2. Postulate der klassischen Mechanik

Relativitätstheorie

La persistencia de la memoria (Die Beständigkeit der Erinnerung) ist wohl das bekannteste Gemälde des surrealistischen Malers Salvador Dalí aus dem Jahr 1931. Das Ölbild zeigt vier zerfliessende Taschenuhren. Auf einer Uhr sitzt eine

Fliege. Eine andere wird von Ameisen zerfressen. In der Mitte des Bildes zerrinnt eine Uhr auf einem im Profil dargestellten, abstrahierten Gesicht des Künstlers. Dali hat sich auch für Naturwissenschaften interessiert. Lange bevor er

sich nach 1945, ausgelöst durch den Abwurf der Atombombe, für die atomaren Zusammenhänge interessierte, beschäftigte er sich mit Albert Einsteins Theorien zur Zeit. Mit seinem Bild drückt Dali aus, dass die Zeit keine

allgemeingültige Grösse oder Masseinheit ist. Jeder Mensch empfindet Zeit in jeder Situation anders.

1. Einleitung

Ende des 19. Jahrhunderts glaubte man das

‚Ende’ der Physik schon bald erreicht zu haben und dass in „in dieser Wissenschaft schon fast alles erforscht sei, und es gelte, nur noch einige unbedeutende Lücken zu schliessen“¹. Mehr als 200 Jahre lang wurden die durch Newton formulierten Bewegungsgesetze als korrekte Naturbeschreibung akzeptiert. Doch schon bald sollten mehrere völlig neue Theorien entstehen, die wesentlich mehr Phänomene erklären und die Widersprüche in den bisherigen Modellen klärten:

die Relativitätstheorie veränderte das Verständnis von Raum und Zeit und die Quantentheorie revolutionierte das Bild von Materie und der Kausalität.

1905 publizierte Einstein seinen Artikel zur Speziellen Relativitätstheorie („Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ Annalen der Physik und Chemie) und 1915 erweiterte Einstein die Theorie zur Allgemeinen Relativitätstheorie, die auch die Gravitation neu beschreibt. Beide Theorien stossen bis heute auf Widerstand, da sie dem ‚gesunden Menschenverstand’ zu widersprechen scheinen aber auch weil sie von den Nazis als ‚jüdische’ Physik denunziert wurde. Sie steht bis jetzt in keinerlei Widerspruch zur Beobachtung und erklärt vielfältige Phänomene, die klassisch nicht verstanden werden können. Die Relativitätstheorie hat viele Anwendungen, darunter die Atombombe und das Atomkraftwerk.

Diese beiden Anwendungen der Relativitätstheorie und ihrer Teils schrecklichen Konsequenzen hat die Frage nach der Verantwortung der Wissenschaft aufgeworfen. Auch der demokratische

Entscheidungsfindungsprozess in einer Welt, in der wissenschaftliches Wissen von hoher Bedeutung ist, wurde in Frage gestellt. Diese Fragen sind heute nicht weniger aktuell als in den 30-er und 40-er Jahren des 20. Jahrhunderts!

Wenn wir bisher Physik betrieben haben, so waren wir uns stillschweigend über einige Voraussetz- ungen einig. Diese Voraussetzungen sind Postulate der klassischen Mechanik. Wir sind uns so klar über diese Postulate, dass wir sie gar nie zu erwähnen brauchten. An einigen dieser Postulate rüttelt die Relativitätstheorie, und genau da liegt die Schwierigkeit sie zu akzeptieren.

1 So kommentierte der Physiker Philipp von Jolly um 1880 das Interesse von Max Planck an der theoretischen Physik.

Max Planck sollte später die Quantentheorie begründen.

2. Postulate der klassischen Mechanik

Aufgabe 1: Susan (S) und Michael (M) haben am Hauptbahnhof (HB) abgemacht. Wie weit sind die beiden vom Bahnhof entfernt? Die Angaben im Koordinatensystem sind in Kilometer.

Aufgabe 2: Susan schaut auf die Uhr. Es ist 14⁵⁵; in 7 Minuten muss sie aus dem Haus. Als Michael auf dem Weg zum Bahnhof auf die Uhr schaut, ist es 15¹². Er hat seine Wohnung vor 10 Minuten verlassen. Gingen sie

gleichzeitig aus ihrer Wohnung?

