L¨ osungsvorschl¨ age Aufgabe VII.1

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Wintersemester 2012/2013

Ubungsaufgaben zu ¨ Spezielle Aspekte der Analysis L¨ osungen von Blatt VII vom 23. November 2012

Aufgabe VII.1(5 Punkte)

F¨ur eine Zahlc∈Rsei die Funktionf:R²→Rdefiniert durch f(x, y) =

(ye^x, fallsx >0 c, fallsx≤0.

Existiert einc∈Rderart, dassfauf ganzR² stetig ist?

Anleitung: Bestimmen Sie zun¨achst c ∈ Rderart, dass f im Punkt (0,0) stetig ist. Untersuchen Sie anschließend die Stetigkeit vonf(mit der soeben bestimmten Zahlc) in einem beliebigen Punkt (0, y0) mity06= 0.

Aufgabe VII.2(5 Punkte)

Seienf:R² →R,f(x, y) =x²−xy, v= (v1, v2)∈R² mit|v|= 1 unda= (x0, y0)∈R². a) Berechnen Sie∂vf(a) ¨uber die Definition der Vorlesung, d.h.

∂vf(a) = lim

t→0

f(x0+tv1, y0+tv2)−f(x0, y0)

t .

b) Berechnen Sie∂vf(a) konkret f¨ur alle m¨oglichen Kombinationen der folgenden Punkte a ∈ R² und Richtungsvektorenv∈R²:

a1= (1,0), a2= (−1,2), v1= (0,1), v2= (^√1

2,^√1

2).

Aufgabe VII.3(5 Punkte)

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen∂1f(x, y) und∂2f(x, y) der folgenden Funktionen.

a) f:R²→R, f(x, y) =x³−2x²y²+ 4xy³+y⁴+ 10 b) f:R²→R, f(x, y) = (x²+y²)e^xy

c) f:R×(R\ {0})→R, f(x, y) = 2e^x y

d) f: (0,∞)×(R\ {0})→R, f(x, y) = ln(xy²) e) f:R²\ {(0,0)} →R, f(x, y) = x²

x⁴+y² Aufgabe VII.4(5 Punkte)

Berechnen Sie die Richtungsableitungen der folgenden Funktionen f : R² → R an den angegebenen Stellen in den angegebenen Richtungenv. Verwenden Sie hierbei die Formel

∂vf(a) =h∇f(a), vi,

wobei∇f(a) = (∂1f(a), ∂2f(a)) den sog.Gradienten vonf im Punkta∈R² bezeichnet.

a) f(x, y) =x²+y²

i) (x, y) = (1,1),v= (^√1

2,^√1

2) ii) (x, y) = (0,2),v= (¹₂,

√ 3 2 ) b) f(x, y) =x²+ 5e^2xy

i) (x, y) = (1,1),v= (0,1) ii) (x, y) = (0,2), v= (−^√1

2,^√1

2)

Ubungsblatt VII¨ Seite 2

L¨ osungsvorschl¨ age Aufgabe VII.1

Wir bestimmen die Konstante c ∈ R zun¨ achst derart, dass f stetig im Punkt (0, 0) ist. Dazu betrachten wir zwei Folgen (a

)

und (b

)

mit a

= (x

, y

) und b

= (x

, y

), wobei x

% 0, y

→ 0 und x

& 0, y

→ 0 f¨ ur n → ∞. Dann ist

f(a

) = c −−−→

c und f (b

) = y

e

−−−→

0.

Damit w¨ ahlen wir c = 0, um die Stetigkeit in (0, 0) zu gew¨ ahrleisten.

Wir ¨ uberpr¨ ufen nun die Stetigkeit in einem beliebigen Punkt (0, y

) mit y

6= 0. Definiere eine Folge (c

)

mit c

= (

, y

). Dann gilt c

→ (0, y

) f¨ ur n → ∞, aber

f (c

) = y

e

−−−→

y

6= 0 = f (0, y

).

Damit existiert kein c ∈ R mit der Eigenschaft, dass f stetig in R

ist.

Aufgabe VII.2

a) Zun¨ achst gilt f¨ ur jedes t 6= 0:

f(x0+tv1,y0+tv2)−f(x0,y0)

t

=

=

= 2x

v

+ tv

− x

v

− v

y

− tv

v

. Damit ist

∂

f(a) = lim

t→0

2x

v

+ tv

− x

v

− v

y

− tv

v

= 2x

v

− x

v

− v

y

.

b) Unter Verwendung von a) ergibt sich:

∂

f (a

) = −1

∂

f (a

) = 1

∂

f (a

) =

2

∂

f (a

) = −

2

.

Aufgabe VII.3

a) ∂

f(x, y) = 3x

− 4xy

+ 4y

, ∂

f (x, y) = −4x

y + 12xy

+ 4y

b) ∂

f(x, y) = e

(2x + y(x

+ y

)), ∂

f (x, y) = e

(2y + x(x

+ y

))

c) ∂

f(x, y) = 2e

y , ∂

f(x, y) = − 2e

y

d) ∂

f(x, y) = 1

x , ∂

f (x, y) = 2 y e) ∂

f(x, y) = −2 x

− xy

(x

+ y

)

, ∂

f (x, y) = −2 x

y

(x

+ y

)

.

Ubungsblatt VII¨ Seite 3

Aufgabe VII.4

a) Wir berechnen zun¨ achst den Gradienten von f . Es ist

∂

f (x, y) = 2x, ∂

f(x, y) = 2y.

Damit ist ∇f (x, y) = 2(x, y).

i) ∂

f (1, 1) = 2 · (

2

+

2

) = 2

√ 2.

ii) ∂

f (0, 2) = 2 · (0 ·

+ 2 ·

√ 3

2

) = 2 √ 3.

b) Wir gehen analog zu a) vor. Es ist

∂

f(x, y) = 2x + 10ye

, ∂

f(x, y) = 10xe

. Damit ist ∇f (x, y) = (2x + 10ye

, 10xe

).

i) Wegen ∇f (1, 1) = (2 + 10e

, 10e

), ist ∂

f(1, 1) = 10e

. ii) Wegen ∇f (0, 2) = (20, 0), ist ∂

f (0, 2) = −10 √

2.