Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen

Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen

Unter der Kurvendiskussion einer Funktionsgleichung versteht man die Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften ihres Bildes mit anschließender Zeichnung. Zusammenstellung hier ist für eine Variable:

I) Definitionsraum Die Funktion f(x) ist als relationale Funktion stetig im Definitionsraum D = R \ {}

II) Ableitungen

III) Symmetrie Punktsymmetrie: nur ungerade Hochzahlen zum Ursprung: f(x) = -f(-x)

Achsensymmetrie: nur gerade Hochzahlen zur y-Achse: f(x) = f(-x) IV) Untersuchung der Funktion an den äußeren Rändern

An den Polstellen V) Nullstellen des Zählers 1- fache Nullstelle: Schnittstelle

2- fache Nullstelle: Berührstelle 3- fache Nullstelle: Sattelpunkt

VI) Nullstellen des Nenners 1- fache Nullstelle: Polstelle mit Vorzeichenwechsel 2- fache Nullstelle: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel wie im Zähler: Hebbare Definitionslücke VII) Stellen mit waagerechter Tangente

Entscheiden ob Hoch, Tief oder Sattelpunkt

Extremwerte: notwendige Bedingung: y’ = 0 muß unbedingt erfüllt werden hinreichende Bedingung: y’’ < 0 Maximum

Rechtskrümmung; Abnahme der Steigung; Kurve ist konkav y’’ > 0 Minimum

Linkskrümmung; Zunahme der Steigung; Kurve ist konvex da die hinreichend Bedingung viel verlangt, und oft nicht erfüllt werden kann,

muß man in y’ nach einem Vorzeichenwechsel schauen: bei Max von + nach - bei Min von - nach + VIII) Wendepunkt notwendige Bedingung: y’’ = 0

hinreichende Bedingung: y’’’ ≠ 0

nur möglich, wenn x Achse in y’’ mit einer Steigung ≠ 0 geschnitten wurde, ansonsten Vorzeichenwechsel in y’’ betrachten

Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

Begriffe

Lokale (relative) Extrema: werden in einem inneren Punkt des Definitionsbereichs angenommen („innere“

Extrema)

Globale (absolute) Extrema: sind unter den lokalen Extrema und den Randpunkten (Randextrema) des Definitionsbereiches zu suchen

Funktion anzeichnen

Bestimmung der relativen Extrema einer Funktion mehrerer Variabler

1) notwendige Bedingung (Überprüfen auf stationäre Stellen) : grad f(x⁰) = 0 (Vektorschreibweise von fxi (x⁰)= 0 für alle i = 1, 2,...n)

f’x = 0 und f’y = 0 f hat in P (x,y) eine stationäre Stelle wenn diese Bedingung erfüllt ist, oder

f hat in P (x,y) keine stationäre Stelle und damit als differenzierbare Funktion in P auch kein relatives Extremum (Antwortsatz)

2) hinreichende Bedingung (Überprüfen auf relative Extrema):

Untersuchung des Krümmungsverhaltens.

Minimum: Eine Funktion ist konvex, wenn die Hessematrix pos. definit ist Maximum: Eine Funktion ist konkav, wenn die Hessematrix neg. definit ist

Zeichnung: Konvexe Mengen (Kuchen) und Konkave Mengen (Kuchen, bei dem ein Stück fehlt)

bei 2 Variablen:

det D(x,y) =f’’xx * f’’yy - ( f’’xy)² > 0 und f’’xx> 0 Min oder f’’xx < 0 Max

= 0 unbestimmt

< 0 Sattelpunkt

Beispiel 14.1.2, S. 50, weitergeführt in Bsp. 14.3.5, S. 65 F(x,y) = -2x³ +9x² –12x –y² mit x >0 und y Element R

F’x = -6x² +18x –12 = 0 x² –3x +2 = 0 x=1 oder x=2

F’y = -2y = 0 y=0

Kritische Punkte : P1 (1/0) und P2(2/0) Hesse-Matrix: D = 12 18 0

0 2

− x+

− P1 (1/0): D= 6 0

0 −2 = -12 indefinit und somit SP P2(2/0): D= 6 0

0 2

−

− = 12 f’’xx =-6< 0; neg definit und somit lokales Max

mit mehreren Variablen/ Hesse Determinante

|F|=

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

f f f

f f f

f f f

Bestimmung der Hauptminore und der Definitheit

Überprüfen von f(x,y,z) (einsetzen) und schauen ob Aussage möglich ist.