Aufgabe 3: Michael nimmt den Bus zum Bahnhof.

Dieser fährt mit 12 km/h. Michael sucht einen Sitzplatz und geht mit 3 km/h in der

Fahrtrichtung. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich Michael relativ zu der Strasse?

Aufgabe 4: Michael isst im Bus ein Eis. Leider beginnt es zu schmelzen und fällt vom

Stängel. Landet das Eis genau senkrecht unter dem Stängel oder in Fahrtrichtung vor oder hinter diesem Punkt? Der Bus fährt mit konstanter Geschwindigkeit.

Galileo Galilei (*1564 in Pisa; † 1642 bei Florenz) war Philosoph und Physiker. In methodischer Hinsicht ist die streng mathematische Vorgehensweise Galileis bemerkenswert. Seine Arbeit zur Bewegungslehre beginnt mit der „gleichförmigen Bewegung“, die er in einer Art Koordinatensystem beschrieb. Seiner Theorie liegt eine geometrische Messtheorie von „relativen Räumen“ gemessen am absoluten Raum und von

Sir Isaac Newton (*1643; † 1727) befasste sich über 30 Jahre lang mit den Vorstellungen von Raum und Zeit.

Er formulierte wohl erstmals das Relativitätsprinzip: Dies brachte ihn jedoch in Argumentationsnöte, den es wider- spricht der Vorstellung eines absoluten Raums. Als tief- religiöser Mensch schreibt er in der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica: „…er [Gott] währt stets fort und ist überall gegenwärtig, er existiert stets und überall, er macht den Raum und die Dauer aus.“

Bei diesen Berechnungen hast du stillschweigend einige Annahmen gemacht. Diese Postulate der klassischen Mechanik erscheinen uns direkt einsichtig. Einige dieser Postulate sind:

 Absolute Zeit und absoluter Raum: Die Zeit, die zwischen zwei gegebenen Ereignissen ver- streicht, ist für alle Beobachter ……… gross (absolute Zeit). Sind zwei Ereignisse für einen Beobachter gleichzeitig, so sind sie dies für alle (Gleichzeitigkeit).

Die Orte zweier gleichzeitiger Ereignisse haben auch für alle Beobachter dieselbe Distanz (absoluter Raum). Daraus folgt, dass Geschwindigkeiten ……… werden können.

 Dreidimensionaler, euklidscher Raum: Der Raum ist dreidimensional. Es gilt die euklidsche Geometrie, d.h. der Abstand zwischen zwei Punkten kann mit dem Satz des

……… berechnet werden.

 Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze sind in jedem ……… bewegten System gleich. Wir können also nicht anhand der Gesetze oder durch Messungen im System entscheiden, ob wir uns bewegen oder nicht. Es ist also unmöglich, auf Grund irgendwelcher physikalischer Erscheinungen, ein absolutes Bezugssystem zu bestimmen.

Bewegungen können nur ……… zu einem bestimmten Bezugssystem und nicht in Bezug zu irgendeinem einem absoluten System angegeben werden.

Aufgabe 5: Newton beschreibt seine Vorstellung von Raum und Zeit in seinem Werk „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (1687). Seine Vorstellung von Raum und Zeit hat die Physik für die nächsten zweihundert Jahre geprägt. Lies im Anhang den Text von Newton.

Aufgabe 6: Das Relativitätsprinzip war lange vor der Relativitätstheorie bekannt. Lies im Anhang die Texte zum Relativitätsprinzip von Galilei, Newton, Poincaré und Einstein.

Aufgabe 7: Wir machen ein einfaches Experiment. Wir wollen die Lichtgeschwindigkeit messen.

Dazu bauen wir einen Detektor im Abstand von 60 m von einer Blitzlampe auf. Wir messen nun die Zeit zwischen dem Blitz bis dieser vom Detektor gesehen wird.

a) Der Messwert beträgt 0.200 μs. Wie schnell ist das Licht?

b) Wir wiederholen dieses Experiment in einer Rakete. Die Messtrecke ist entlang der Rakete aufgebaut, so dass sich der Detektor auf die Blitzlampe zu bewegt. Nun messen wir eine Zeit von t = 0.197 μs. Wie schnell ist die Rakete also?

c) Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit wir die Zeit zwischen Start und Stopp so genau messen können?

