Aufgabe 1.1 – Feynman Parameter (5 Punkte) Zeigen Sie die n¨ utzlichen Relationen:

Quantenfeldtheorie II SS 15 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 4 ¨

Abgabe Mittwoch 22.04 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 24.04

Aufgabe 1.1 – Feynman Parameter (5 Punkte) Zeigen Sie die n¨ utzlichen Relationen:

1 AB =

Z 1

0

1

[A + (B − A)x] ² = Z 1

0

dx dy δ(x + y − 1) 1 [xA + yB] ² 1

AB ⁿ = Z 1

0

dx dy δ(x + y − 1) n y ⁿ⁻¹ [xA + yB] ⁿ⁺¹ 1

ABC = Z 1

0

dx dy δ(x + y + z − 1) 2

[xA + yB + zC] ³

Aufgabe 1.2 – Schwinger Parameter (2.5 Punkte) Zeigen Sie die n¨ utzliche Relation f¨ ur Im(A) > 0:

i A =

Z ∞

0

dse ^isA

Aufgabe 1.3 – Volumen der d-dimensionalen Einheitssph¨ are (2.5 Punkte) Zeigen Sie, dass das Volumen Ω _d der EInheitssph¨ are in d-Dimensionen durch

Ω _d = Z

dΩ _d = 2π ^d/2 Γ(d/2) gegeben ist. Tip: Verwenden Sie die Relation √

π ^d = ( R ∞

∞ dxe ^−x

) ^d = R

d ^d xe ^{−~ x}

Aufgabe 1.4 – d-dimensionale Integrale (10 Punkte)

Zeigen Sie, dass f¨ ur einen d-dimensionalen Impulsvektor l _i im Minkowskiraum das Fol- gende Integral gilt:

Z d ^d l (2π) ^d

(l ² ) ^p

(l ² − ∆) ⁿ = i(−1) ^p−n Γ( ^d ₂ + p) Γ(n − p − ^d ₂ )

(4π) ^d/2 Γ( ^d ₂ ) Γ(n) ∆

^+p−n

Versuchen Sie zumindest die F¨ alle p = 0 und p = 1 zu l¨ osen. Sie sollten die Ergebnisse von 1.2 und 1.3 und die Betafunktion B (x,y)

B (x,y) = Z ∞

0

du u ^x−1

(1 + u) ^x+y = Γ(x) Γ(y) Γ(x + y) benutzen.

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