Bestimmen Sie die Gleichung der im Punkt (0,1,2) ber¨uhrenden Tangentialebene

Wintersemester 2012/2013

Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis L¨osungen von Blatt IX vom 07. Dezember 2012

Aufgabe IX.1(5 Punkte)

Seif:R²→Rdefiniert durchf(x, y) = _x2^y+1³ + 2x. Skizzieren Sie die Niveaulinien zu f(x, y) =c f¨urc∈ {−4,−2,0,2,4}.

Berechnen Sie den Gradienten vonfan der Stelle (x0, y0)∈R², wobei (x0, y0) der Punkt ist, in welchem die Niveaulinie zuc= 4 diex-Achse schneidet.

Aufgabe IX.2(5 Punkte) a) Betrachtet werde die durch

x 4

2

+y²−z²=−3 gegebene Niveaufl¨ache.

Bestimmen Sie die Gleichung der im Punkt (0,1,2) ber¨uhrenden Tangentialebene.

b) Betrachtet werde die durch den Graphen der Funktiong:R²→R, g(x, y) =

q

3 + ^x₄2

+y²

gegebene Fl¨ache. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene, welche die Fl¨ache im Punkt (0,1, g(0,1)) ber¨uhrt.

c) Machen Sie sich klar, dass die Teilaufgaben a) und b) die gleiche Fragestellung behandeln.

Aufgabe IX.3(5 Punkte)

Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der folgenden Funktionen.

a) f:R²→R, f(x, y) =x³y²(1−x−y) b) f:R×[0, π)→R, f(x, y) =x(x²−3) cos(y)

Aufgabe IX.4(5 Punkte)

Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extrema der folgenden Funktionen. Bestimmen Sie außerdem die Funktionswerte an den jeweiligen Extremstellen.

a) f:R²→R, f(x, y) =x²+xy+y²+x+y+ 1 b) f: R\ {0}

× R\ {0}

→R, f(x, y) = 1 y−1

x−4x+y

L¨osungsvorschl¨age Aufgabe IX.1

Eine Skizze der gefragten Niveaulinien inklusive des Gradientenfeldes der angegebenen Funktion sieht wie folgt aus:

Es ist∇f(x, y) = (2−_(x^2xy2+1)³²,_x^3y2+1² ). Der Punkt (2,0) ist gerade derjenige, in welchem die Niveaulinie zuc= 4 diex-Achse schneidet. Damit ist

∇f(2,0) = (2,0).

Aufgabe IX.2 a) Zun¨achst ist

∇f(x, y, z) = (^x₈,2y,−2z)

und somit ∇f(0,1,2) = (0,2,−4). Wir verwenden die Formel aus der Vorlesung und erhalten

h(0,2,−4),(x, y−1, z−2)i= 0⇔2(y−1)−4(z−2) = 0⇔z= y+ 3 2 . b) Wir berechnen zun¨achst den Gradienten der angegebenen Funktion und erhalten

∇g(x, y) = 1 2

q

3 + ^x₄2

+y²

(^x₈,2y).

Die Auswertung im Punkt (0,1) liefert ∇g(0,1) = (0,¹₂). Damit ist die Gleichung der TangentialebeneE, welche die Fl¨ache im Punkt (0,1, g(0,1)) ber¨uhrt, gegeben durch

z=g(0,1) +h∇g(0,1),(x, y−1)i= 2 +1

2(y−1) = y+ 3 2 .

c) Die Funktiong aus b) ist eine explizite Darstellung der Niveaufl¨ache aus a), denn

x 4

2

+y²−z² =−3⇔ |z|= q

3 + ^x₄2

+y² =g(x, y)

und daz=g(0,1) = 2>0 die dritte Koordinate des Ber¨uhrpunkts in b) ist, folgt somit die Gleichheit der Fragestellung in a) und b).

Aufgabe IX.3 a) Zun¨achst ist

∂₁f(x, y) =x²y²(3−4x−3y) und ∂₂f(x, y) =x³y(2−2x−3y).

Die Punkte (x, y) mit x = 0 und y ∈ R beliebig bzw. y = 0 und x ∈ R beliebig erf¨ullen das Gleichungssystem

(x²y²(3−4x−3y) = 0 x³y(2−2x−3y) = 0.

Nehmen wir nunx, y6= 0 an und l¨osen die erste Gleichung des obigen Gleichungs- systems nachy auf, so erhalten wir y = ^3−4x₃ . Setzen wir dies in die zweite Glei- chung ein, ergibt sich

2−2x−3·(^3−4x₃ ) = 0⇐⇒x= ¹₂.