Aufgabe 8: Ein Ruderbootrennen:

a) Wir rudern mit einem Boot eine Strecke von 500 m mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s und dann wieder zurück. Für das Wenden braucht das Schiff in dieser Aufgabe keine Zeit.

Wie lange brauchen wir für beide Wege?

b) Nun führen wir dasselbe Rennen auf einem Fluss durch. Dabei rudern wir zuerst gegen die Strömung, die mit 2 m/s fliesst. Auf dem Rückweg wird dann mit der Strömung gerudert.

Wie lang brauchen wir für beide Wege?

Die Postulate der klassischen Mechanik enthalten einige innere Widersprüche und stehen zum Teil im Widerspruch mit anderen Theorien und Beobachtungen:

 Gilt das Postulat der absoluten Zeit, so kann aus Messungen (zum Beispiel der Licht- geschwindigkeit) geschlossen werden wie schnell man sich bewegt. Dies widerspricht jedoch dem Relativitätsprinzip.

 Um das Postulat der absoluten Zeit zu testen, müsste man über synchronisierte Uhren verfügen.

Dazu benötigt man jedoch Signale mit bekannter Ausbreitungsgeschwindigkeit. Um diese zu messen, braucht man jedoch bereits synchronisierte Uhren!

 Die Elektrodynamik, insbesondere die Maxwell-Gleichungen sagen voraus, dass die Licht- geschwindigkeit für alle Beobachter gleich ist, also auch in schnellen Raketen!

 Mit sehr aufwendigen Experimenten – vor allem dem Michelson-Morley-Experiment – wurde versucht, die Strömung des Äthers nachzuweisen.

Dies ist nie gelungen. Das Licht braucht in alle Richtungen dieselbe Zeit um eine bestimmte Strecke zurückzulegen. Die Geschwindigkeit des Lichts ist in alle Richtungen dieselbe!

Einstein hat auf diese Widersprüche hingewiesen und vorgeschlagen das Postulat der absoluten Zeit und des absoluten Raums aufzugeben und dafür Folgendes zu postulieren:

Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit:

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes ist im Vakuum in allen gleichförmig bewegten Systemen in alle Richtungen dieselbe.

Sie beträgt c = 2.99792458·10⁸ m/s.

Weiterhin gilt das Relativitätsprinzip. Es erhält in der Relativitätstheorie einen sehr wichtigen Stellenwert:

Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze sind in jedem gleichförmig bewegten System gleich. Es ist also unmöglich, auf Grund irgendwelcher physikalischer Erscheinungen, ein bevorzugtes absolutes

Bezugssystem zu bestimmen. Bewegungen können nur relativ zu einem bestimmten Bezugssystem und nicht in Bezug zu irgendeinem einem absoluten System angegeben werden.

Aufgabe 9: Lies im Anhang die Einleitung von Einsteins erster Veröffentlichung zur Relativitätstheorie: „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ (1905).

Mit dem Michelson-Morley-Experiment soll die Lichtgeschwindigkeit entlang und quer zum Äther- wind verglichen werden und so die Bewegung gegenüber dem Äther gemessen werden.

Der Äther ist eine Substanz, die im 17. Jahrhundert als Medium für die Ausbreitung von Licht postuliert wurde. Einige Äthervorstellungen implizieren einen jahreszeitlich wechselnden Ätherwind. Seit der allgemeinen Akzeptanz der Relativitätstheorie wird ein solcher Äther nicht mehr als physikalisches Konzept benötigt.

3. Gleichzeitigkeit, Zeitdilatation und Längenkontraktion

Gleichzeitigkeit

Wir befinden uns in der Mitte eines Zugwagens. In der Mitte des Wagens befindet sich eine Blitzlampe. Zur Zeit t = 0 startet der Blitz. Er erreicht zur Zeit t = 2 gleichzeitig das hintere und das vordere Ende des Wagens.

