Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt IX vom 07. Dezember 2012
Abgabe bis Freitag, 14.12.12, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128)
Aufgabe IX.1 (5 Punkte)
Seif:R2→R definiert durchf(x, y) = x2y+13 + 2x. Skizzieren Sie die Niveaulinien zu f(x, y) =c f¨urc∈ {−4,−2,0,2,4}.
Berechnen Sie den Gradienten vonf an der Stelle (x0, y0)∈R2, wobei (x0, y0) der Punkt ist, in welchem die Niveaulinie zuc= 4 diex-Achse schneidet.
Aufgabe IX.2 (5 Punkte) a) Betrachtet werde die durch
x 4
2
+y2−z2 =−3 gegebene Niveaufl¨ache.
Bestimmen Sie die Gleichung der im Punkt (0,1,2) ber¨uhrenden Tangentialebene.
b) Betrachtet werde die durch den Graphen der Funktion g:R2 →R, g(x, y) =
q
3 + x42
+y2
gegebene Fl¨ache. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene, welche die Fl¨ache im Punkt (0,1, g(0,1)) ber¨uhrt.
c) Machen Sie sich klar, dass die Teilaufgaben a) und b) die gleiche Fragestellung behandeln.
Aufgabe IX.3 (5 Punkte)
Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der folgenden Funktionen.
a) f :R2 →R, f(x, y) =x3y2(1−x−y) b) f :R×[0, π)→R, f(x, y) =x(x2−3) cos(y)
Aufgabe IX.4 (5 Punkte)
Bestimmen Sie Lage und Art der lokalen Extrema der folgenden Funktionen. Bestimmen Sie außerdem die Funktionswerte an den jeweiligen Extremstellen.
a) f :R2 →R, f(x, y) =x2+xy+y2+x+y+ 1 b) f : R\ {0}
× R\ {0}
→R, f(x, y) = 1 y −1
x−4x+y