Damit isty= ¹₃ und die Menge der kritischen Punkte ist insgesamt gegeben durch ({0} ×R)∪(R× {0})∪ {(¹₂,¹₃)}.

b) Die partiellen Ableitungen lauten zun¨achst

∂₁f(x, y) = 3 cos(y)(x²−1) und ∂₂f(x, y) =−sin(y)x(x²−3).

Wir betrachten das Gleichungssystem

(cos(y)(x²−1) = 0 sin(y)x(x²−3) = 0 und f¨uhren folgende Fallunterscheidung durch:

i) Sei cos(y) = 0. Dann ist y = ^π₂. Damit die zweite Gleichung dann ebenfalls erf¨ullt ist, mussx(x²−3) = 0 sein (denn sin(^π₂) = 1), d.h.x= 0 oderx=±√

3.

ii) Seix²−1 = 0. Dann istx= 1 oderx=−1. Damit die zweite Gleichung dann ebenfalls erf¨ullt ist, mussy= 0 gew¨ahlt werden (denn sin(0) = 0).

Damit sind alle kritischen Punkte vonf gegeben durch die Punkte (1,0),(−1,0), (0,^π₂), (√

3,^π₂) und (−√ 3,^π₂).

Aufgabe IX.4

a) Wir ermitteln zun¨achst die kritischen Punkte von f. Dazu betrachten wir

∇f(x, y) =

2x+y+ 1 x+ 2y+ 1

= 0

0

.

Aufl¨osen der ersten Zeile nach y liefert y=−2x−1. Setzen wir dies in die zweite Zeile ein, erhalten wir

x+ 2(−2x−1) + 1 = 0⇐⇒x=−¹₃.

Damit isty = ²₃−1 =−¹₃. Der einzige kritische Punkt von f ist somit (−¹₃,−¹₃).

Nun stellen wir als hinreichende Bedingung f¨ur die Existenz eines Extremums die Hesse-Matrix von f auf:

H_f(x, y) = 2 1

1 2

.

Diese Matrix ist positiv definit, denn 2 >0 und det (H_f(x, y)) = 3 >0 f¨ur jedes (x, y) ∈R². Damit liegt im Punkt (−¹₃,−¹₃) ein lokales Minimum von f vor. Der zugeh¨orige Funktionswert lautet f(−¹₃,−¹₃) = ²₃.

b) Wir gehen analog zu a) vor:

∇f(x, y) = ₁

x² −4

−_y¹2 + 1

= 0

0

.

Die Gleichung _x¹2 −4 = 0 ist erf¨ullt f¨ur x =±¹₂; die Gleichung −_y¹₂ + 1 = 0 ist erf¨ullt f¨ury =±1. Die vier kritischen Punkte lauten somit (¹₂,1),(−¹₂,1),(¹₂,−1) und (−¹₂,−1). Wir stellen die Hesse-Matrix vonf auf:

Hf(x, y) =

−_x²₃ 0 0 _y²3

.

• H_f ist im Punkt (¹₂,1) indefinit, denn det(H_f(¹₂,1)) =−32<0. Es liegt somit kein Extremum in diesem Punkt vor, sondern ein Sattelpunkt.

• H_f ist im Punkt (−¹₂,1) positiv definit, denn der erste Diagonaleintrag der Matrix lautet

H_f(−1/2,1)

11 = 16 > 0 und det(H_f(−¹₂,1)) = 32 > 0.

Es liegt somit ein lokales Minimum in diesem Punkt vor. Der zugeh¨orige Funktionswert lautet f(−¹₂,1) = 6.

• H_f ist im Punkt (¹₂,−1) negativ definit, denn

H_f(¹₂,−1)

11=−16<0 und det(Hf(¹₂,−1)) = 32 > 0. Es liegt somit ein lokales Maximum in diesem Punkt vor. Der zugeh¨orige Funktionswert lautet f(¹₂,−1) =−6.

• H_f ist im Punkt (−¹₂,−1) indefinit, denn det(H_f(−¹₂,−1)) = −32 < 0. Es liegt somit kein Extremum in diesem Punkt vor, sondern ein Sattelpunkt.

Der Graph der jeweiligen Funktionen ist der n¨achsten Seite zu entnehmen.

Graph der Funktion (x, y)7→x²+xy+y²+x+y+ 1.

Graph der Funktion (x, y)7→ ¹_y−¹_x−4x+y, x, y6= 0.