Nun betrachten wird dasselbe Experiment von aussen. Der Wagen fährt mit hoher Geschwindigkeit an uns vorbei. Wir sehen, wie der Blitz zur Zeit t = 0 in der Mitte startet. Das vordere Ende bewegt sich vom Blitz weg, das hinter nähert sich dem Blitz. Zur Zeit t = 2 hat der Blitz das hintere Ende längst erreicht, beim vorderen Ende ist er jedoch noch gar nicht angekommen. Der Blitz erreicht also das hintere Ende früher als das vordere.

Es gibt keine absolute Gleichzeitigkeit von Ereignissen, über die sich alle Beobachter unabhängig vom Bezugssystem einig sind.

Albert Einstein: Photo zur Nobelpreisverleihung Der Nobelpreis für Physik des Jahres 1921 wurde an Albert Einstein „für seine Verdienste um die theoretische Physik, besonders für seine Entdeckung des Gesetzes des photoelektrischen Effekts“ vergeben und nicht – wie man erwarten würde – für die Relativitätstheorie.

„Wenige sind imstande, von den Vorurteilen der Umgebung abweichende Meinungen gelassen auszusprechen; die Meisten sind sogar unfähig, überhaupt zu solchen Meinungen zu gelangen.“

Albert Einstein. Mein Weltbild

„Ich glaube nicht an einen persönlichen Gott und ich habe dies niemals geleugnet, sondern habe es deutlich ausgesprochen. Falls es in mir etwas gibt, das man religiös nennen könnte, so ist es eine unbegrenzte Bewunderung der Struktur der Welt, so weit sie unsere Wissenschaft enthüllen kann.“

Brief vom 24. März 1954

„Ich habe keine besondere Begabung, sondern bin nur leidenschaftlich neugierig.“

Brief an Carl Seelig, 1952

„Wenn die Bekenner der gegenwärtigen Religionen sich ernstlich bemühen würden, im Geiste der Begründer dieser Religionen zu denken, zu urteilen und zu handeln, dann würde keine auf den Glauben gegründete Feindschaft zwischen den Bekennern verschiedener Religionen existieren. Noch mehr, sogar die Gegensätze im Glauben würden sich als unwesentlich herausstellen.“

Botschaft an den Nationalen Kongress von Christen und Juden, 1947

Die Zeitdilatation

Wir müssen nun die Physik neu aufbauen und sehr gut darauf achten, dass wir nur die Postulate von Einstein verwenden und nicht aus Versehen zum Beispiel auch das Postulat zur absoluten Zeit.

Wir möchten natürlich die Zeit immer noch messen können. Dazu bauen wir uns eine einfache Uhr. Die von uns gewählte Uhr ist im Handel nicht besonders üblich, aber im Prinzip funktioniert sie. Wir nehmen einen Stab mit einem Spiegel an jedem Ende. Wenn wir ein Lichtsignal zwischen den Spiegeln losschicken, dann geht das Licht runter und wieder hoch. Die Uhr macht jedesmal Klick, wenn das Licht wieder oben ankommt. Dies ist eine gute Uhr, da wir nicht mehr an die absolute Zeit glauben, sondern nur darauf aufbauen, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Beob- achter gleich ist. Die linke Uhr ruht. Die rechte Uhr fliegt mit hoher Geschwindigkeit nach rechts.

Bewegt sich die Uhr, so wird der Weg des Lichtstrahls ……… . Die Zeit zwischen zwei Klicks wird also ……… und die Zeit läuft ……… . Die Zeit eines bewegten Systems wird ………. . Diese Dehnung der Zeit wird ………

……… (aus lat.: dilatare ‚verbreiten’) genannt.

Berechnung der Zeitdilatation

Im ruhenden System ist die Geschwindigkeit c des Lichtblitzes in der Uhr:

=

c wobei d der Abstand der Spiegel und t0 die Zeit in der ruhenden Uhr.

