Physikalisches Institut Notizen 1¨
Universit¨at Bonn 10. April 2018
Theoretische Physik SS 18
Notizen zur 1. ¨ Ubung der Theoretischen Physik III
Prof. Dr. Hartmut Monien, Iris Golla, Christoph Liyanage, Rams´es Sanch´ez
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/liyanage/Theoretische_Physik_III_SS18/
Notizen zu A 1.2 Hamilton-Jacobi Theorie
In der Hamilton-Jacobi Theorie werden sogenannte kanonische Transformationen1 angewandt, um eine Hamiltonfunktion ˜H zu generieren, die identisch verschwindet
H˜ = 0. (1)
Die Bewegungsgleichungen der neuen Koordinaten werden dann sehr einfach Q˙i = ∂H˜
∂Pi
= 0,→Qi= const, P˙i = ∂H˜
∂Qi
= 0→Pi = const. (2) Die Erzeugende2 ist in diesem Fall die Wirkung S
S = Z
L(qi,q˙i, t)dt. (4)
Diese erzeugt die kanonische Transformation pi = ∂S
∂qi, (5)
H˜ =H
q1, ..., qn, ∂S
∂q1, ..., ∂S
∂qn, t
+∂S
∂t = 0, (6)
wobei Gl.(6) die sogenannteHamilton-Jacobi-Gleichung ist undS in diesem Sinne auchPrinzi- palfunktion genannt wird.
Um ein Problem mit Hilfe der Hamilton-Jacobi-Theorie zu l¨osen, muss zun¨achst die Prinzipal- funktionS gefunden werden. Dazu muss die Hamilton-Jacobi-Gl. vollst¨andig separiert werden (falls m¨oglich) und anschließend liefern neindimensionale Integrationen die L¨osung
S(q1, ..., qn, α1, ..., αn, t) (7)
1Kanonische Transformationen sind jene Transformationen
qi→Qi(qi, pi, t), pi→Pi(qi, pi, t),
die die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen invariant lassen. Mehr Informationen dazu gibt es z.B. im Kuypers, Kapitel 18.
2Die ErzeugendeF(qi,q˜i, t) erzeugt eine kanonische Transformation und beschreibt diese eindeutig. Es gilt
pi=F(qi, Qi, t)
∂qi
, Pi=−F(qi, Qi, t)
∂Qi
, H˜ =H+∂F
∂t. (3)
1
mit n Integrationskonstanten αi. Wir haben die Freiheit, f¨ur die Integrationskonstanten die neuen Impulse zu w¨ahlen (dies folgt aus der physikalischen Interpretation der Erzeugenden)
Pi =αi. (8)
Die Transformationsgleichungen (3) diktieren uns pi= ∂S(qi, αi, t)
∂qi
, Qi=βi= ∂S(qi, αi, t)
∂αi
, (9)
wobei βi die konstanten neuen Koordinaten sind. Die Konstanten αi und βi werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt.
Notizen zu H 1.1 Das Noether-Theorem
Das Noether-Theorem kennen Sie schon aus der klassischen Mechanik - dort wurde es bisher nur nicht so bezeichnet. In Worten besagt das Noether-Theorem:
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Lagrangefunktion geh¨ort eine Erhaltungsgr¨oße.
Formal: ¨Andert sich die Lagrangefunktion unter der Transformation
qi →qi0 =qi+ (10)
h¨ochstens um eine totale zeitliche Ableitung einer beliebigen FunktionF(q0, t, )3, also L0(q0,q˙0, t, ) =L(q0,q˙0, t) + d
dtF(q0, t, ), (11)
dann heißt die Lagrangefunktionsymmetrischunter der Transformation (F kann nat¨urlich auch Null sein) und man erh¨alt eine Erhaltungsgr¨oßeJ.
Die Funktion J(q,q, t) ist die zur Transformation geh¨˙ orige Erhaltungsgr¨oße J =
n
X
i=1
∂L
∂q˙i
∂qi(q0, t, )
∂ =0
−∂F(q0, t, )
∂ =0
. (12)
3In der klassischen Mechanik haben wir gelernt, dass die Addition einer solchen Gr¨oße die Bewegungsgleichungen nicht ¨andert, eine solche Umeichung der Lagrangefunktion w¨are im realen Experiment also nicht beobachtbar.
Diese Eigenschaft nennt man Eichinvarianz der Lagrangleichungen.
2
