₀

nach oben (vom Boden weg) bewegt und dann zur Zeit t = 0 losgelassen. Auf die Feder wirken nun die R¨ uckstellkraft F

R

= −ky und die Gravitationskraft F

G

= −mg. Gesucht ist y(t), die Auslenkung der Feder. Zu l¨ osen ist also:

m y ¨ = −ky − mg y(0) = y

0

˙

y(0) = 0

Bestimmen Sie y(t) und die Amplitude der resultierenden Schwingung. F¨ ur welches y

₀