Und es folgt für den Abstand d =

Im bewegten System (mit Geschwindigkeit v) wird der Weg länger. Für den Weg von einem Spiegel zum anderen gilt der Satz des Pythagoras:

′ =² d

Zeitdilatation: t = … · t0 mit dem Lorentzfaktor

2

1 1 γ =  

− 

 

Aufgabe 10: Sie betrachten ein Experiment, das neben Ihnen steht. Der ganze Versuch dauert 20 ms. Eine Person fliegt mit einer Geschwindigkeit von

v = 200'000 km/s an ihnen vorbei. Wie lange dauert das Experiment aus Sicht der fliegenden Person?

Aufgabe 11: Sie fliegen mit 60'000 km/s an einem Karussell vorbei. Um eine Umdrehung auszuführen benötigt das Karussell aus Ihrer Sicht 30 Sekunden. Ein Kind steht neben dem Karussell. Wie lange dauert aus seiner Sicht eine Umdrehung?

Aufgabe 12: Sie backen einen Kuchen. Die Backzeit beträgt eine Stunde für eine Person, die ruhig neben dem Ofen steht. Ihre nervöse Grossmutter geht am Backofen vorbei. Für sie erscheint die Backzeit 1.5 Stunden. Wie schnell rennt ihre Grossmutter?

Hermann Minkowski (*1864 in Aleksotas, damals Russland; †1909 in Göttingen) vermutete, dass Raum und Zeit in einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum miteinander verbunden sind.

Aufgabe 13: Die kosmische Strahlung erzeugt durch die Wechselwirkung mit den Atomen der oberen Atmosphäre in ca. 30 km Höhe energiereiche Teilchen. Sie werden Myonen genannt und leben nur während sehr kurzer Zeit (Halbwertszeit von ruhenden Myonen 1.52 μs). Obwohl sie sich annähernd mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen (typischerweise mit 99.8% der Lichtgeschwindig- keit!) würden klassisch gesehen auf dem Weg zum Erdboden praktisch alle Myonen zerfallen.

Tatsächlich aber werden diese Teilchen in gros- ser Zahl auf der Erdoberfläche nachgewiesen!

a) Wie lange dauert der Flug der Myonen bis zur Erdoberfläche? Um wie viele Halbwertszeiten handelt es sich dabei?

b) Wie viel Prozent der Myonen, die in der Stratosphäre entstehen kommen also noch auf der Erdoberfläche an?

c) In Wirklichkeit kommen aber 5.6% der Myonen auf der Erdoberfläche an. Wie viele Halbwertszeiten sind also verstrichen und wie lange sollte eine Halbwertszeit also dauern?

d) Berechne die Halbwertszeit der Myonen mit der Relativitätstheorie. Du musst also die Dauer der Halbwertszeit im bewegten System berechnen.

Dass Myonen aus der kosmischen Strahlung trotz ihrer kurzen Lebensdauer auf der Erdoberfläche ankommen, ist ein ……… Bestätigung für die Relativitätstheorie!

Aufgabe 14: In der Forschungsstation auf dem Jungfraujoch werden in einer Stunde 600'000 Myonen auf einer Fläche von einem Quadratmeter gemessen. An der Uni in Bern werden nur noch 150'000 Myonen pro Quadratmeter und Stunde registriert.

a) Wie viele Myonen kommen also pro Sekunde pro Quadratmeter in Bern an?

b) Wie viel Zeit ist aus der Sicht der Myonen vergangen (Halbwertszeit 1.52 μs)?

c) Wie viel Zeit ist aus deiner Sicht vergangen, wenn die Myonen mit einer Geschwindigkeit von 0.96·c fliegen?

d) Wie gross ist der Höhenunterschied zwischen Bern und dem Jungfraujoch aus deiner Sicht und aus Sicht des Myons?

Aufgabe 15: du fährst mit dem Fahrrad (20 km/h) an einer Leinwand, auf der ein Werbefilm gezeigt wird, vorbei. Der Werbefilm dauert aus deiner Sicht 22 Sekunden. Wie lange dauert der Film für einen Beobachter, der neben der Leinwand steht?

Aufgabe 16: Mit welcher Geschwindigkeit müssen Sie sich bewegen, bis sich die Zeit um 1 % verlängert?

Für kleine Geschwindigkeiten ist die Zeitdilatation vernachlässigbar!

