Funktionen mehrerer Variablen: Differentialrechnung Aufgaben

Funktionen mehrerer Variablen: Differentialrechnung Aufgaben

J¨org Gayler, Lubov Vassilevskaya

1. Partielle Ableitungen 1. Ordnung . . . 1

2. Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene . . . 1

2.1. Das totale Differential . . . 2

3. Partielle Ableitungen 1. Ordnung: L ¨osungen . . . 4

4. Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene: L ¨osungen . . . 5

Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene

1. Partielle Ableitungen 1. Ordnung

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung folgender Funktionen:

A1

a) f (x, y) = x cos(xy) g (x, y)=cos(x+y)+sin(xy), h (x,y)= x² sin(x+y) b) f (x, y)=ln(x+y), g (x, y)=ln(xy)+

q

x²−y, h (x,y)=ln(y²−x)+cos x c) f (x, y)=e^x sin y, g (x, y)=e^x+y, h (x,y)=e^x2+y2

d) f (x, y)=sin(√

x+y) g (x, y)=sin(p x+2y) e) f (x, y)= 1

x + 1

y² g (x, y)= 1

xy² +x²y h (x, y)= 1 x²+y² 2. Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene

Die lineare N¨aherung einer im Punkt P (x0,y0) differenzierbaren Funktion f (x, y) ist eine Funktion L (x, y) = f (x₀,y₀) + ∂f

∂x (x₀, y₀) (x−x₀) + ∂f

∂y(x₀,y₀) (y−y₀) (1) Die lineare N¨aherung einer im Punkt P (x₀, y₀,z₀) differenzierbaren Funktion f (x,y,z) ist eine Funktion

L (x,y,z) = f (x₀,y₀, z₀) + ∂f

∂x(x₀,y₀, z₀) (x−x₀) (2)

+ ∂f

∂y (x0,y0, z0) (y−y0) + ∂f

∂z (x0, y0,z0) (z−z0)

Beispiel 1: Wir linearisieren die Funktion f (x,y) = (x²−y²)·sin y im Punkt P (1, π/2) f (x,y) = (x²−y²)·sin y, P

1, π

2

, x0 = 1, y0 = π 2

∂f (x,y)

∂x = 2x sin y,

"

∂f (x,y)

∂x

#

x=1,y=π/2

= 2 sin π

2

=2

∂f (x,y)

∂y = −2y sin y+(x²−y²) cos y,

"

∂f (x,y)

∂x

#

x=1,y=π/2

= −π

f (x0,y0) = f

1, π 2

= 1− π²

4,

L (x, y) = 2x−πy−1+ π²

4 ≃ 2x−3.14y+1.47

Beispiel 2: Wir linearisieren die Funktion f (x,y) = x³+2 cos y im Punkt P (−2, 3π/2)

f (x,y) = x³+2 cos y, P −2, 3π 2

!

, x₀ = −2, y₀ = 3π 2

∂f (x,y)

∂x = 3 x²,

"

∂f (x,y)

∂x

#

x=−2,y=3π/2

= 12

∂f (x,y)

∂y = −2 sin y,

"

∂f (x,y)

∂x

#

x=−2,y=3π/2

= 2

f (x0,y0) = x³₀+2 cos y0 = −8

L (x, y) = 12x+2y+16−3π ≃ 12x+2y+6.58 Aufgaben: Linearisieren Sie die Funktion f (x,y) im Punkt P (x0,y0):

A2

a) f (x,y) = x²+2xy−6, 1) P (1, 1), 2) P (2,−3), 3) P (0, 0) b) f (x,y) = x³+2y²+x, 1) P (1, −1), 2) P (0,−2)

c) f (x,y) = (x+3y−2)², 1) P (2,−1), 2) P (1, −2) d) f (x,y) = e^2x−y, 1) P (1,2), 2) P (1,1)

e) f (x,y) = ln x+ln y, 1) P (1, 1), 2) P (e, 2e) f ) f (x,y) = √

x+ √y, 1) P (1, 4), 2) P (4, 9) A3

a) f (x,y) = 3 sin x+y³, 1) P π

2, 2

, 2) P

π 3,−1

, 3) P (0, 1)

b) f (x,y) = sin (x+y), 1) P π

6, π 3

, 2) P

π 4, π

4

, 3) P

π 8, π

8

c) f (x,y) = e^x cos y, 1) P (0, 0), 2) P

0, π 3

2.1. Das totale Differential

Unter demtotalen Differential einer Funktion von zwei oder drei unabh¨angigen Ver¨anderlichen ver- steht man lineare Differentialausdr¨ucke

d f (x, y) = fxdx+ fydy = ∂f

∂x dx+ ∂f

∂ydy (3)

d f (x, y,z) = f_xdx+ f_ydy+ f_zdz = ∂f

dx+ ∂f

dy+ ∂f dz

Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene

A4

a) f (x,y) = x²+y²−4xy, g (x,y) = x³y² b) f (x,y) = x

x²−y², g (x,y) = 1 xy

c) f (x,y) = sin² x+cos y, g (x,y) = x²+sin (2x+y) d) f (x,y) = xy−tan y, g (x,y) = sin (x+y)+cos(x−y) e) f (x,y) = e^2x−3y, g (x,y) = e^x2+y2

f ) f (x,y) = ln (x+y), g (x,y) = ln(x²+y²), h (x,y) = ln

1+ y x

g) f (x,y) = q

x²+y², g (x,y) = 1

√x + 1

√y

3. Partielle Ableitungen 1. Ordnung: L ¨osungen L1

a) f (x,y) = x cos (xy), ∂f

∂x =cos (xy)−xy sin (xy), ∂f

∂y =−x² sin (xy) g (x, y)=cos(x+y)+sin (xy)