positiv definit → relatives Minimum Fkt ist konvex positiv (semi)definit → SP oder rel. Min

negativ definit → relatives Maximum Fkt ist konkav negativ (semi) definit → SP oder rel Max

indefinit → Sattelpunkt Beispiel 14.3.3, Skript S. 63

Semidefinit kann beispielsweise vorkommen, wenn die Krümmung eines ganzen Definitionsbereiches betrachtet werden soll, und nicht nur an einem speziellen Wert. Bsp: Übungsaufgabe 14.2.18, S. 61 Skript Ökonomische Anwendungen

Kostenminimierung und Regressionsanalyse (Selbststudium Kapitel 14.4, S. 68)

Definitheit

Eine Funktion, die für alle erdenkbaren Werte stets dasselbe VZ besitzt, wird als definit bezeichnet.

Beispielsweise ist es für die Bestimmung von Extrema von Interesse, ob, bzw. wo diese Form positiv oder negativ ist. Das kann man über die Definitheit klären.

Quadratische Formen

Eine quadratische Form ist ein nichtlinearer Ausdruck der Form q(x,y)= ax² +2bxy+cy² , der sich auch als x’

* A * x schreiben läßt, wobei sich jede Matrix A auch als eine quadratische, symmetrische Matrix schreiben läßt.

Quadratische Formen sind positiv definit q > 0 ∀ x,y ≥ 0

q(x, y) positiv semidefinit q ≥ 0 (hier nicht

negativ definit falls gilt: q < 0 beide = 0)

negativ semidefinti q ≤ 0

indefinit in allen anderen Fällen

Anhand der Hauptdiagonalen

Anhand der Elemente auf der Hauptdiagonalen kann man ihre Definitheit auch schon erkennen. (Notwendige Bedingung) Weist eine quadratische Form sowohl positive, als auch negative Elemente auf der Hauptdiagonalen von A auf, so ist sie indefinit.

Anhand der Eigenwerte

Auch anhand der Eigenwerte kann man auf Definitheit schließen. (λ anstelle von q) Voraussetzung ist allerdings, daß die Matrix symmetrisch ist.

Semidefinit ist möglich, da auch mehrere Eigenwerte vorkommen können.

Über die Hauptminoren

Um sich Arbeit zu ersparen fängt man mit dem 2. Hauptminor an, denn wenn er negativ ist, dann ist die Matrix indefinit.

Eine quadratische Form positiv definit |A1 | > 0; |A2 | > 0, |An | > 0 mit symmetrischer Matrix positiv semidefinit |A1 | ≥ 0; |A2 | ≥ 0, |An | ≥ 0 ist: negativ definit falls gilt: |A1 | < 0; |A2 | > 0, |A3 | < 0 negativ semidefint |A1 | ≤ 0; |A2 | ≥ 0, |An | ≤ 0

indefinit in allen anderen Fällen

Bei negativ definit muß die Reihe alternieren, und mit negativen Werten anfangen (das Vorzeichen der Hauptabschnittsdeterminante k-ter Ordnung ist gleich (-1)^k

Optimierung unter Nebenbedingungen

(Beschränkung der Definitionsmenge Zeichnung)

Im Gegensatz zur linearen Optimierung sind als Nebenbedingungen keine Ungleichungen zugelassen, dafür aber beliebige (auch nichtlineare) n-dimensionale Funktionen

1) Reduktionsmethode/Varialensubstitution

Die Nebenbedingung nach einer Variablen hin auflösen (abhängig machen) und in die Zielfunktion einsetzen, so dass eine Variable rausgeworfen wird, und man die Funktion nach Möglichkeit auf nur eine unbekannte Variable bringt.

Beispiel 14.5.1, S. 73 mit 1 Variablen/ Bsp. 14.5.3, S.76 mit 2 NB)

Ein Minimierungsproblem mit einer Nebenbedingung lässt sich durch die Reduktionsmethode zu einem Minimierung einer Funktion ohne NB zurückführen Einschränkung: Falls man nicht nach einer Variablen hin auflösen kann, dann kann man die Methode auch nicht anwenden.

