Falls die Hamilton-Funktion H = H(~ q, ~ p) nicht explizit von der Zeit abhängt, so lässt sich die Hamilton-Jacobi-Dierentialgleichung schreiben als

Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Übung: Dr. B. Eichmann

Anwesenheitsaufgabe 12

Falls die Hamilton-Funktion H = H(~ q, ~ p) nicht explizit von der Zeit abhängt, so lässt sich die Hamilton-Jacobi-Dierentialgleichung schreiben als

H

~ q, ∂W

∂q

, ..., ∂W

∂q

= E , (1)

mit der charakteristischen Funktion W (~ q | P ~ ) , wobei die Konstante E im Allgemeinen von den neuen, konstanten Impulsen P

= α

= konst. abhängt. Die zugehörige kanonische Transfor- mation ist dabei gegeben durch

p

= ∂W

∂q

, Q

= ∂W

∂α

− ∂E

∂α

t ,

(2)

mit den neuen, konstanten Koordinaten Q

= β

= konst. Wie aus der Vorlesung bekannt ist, lässt sich für jede zyklische Koordinate q

ein Separationsansatz der Form

W = W

q

P ~

+ α

q

(3)

wählen, so dass die Hamilton-Jacobi-Dierentialgleichung (1) zu H

~ q, ∂W

∂q

, α

, α

, ..., α

= E , (4)

wird, d.h. zu einer gewöhnlichen Dierentialgleichung 1. Ordnung für W

.

Aufgabe 12.1: Hamilton-Jacobi im Zentralkraftfeld

Betrachten wir im Folgenden nun ein Zentralkraftfeld mit V (~ r) = V (r) . a.) Wie lautet die Lagrange-Funktion der Relativbewegung?

b.) Bestimmen Sie die konjugierten Impulse und geben Sie die Hamilton-Funktion H an.

Besitzt das System eine zyklische Koordinate?

c.) Wählen Sie einen geeigneten Separationsansatz für die charakteristische Funktion W und geben Sie unter Verwendung der Hamilton-Jacobi-Dierentialgleichung (4) die zugehörige Lösung von W (in Integralschreibweise) an.

d.) Identizieren Sie E = α

als Konstante des Systems und zeigen Sie mithilfe der Transfor- mationsvorschrift (2), dass die zugehörige neue Koordinate

Q

= β

= Z

d r µ

2µ(E − V (r)) − α

/r

− t (5) ist.

e.) Geben Sie unter Verwendung der Transformationsvorschrift (2) einen Ausdruck für die

zweite neue konstante Koordinate Q

= β

an.