∂g

∂x =−sin (x+y)+y cos (xy), ∂g

∂y =−sin (x+y)+x cos (xy) h (x, y)= x² sin (x+y)

∂h

∂x =2x sin (x+y)+x² cos (x+y), ∂h

∂y = x² cos (x+y) b) f (x,y)=ln (x+y), ∂f

∂x = ∂f

∂y = 1

x+y g (x, y)=ln (xy)+

q

x²−y, ∂g

∂x = 1

x+ x

px²−y

, ∂g

∂y = 1

y− 1

2 p x²−y h (x, y)=ln (y²−x)+cos x, ∂h

∂x =− 1

y²−x −sin x, ∂h

∂y = 2y

y²−x c) f (x,y)=e^x sin y, ∂f

∂x =e^x sin y, ∂g

∂y =e^x cos y g (x, y)=e^x+y, ∂g

∂x = ∂g

∂y =e^x+y h (x, y)=e^x2+y2, ∂h

∂x =2x e^x2+y2, ∂h

∂y =2y e^x2+y2 d) f (x, y)=sin (√

x+y), ∂f

∂x = 1 2

cos (√ x+y)

√x , ∂f

∂y =cos (√ x+y) g (x, y)=sin(p

x+2y), ∂g

∂x = 1 2

cos (p x+2y) px+2y , ∂g

∂y = cos (p x+2y) px+2y

e) f (x, y)= 1 x+ 1

y², ∂f

∂x =− 1

x², ∂f

∂y =− 2

y³ (4)

g (x, y)= 1

x y² +x²y, ∂g

∂x =− 1

x²y² +2xy, ∂g

∂y =− 2 x y³ +x² h (x, y)= 1

x²+y², ∂h

∂x =− 2x

(x² + y²)², ∂h

∂y =− 2y

(x² + y²)²

Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene: L ¨osungen

4. Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene: L ¨osungen L2

a) f (x,y) = x²+2xy−6,

1) P (1, 1) : L (x,y) = 4x+2y−9, 2) P (2, −3) : L (x,y) = −2x+4y+2, 3) P (0, 0) : L (x,y) = 6

b) f (x,y) = x³+2y²+x,

1) P (1, −1) : L (x,y) = 4x−4y−4, 2) P (0, −2) : L (x,y) = x−8y−8 c) f (x,y) = (x+3y−2)²,

1) P (2, −1) : L (x,y) = −6x−18y+3, 2) P (1, −2) : L (x,y) = −14x−42y−21 d) f (x,y) = e^2x−y,

1) P (1, 2) : L (x,y) = 2x−y+1, 2) P (1, 1) : L (x,y) = e (2x−y) e) f (x,y) = ln x+ln y,

1) P (1, 1) : L (x,y) = 2x−y+1,x+y−2, 2) P (e, 2e) : L (x,y) = 1

e

x+ y 2

+ln 2 f ) f (x,y) = √

x+ √y, 1) P (1, 4) : L (x,y) = x

2 + y 4 + 3

2,

2) P (4, 9) : L (x,y) = x 4 + y

6 + 5 2

L3

a) f (x,y) = 3 sin x+y³, 1) P π

2, 2

, 2) P

π 3,−1

, 3) P (0, 1)

∂f (x,y)

∂x = 3 cos x, ∂f (x,y)

∂y = 3y²,

a) P π

2,2

: z = 12y−13 b) P

π 3,−1

: z = 3

2 x+3y+2− π 2 + 3 √

3

2 ≃ 1.5x+3y+3.03 c) P (0, 1) : z = 3x+3y−2

b) f (x,y) = sin (x+y), 1) P

π 6, π

3

: L (x,y) = 1, 2) P

π 4, π

4

: L (x,y) = 1, 3) P

π 8, π

8

: L (x,y) = 1

√2

x+y+1− π 4

≃ 0.707x+0.707y+0.152

c) f (x,y) = e^x cos y,

1) P (0, 0) : L (x,y) = x+1, 2) P

0, π

3

: L (x,y) = x 2−

√3

2 y+ π 2√

3 + 1

2 ≃ 0.5 x−0.87 y+1.41

Linearisierung einer Funktion, Gleichung der Tangentialebene: L ¨osungen

L4

a) f (x,y) = x²+y²−4xy, d f = 2 (x−2y) dx+2 (y−2x) dy g (x,y) = x³y², dg = 3x²y²dx+2x³y dy

b) f (x,y) = x

x²−y², d f = − x²+y²

(x²−y²)²dx + 2xy (x²−y²)² dy g (x,y) = 1

xy, dg = −dx x²y − dy

xy² =−y dx+x dy x²y²

c) f (x,y) = sin² x+cos y, d f = 2 sin x·cos x dx−sin y dy

g (x,y) = x²+sin (2x+y), dg = 2 (x+cos (2x+y)) dx+cos (2x+y) dy d) f (x,y) = xy−tan y, d f = y dx+(x−1−tan²y) dy

g (x,y) = sin (x+y)+cos (x−y),

dg = (cos (x+y)−sin (x−y)) dx+(cos (x+y)+sin (x−y)) dy e) f (x,y) = e^2x−3y, d f = e^2x−3y(2 dx−3 dy)

g (x,y) = e^x2+y2, dg = 2 e^x2+y2(x dx+y dy) f ) f (x,y) = ln (x+y), d f = dx+dy

x+y

g (x,y) = ln(x²+y²), dg = 2 (x dx+y dy) x²+y² h (x,y) = ln

1+ y

x

, dh = − y dx

x (x+y)+ dy

x+y = −y dx+x dy x (x+y) g) f (x,y) =

q

x²+y², d f = x dx+y dy px²+y² g (x,y) = 1

√x+ 1

√y, dg = −1 2

dx x √

x + dy y√y

!