Rechnen Sie nach, dass ∂1∂1f(x0, y0) +∂2∂2f(x0, y0

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld

Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis L¨osungen von Blatt VIII vom 30. November 2012

Aufgabe VIII.1(5 Punkte)

a) Die Funktionf:R² →Rsei definiert durchf(x, y) = (x²+y³)e^xy. Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung vonf.

b) Die Funktiong:R³→Rsei definiert durchg(x, y, z) =x²yzsin(2x+y+ 3z). Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung vonf.

c) Die Funktionp:R²\ {0} →Rsei definiert durchp(x, y) = ln p

x²+y²

. Rechnen Sie nach, dass

∂1∂1f(x0, y0) +∂2∂2f(x0, y0) = 0 an jeder Stelle (x0, y0)∈R².

Aufgabe VIII.2(5 Punkte)

Die Funktionf:R²→Rsei definiert durch

f(x, y) =

(xy^x_x²2^−y+y²² f¨ur (x, y)6= (0,0), 0 f¨ur (x, y) = (0,0).

Weisen Sie nach, dass∂1f(0, y) = −yf¨ur jedesy ∈Rund ∂2f(x,0) =xf¨ur jedesx∈ R.¹ Zeigen Sie damit, dass

∂2∂1f(0,0) =−1, aber ∂1∂2f(0,0) = 1.

In dieser Situation spielt also die Reihenfolge der Differentiation sehr wohl eine Rolle.

Aufgabe VIII.3(5 Punkte)

Diese Aufgabe lehrt, dass die Existenz aller Richtungsableitungen nicht hinreichend f¨ur die Stetigkeit oder gar Differenzierbarkeit einer Funktion ist.

Seif:R²→Rgegeben durch

f(x, y) = ( _x2y

x⁴+y², falls (x, y)6= (0,0), 0, falls (x, y) = 0.

Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen vonfim Punkt (0,0) existieren. Weisen Sie nach, dassf im Punkt (0,0) nicht stetig (und daher auch nicht differenzierbar) ist.

Aufgabe VIII.4(5 Punkte)

a) Linearisieren Sie die Funktionf:R²→R,f(x, y) =x²+ 2 cos(y) im Punkt (−2,³₂π).

b) Linearisieren Sie die Funktiong:R²→R,g(x, y) =e^2x−yim Punkt (1,2).

L¨osungsvorschl¨age Aufgabe VIII.1

a) Die Ableitungen erster Ordnung lauten

∂1f(x, y) =e^xy 2x+x²y+y⁴

, ∂2f(x, y) =e^xy x³+ 3y²+xy³ . F¨ur die Ableitungen zweiter Ordnung gilt

∂₁∂₁f(x, y) =e^xy(2xy+x²y²+y⁵) +e^xy(2 + 2xy) =e^xy(2 + 4xy+x²y²+y⁵),

∂2∂1f(x, y) =e^xy(2x²+x³y+xy⁴) +e^xy(x²+ 4y³) =e^xy(3x²+x³y+xy⁴+ 4y³),

∂₁∂₂f(x, y) =e^xy(x³y+ 3y³+y⁴) +e^xy(3x²+y³) =e^xy(x³y+ 4y³+y⁴+ 3x²),

∂2∂2f(x, y) =e^xy(x⁴+ 3xy²+x²y³) +e^xy(6y+ 3xy²).

1Beachten Sie, dass hierzu eine Fallunterscheidung notwendig ist.

Ubungsblatt VIII¨ Seite 2

b) Die Ableitungen erster Ordnung lauten

∂1g(x, y, z) = 2xyzsin(2x+y+ 3z) + 2x²yzcos(2x+y+ 3z),

∂₂g(x, y, z) =x²zsin(2x+y+ 3z) +x²yzcos(2x+y+ 3z),

∂3g(x, y, z) =x²ysin(2x+y+ 3z) + 3x²yzcos(2x+y+ 3z).

F¨ur die Ableitungen zweiter Ordnung gilt

∂1∂1g(x, y, z) = 2yzsin(2x+y+ 3z) + 4xyzcos(2x+y+ 3z)

+ 4xyzcos(2x+y+ 3z)−4x²yzsin(2x+y+ 3z),

∂₂∂₁g(x, y, z) = 2xzsin(2x+y+ 3z) + 2xyzcos(2x+y+ 3z)

+ 2x²zcos(2x+y+ 3z)−2x²yzsin(2x+y+ 3z),

∂₃∂₁g(x, y, z) = 2xysin(2x+y+ 3z) + 6xyzcos(2x+y+ 3z) + 2x²ycos(2x+y+ 3z)−6x²yzsin(2x+y+ 3z),

