Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Übung: Dr. B. Eichmann

Anwesenheitsaufgaben 2

Aktuelle Informationen zur Vorlesung sowie den Übungen nden Sie unter:

http://www.pat.rub.de/lectures/ss18_tm/

Aufgabe 2.1: Levi-Civita Symbol und Komponentenschreibweise

Gerade in der Theoretischen Physik ist es sinnvoll Vektorrechnung unter Verwendung der Ein- stein'schen Summenkonvention (über gleiche Indizes wird summiert) in Komponentenschreib- weise auszuführen und darzustellen. So gilt für das Skalarprodukt beispielsweise ~a ·~b = δ _ij a _i b _j . Mit dem Kronecker- Delta Symbol δ _ij = 1 für i = j , δ _ij = 0 sonst.

Um eine Komponente i des Vektorprodukts darzustellen benötigt man das Levi-Civita Symbol _ijk : [~a ×~b] _i = _ijk a _j b _k . Dabei ist das Levi-Civita Symbol in drei Dimensionen folgendermaÿen deniert:

_ijk =



 

 

+1 falls (i, j, k) gerade Permutation von (1, 2, 3);

−1 falls (i, j, k) ungerade Permutation von (1, 2, 3) 0 sonst

Verwenden Sie die allgemeine Formel für das Produkt zweier Levi-Civita Tensoren _{ijk lmn} = δ _il δ _jm δ _kn + δ _in δ _jl δ _km + δ _im δ _jn δ _kl − δ _in δ _jm δ _kl − δ _il δ _jn δ _km − δ _im δ _jl δ _kn ,

und beweisen Sie die folgenden Relationen mit Hilfe der Komponentenschreibweise:

a.) _{ijk imn} = δ _jm δ _kn − δ _jn δ _km b.) _{ijk ijk} = 6

c.) ~a × ~a = 0

Aufgabe 2.2: Totales Dierential, Wegintegral

Ein Kurvenintegral von einem allgemeinen (nicht unbedingt exakten) Dierential ist deniert

als: Z

C

(g ₁ (x _i ) d x ₁ + g _n (x _i ) d x _n ) ≡ Z s

s

g ₁ (x _i (s)) d x 1

d s + ... + g _n (x _i (s)) d x n

d s

d s . Für exakte/ totale Dierentiale d f gilt:

d f (x _i ) ≡ ∂f (x _i )

∂x ₁ d x ₁ + ... + ∂f (x _i )

∂x _n d x _n = g ₁ (x _i ) d x ₁ + ... + g _n (x _i ) d x _n ,

so dass Z

C

(g ₁ (x _i ) d x ₁ + ... + g _n (x _i ) d x _n ) = Z

C

d f = f (2) − f(1)

wegunabhängig ist. Für unvollständige Dierentiale ist letzteres im Allgemeinen nicht der Fall!

a.) Untersuchen Sie, ob die beiden Dierentiale (i) δf = 10x ₁ x ⁴ ₂ d x ₁ + 20x ² ₁ x ³ ₂ d x ₂

(ii) δf = x ³ ₁ d x ₂

exakte Dierentiale einer Stammfunktion sein können. Falls ja, geben Sie die Stammfunk- tion an.

b.) Berechnen Sie für beide Dierentiale das Wegintegral R s

s

[...] d s von (0, 0) nach (1, 1) .

Einmal entlang des direkten Wegs, einmal über den Punkt (0, 1)