Ansatz von Lagrange (notwendige Bedingung)

z = f(x,y) → Min, Max udN: g(x,y) = 0

Wichtig: um Lagrange anwenden zu können, muß die Nebenbedingung so umgeformt sein, dass auf der RS Null steht.

L = f(x,y) - λ*g(x,y) = Zielfunktion - λ * (Nebenbedingung)

(Achtung: im Skript steht + Lambda, Interpretation fällt aber leichter mit - Lambda)

Nach den einzelnen Variablen und nach λ hin ableiten und Null setzen. (notwendige Bedingung für die Existenz von Extrema)

[Bei den Ableitungen muß entweder die nach x oder die nach y ungleich Null sein. Dies ist aber immer erfüllt, wenn der Lagrange Multiplikator ungleich Null ist.]

Beispiel: Rommel II 6/12 Interpretation von λ

[Achtung: Wenn die NB nicht subtrahiert sondern addiert wird, dann dreht sich die Interpretation um]

Der Wert von Lambda gibt an, um wieviel sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Nebenbedingung um eine Einheit ändert.

λ ist die marginale Änderungsrate der Funktion f relativ zur NB g, bzw. der Grenznutzenfaktor der NB g in Hinblick auf f. Anders ausgedrückt: Die infinitesimale Änderung des Absolutgliedes der NB hat die λ-fache Wirkung auf die Zielfunktion

Zurück zum Beispiel:

Wird nicht im Skript behandelt oder verlangt, ab hier also also nur durchlesen, wenn Interesse besteht Geränderte Hesse’sche Determinante (hinreichende Bedingung)

Hier wird das Lambda nicht abgezogen, sondern hinzuaddiert, damit die Ableitung in die geränderte Matrix eingefügt werden können.

Die symmetrische Matrix A* =

A NB

NB

NB NB 0

wird als geränderte Matrix bezeichnet.

| 0 g’x g’y | positiv definit bei < 0 → Minimum

|H*| = | g’x L’’xx L’’yx| ist

| g’y L’’xy L’’yy| negativ definit bei > 0 → Maximum

| L’’λλ -L’’λx -L’’λy | |-L’’λλ L’’λx L’’λy| |L^’’λλ L^’’λx L^’’λy|

= | -L’’xλ L’’xx L’’xy| = (-1) |-L’’xλ L’’xx L’’xy| = (-1)² |L’’xλ L’’xx

L’’xy|

| -L’’yλ L’’yx L’’yy| |-L’’yλ L’’yx L’’yy| |L’’yλ L’’yx L’’yy|

Funktionen mit n (2) Variablen unter m (1) Nebenbedingungen (n>m)

Der geränderte Minor n-ter Ordnung ist der jeweils ungeränderte Minor + den Randzeilen und Randspalten (1. Abl. der NB). Die geränderten Hauptminoren haben also jeweils m Zeilen und Spalten mehr als ihre Ordnung angibt.

Auch in diesem Fall entscheiden die Vorzeichen der geränderten Hauptminoren über den Typ des Extrema, wobei die ersten m geränderten Hauptminoren keine Rolle spielen.

Rel Minimum: wenn |H*|m+1 , |H*|m+2 ...|H|n alle dasselbe Vorzeichen (-1)^m besitzen.

Rel Maximum: falls |H*|m+1 , |H*|m+2 ...|H|n im Vorzeichen (-1)ⁿ alternieren Ansonsten hat die Funktion kein relatives Extrema.

Definitheit unter NB über die Hauptminoren

Bei drei Sonderfällen kann man die Definitheit sehr schnell überprüfen, wenn man sich an folgende Regeln hält:

m = NB, n = Variablen

Fall A (m =1, n = 2) Fall B (m = 1, n = 3)

HAD3 HAD4

> 0 < 0 = 0 >0 < 0 = 0

rel Max rel Min kAm kein lok Extrema HAD3 kAm

>0 < 0 = 0 lok Max lok Min kAm Fall C (m = 2, n = 3)

HAD5

>0 < 0 = 0 lok Min lok Max kAm