Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 8 Ausgabe: 05.06.2018

Abgabe: bis 12.06.2018, 10:00Uhr

Aktuelle Informationen zur Vorlesung sowie den Übungen nden Sie unter:

http://www.pat.rub.de/lectures/ss18_tm/

Aufgabe 8.1: Das Noethertheorem (11 Punkte)

Wie bereits aus der Vorlesung bekannt ist, lässt sich zeigen, dass unter einer Transformation h _i (~ q, α) der verallgemeinerten Koordinate ~ q die Lagrangefunktion L(~ q, ~ q) ˙ invariant ist. Dabei ergab sich, dass

Q = Q(~ q, ~ q) = ˙

f

X

i=1

∂L

∂ q ˙ i

d h _i (~ q, α) d α

α=0

= konst. (1)

eine Erhaltungsgröÿe ist.

Im folgenden soll nun auch eine Transformation in der Zeit berücksichtigt werden, so dass die neuen Koordinaten q ^∗ _i und Zeiten t ^∗ gegeben sind durch

q _i ^∗ (t ^∗ ) = q _i (t) + ψ _i (q(t), q(t), t) ˙

t ^∗ = t + φ(q(t), q(t), t) ˙ , (2) mit dem kontinuierlichen Parameter . Betrachten sie die Lagrangefunktion L(~ q, ~ q, t) ˙ unter einer solchen Transfromation, wobei auftretende Terme in O( ² ) vernachlässigt werden sollen.

a.) Zeigen Sie zunächst, dass aus der Invarianz der Wirkung S = R t

t

d t L unter einer solchen Transformation (2) folgt, dass die Bedingung

d d

L

q ^∗ , d q ^∗ d t ^∗ , t ^∗

d t ^∗ d t

=0

= 0 (3)

gelten muss (Hinweis: Taylorentwicklung um = 0 ).

b.) Zeigen Sie anschlieÿend unter Verwendung der Invarianzbedingung (3), dass sich daraus die allgemeine Erhaltungsgröÿe

Q = Q(~ q, ~ q, t) = ˙

f

X

i=1

∂L

∂ q ˙ i

ψ _i + L −

f

X

i=1

∂L

∂ q ˙ i

˙ q _i

!

φ = konst. , (4)

ergibt. Verwenden Sie die in der Anwesenheitsaufgabe 8.1 bewiesene Relation d

d t

f

X

i=1

∂L

∂ q ˙ _i q ˙ _i − L

!

= − ∂L

∂t . (5)

Allgm. Hinweis: Alle Rechenschritte/ Umformungen müssen (wie immer) klar nachvollziehbar

sein.

Aufgabe 8.2: Anwendung des Noethertheorems - Teil 1 (10 Punkte) Betrachten Sie zunächst (nur in a.) und b.)) die Lagrangefunktion

L = m 2

3

X

i=1

˙

x ² _i − V (~ x) (6)

unter einer Transformation in der Zeit, so dass t ^∗ = t + . Zeigen Sie, dass a.) die Invarianzbedingung (3) erfüllt ist, und

b.) aus dem Noethertheorems (4) unmittelbar folgt, dass die Energie eine Erhaltungsgröÿe ist.

Betrachtet Sie im folgenden nun die Lagrangefunktion eines abgeschlossenen Systems aus N Massepunkten, welche durch

L = 1 2

N

X

ν=1

m _ν ~ r ˙ _ν ² −

N

X

ν=1 N

X

µ=ν+1

V _νµ (|~ r _ν − ~ r _µ |) (7) gegeben ist. Zeigen Sie,

c.) die Invarianz unter der Translation ~ r _ν ^∗ = ~ r _ν + ~ , und

d.) geben Sie die zugehörige physikalische Erhaltungsgröÿe an.

Aufgabe 8.3: Anwendung des Noethertheorems (Teil 2) (9 Punkte) Betrachtet sei ein Teilchen im Potential V (~ r) = α/r ² .

a.) Zeigen Sie, dass die Wirkung für ein Teilchen im Potential V (~ r) = α/r ² invariant ist unter der einparametrigen Transformation

~

r ^∗ = λ~ r , t ^∗ = λ ² t. (8)

b.) Geben Sie, unter Verwendung des Noethertheorems (4), die zugehörigen Erhaltungsgröÿen

an und vereinfachen Sie diese mit Hilfe der Energieerhaltung.