Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt III vom 26. Oktober 2012
Abgabe bis Freitag, 02.11.12, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128) Aufgabe III.1 (5 Punkte)
Gegeben seien die Ebenen E1 in Koordinatenform durch x1 +x2 +x3 = 1 und E2 in Parameterform durch
x=
2
−1 1
+s
1 1
−1
+t
2 1 3
(s, t∈R).
a) Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen.
b) Der Winkel α zwischen zwei EbenenF1 und F2 mit den jeweiligen Normalenvek- toren n1 und n2 ist definiert durch
cosα= |hn1, n2i|
|n1| · |n2|.
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den EbenenE1 undE2. Die GeradeG sei in Parameterform gegeben durch
x=
4 0 4
+r
3 2 2
(r ∈R).
c) Diskutieren Sie die Lage der GeradenG bzgl. der EbenenE1 undE2. Aufgabe III.2 (5 Punkte)
Eine punktf¨ormige Lichtquelle sei im Punkt Q= (1,2,2) aufgestellt. Die Ebene E ver- laufe durch den Ursprung und werde von den Vektoren v1 = (0,0,1) undv2 = (1,1,0) aufgespannt.
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schattens S = (s1, s2, s3), den der Punkt P = (2,1,0) auf die Ebene E wirft.
b) Es sei N ={n∈R3|n ist Normalenvektor vonE und |n|= 1}.
Listen Sie alle Elemente vonN auf und zeigen Sie, dass es genau einn∗ ∈N gibt mit
D n∗,−→
SP E
>0. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektorenn∗ und −→
SP.
Aufgabe III.3 (6 Punkte)
Bestimmen Sie die L¨osungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme.
a)
x+ 2y+ 3z= 1 4x+ 5y+ 6z= 2 7x+ 8y+ 9z= 3 b)
x+ 2y+ 3z= 1 4x+ 5y+ 6z= 2 7x+ 8y+ 9z= 2 c)
x+ 2y+ 3z= 1 3x+ 5y+ 6z= 2 7x+ 8y+ 9z= 3
Aufgabe III.4 (4 Punkte)
F¨ur welche Werte von r∈R besitzt das Gleichungssystem x−y+r3z= 1
3y−rz = 0 3x−3y+r2z=r+ 2 i) keine L¨osung,
ii) genau eine L¨osung, iii) unendlich viele L¨osungen?
Geben Sie außerdem die jeweilige L¨osungsmenge in Abh¨angigkeit von r an.
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