a) Zeigen Sie, dass iΠµν2 (q

Quantenfeldtheorie II SS 15 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 2¨

Abgabe Mittwoch 06.05 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 08.05 Aufgabe 2.1 – (15 Punkte)

Betrachten Sie das Vakuumpolarisationsdiagramm iΠ^µν(q) f¨ur Photonen, nun in d Di- mensionen:

^{q k+k q}

µ ν

=(−ie)²(−1)

Z d^dk (2π)^dtr

γ^µ i

6k−mγ^ν i 6k+6q−m

≡iΠ^µν₂ (q). a) Zeigen Sie, dass

iΠ^µν₂ (q) = −4e² Z 1

0

dx Z d^dl

(2π)^d

2l^µl^ν −g^µνl²−2x(1−x)q^µq^ν +g^µν(m²+x(1−x)q²) (l²+x(1−x)q²−m²)² . Um das obrige Ergebnis zu erhalten, verschiebe man die Integrationsvarable und lasse die in l linearen Terme wegfallen.

b) Zeigen Sie, unter Verwendung von R

d^dl l^µl^ν=¹_dg^µνR

d^dl l²,α·Γ(α) = Γ(1 +α) und der Integralformel vom ¨Ubungsblatt 1, dassiΠ^µν₂ (q) = i(q²g^µν −q^µq^ν)Π(q²), wobei

Π(q²) = −α

πΓ(2− ^d₂) Z 1

0

dx2x(1−x)

∆(x) 4π

^d₂⁻²

mit ∆(x) =m² −x(1−x)q². Was folgt aus diesem Ergebnis f¨ur q_µΠ^µν(q)?

c) Setzen Sied= 4−und zeigen Sie unter Verwendung von Γ(₂) = ² −γ+O(), wobei γ= 0,57721 die Euler-Mascheroni-Konstante ist, dass

Π(q²) = −α 3π

2

−γ−logm² 4π

+2α

π Z 1

0

dx x(1−x) log

1−x(1−x)q² m²

.

Aufgabe 2.2 – Gauß’sche Integral (5 Punkte)

Betrachten Sie das Gauß’sche Integral Ilm = (

N

Y

k=1

Z

dξ_k^∗dξk)ξlξ_m^∗ exp (−ξ^∗_i Bijξj)

mit der hermiteschen N ×N Matrix B, d.h. B^† =B. Zeigen Sie, dass f¨ur gew¨ohnliche kommutierende komplexe Zahlen ξ_i und ξ_i^∗, gilt

I_lm = const. (detB)⁻¹ B⁻¹

lm

.

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