∂1∂2g(x, y, z) =∂2∂1g(x, y, z),

∂₂∂₂g(x, y, z) =x²zcos(2x+y+ 3z) +x²zcos(2x+y+ 3z)−x²yzsin(2x+y+ 3z),

∂3∂2g(x, y, z) =x²sin(2x+y+ 3z) + 3x²zcos(2x+y+ 3z)

+x²ycos(2x+y+ 3z)−3x²yzsin(2x+y+ 3z),

∂₁∂₃g(x, y, z) =∂₃∂₁g(x, y, z),

∂₂∂₃g(x, y, z) =∂₃∂₂g(x, y, z),

∂3∂3g(x, y, z) = 3x²ycos(2x+y+ 3z) + 3x²ycos(2x+y+ 3z)−9x²yzsin(2x+y+ 3z).

c) Es gilt

∂1p(x, y) = 1 px²+y²

1

2 x²+y²−1/2

2x= x x²+y² und ∂2p(x, y) = y

x²+y². Daraus ergibt sich durch erneutes Differenzieren in x bzw.y

∂₁∂₁p(x, y) = (x²+y²)−2x²

(x²+y²)² = y²−x² (x²+y²)²,

∂₂∂₂p(x, y) = x²−y² (x²+y²)², also auch∂₁∂₁p(x, y) +∂₂∂₂p(x, y) = 0.

Aufgabe VIII.2 F¨ury6= 0 gilt

∂1f(0, y) = lim

t→0

f(t, y)−f(0, y)

t = lim

t→0

ty^t_t²2^−y+y²² −0

t = lim

t→0yt²−y² t²+y² =−y.

Im Punkt (0,0) ist die partielle Ableitung in die erste Koordinatenrichtung

∂₁f(0,0) = lim

t→0

f(t,0)−f(0, y)

t = 0.

Ubungsblatt VIII¨ Seite 3

Also gilt in der Tat ∂1f(0, y) =−y f¨urjedesy∈R.

Weiterhin gilt f¨urx6= 0

∂₂f(x,0) = lim

t→0

f(x, t)−f(x,0)

t = lim

t→0

xt^x_x²2^−t+t²² −0

t = lim

t→0xx²−t² x²+t² =x.

und

∂₂f(0,0) = lim

t→0

f(t,0)−f(0,0)

t = 0.

Also gilt in der Tat ∂₂f(x,0) =xf¨urjedes x∈R. Offensichtlich gilt damit

∂2∂1f(0,0) =−1 und ∂1∂2f(0,0) = 1, was die Behauptung der Aufgabenstellung beweist.

Aufgabe VIII.3

Um die Richtungsableitungen im Punkt (0,0) zu bestimmen, betrachten wir zun¨achst Richtungen v= (v1, v2)∈R² mitv2 6= 0. Dann gilt f¨ur die Richtungsableitung

∂_vf(0,0) = lim

t→0

f(tv₁, tv₂)−f(0,0)

t = lim

t→0

t³v²₁v₂

t(t⁴v⁴₁+t²v₂²) = lim

t→0

v₁²v₂

t²v₁^v+v₂² = v₁² v2

. Nun betrachten wir eine der beiden Richtungen (v1,0) mitv1=±1. Damit gilt

∂vf(0,0) = lim

t→0

f(±t,0)−f(0,0)

t = lim

t→0

0 t⁵ = 0.

In s¨amtlichen F¨allen existieren also die Limiten; alle Richtungsableitungen von f im Punkte (0,0) existieren.

Um nachzuweisen, dass die Funktion nicht stetig ist, betrachten wir die Folge (an)n∈N

definiert durch (1/n,1/n²). Es gilt offensichtlicha_n→(0,0) f¨urn→ ∞, jedoch gilt

n→∞lim f(an) = lim

n→∞

n⁻⁴

n⁻⁴+n⁻⁴ = 1

2 6=f(0,0), d.h. f ist im Punkt (0,0) nicht stetig.

Aufgabe VIII.4

a) Es gilt ∂₁f(x, y) = 2x und ∂₂f(x, y) = −2 siny. Damit lautet die Linearisierung von f im Punkt (x0, y0) = (−2,³₂π)

f(x, y)≈E_f(x, y) =f(x₀, y₀) + (x−x₀)∂₁f(x₀, y₀) + (y−y₀)∂₂f(x₀, y₀)

= 4−4(x+ 2) + 2(y−y₀).

b) Es gilt∂₁g(x, y) = 2e^2x−y und∂₂g(x, y) =−e^2x−y. Damit lautet die Linearisierung von g im Punkt (x₀, y₀) = (1,2)

g(x, y)≈Eg(x, y) =g(x0, y0) + (x−x0)∂1g(x0, y0) + (y−y0)∂2g(x0, y0)

= 1 + 2(x−x0)−(y−y0).