Längenkontraktion

Bei der Lichtuhr bewegt sich der Massstab mit den beiden Spiegeln quer zur Bewegung. Er verändert seine Länge also auch in der Relativitätstheorie sicher nicht. Was passiert jedoch, wenn wir den Stab in der Richtung der Bewegung legen?

Berechnung der Längenkontraktion

Im ruhenden System dauert der Weg des Lichtblitzes in der Uhr hin und her:

0 0

t = 2⋅

wobei ₀der Abstand der Spiegel im unbewegten System und c die Lichtgeschwindigkeit ist.

Im bewegten System (Geschwindigkeit v) müssen wir Hin- und Rückweg unterscheiden. Beginnt der Blitz links, so wird der Weg länger, da sich der Spiegel von ihm wegbewegt. Der Hinweg dauert:

H H

t v t c

= + ⋅

Für den Rückweg gilt:

tR =

Durch Auflösen nach tH bzw. tR finden wir:

Und so finden wir für die Zeit im bewegten System:

H R

t t= + =t

mit dem Lorentzfaktor

v 2

c

1 1 ^{ }  

γ =

− Die Zeit t wird mit Hilfe der Zeitdilatation t= γ ⋅t₀ ausgedrückt und es folgt:

Längenkontraktion: = mit dem Lorentzfaktor

v 2

c

1 1 ^{ }  

γ =

−

Aufgabe 17: Ein Zug steht neben Ihnen im Bahnhof und hat dort eine Länge von 800 m. Welche Länge hat der Zug, wenn er mit a) 250'000 km/s und b) 126 km/h an Ihnen vorbeifährt?

Aufgabe 18: Mit welcher Geschwindigkeit müsste ein 5 m langes Auto fahren, damit es von einem Passanten am Strassenrand nur noch als 2 m lang gesehen würde?

Aufgabe 19: Sie stehen in Ihrer Garage, die 5 Meter lang ist. Ein geladener Gast, der einen 6 Meter langen Wagen besitzt und gerne sehr schnell fährt, will sein Auto in ihre Garage stellen. Der Gast biegt mit v = 180'000 km/s = 0.6⋅c in die Garageneinfahrt ein.

a) Macht Ihnen das Sorgen?

b) Macht es dem Gast Sorgen?

c) Wie lang erscheint Ihnen der Wagen?

d) Wie lang erscheint dem Gast die Garage?

Aufgabe 20: Betrachten wir noch einmal einen Zug. Im Bahnhof stehend hat er eine Länge von 650 m. Die Spur (Abstand der beiden Räder, bzw.

Schienen) ist 1435 mm (Normalspur). Der Wagen ist 3.5 m hoch. Nun bewegt sich der Zug mit 0.8·c. Wie lang, hoch und breit ist der Zug nun?

Passt er noch auf die weiterhin ruhenden Schienen? Widerspricht dies dem Relativitätsprinzip?

Aufgabe 21: Sie versuchen ein geometrisches Problem mit einem Massstab, der 20 cm lang ist, zu lösen. Doch leider finden Sie keine Lösung und werfen deshalb den Massstab in der Wut quer durch das Zimmer. Das fliegende Lineal erscheint ihnen nur noch 17 cm lang. Wie schnell fliegt das Lineal?

Aufgabe 22: Auch über den Winkelmesser ärgern Sie sich. Er fliegt mit v = 0.9⋅c. Der Winkel, der Ihnen beim ruhenden Transporteur noch als 30° erschien, hat sich nun verändert.

Wie gross ist der Winkel beim fliegenden Transporteur?

Lorentzfaktor γ

Sowohl bei der Zeitdilatation, wie auch bei der Längenkontraktion, kommt der Lorentzfaktor γ vor.

Er spielt in der Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Deshalb studieren wir ihn nun im Detail:

Lorentzfaktor

( )

1 1 γ =

−

Aufgabe 23: Zeichne den Lorentzfaktor als Funktion der Geschwindigkeit v. Um grosse Zahlen zu vermeiden, messen wir dabei die Geschwindigkeit relativ zur Lichtgeschwindigkeit.

Aufgabe 24: Fülle die Lücken aus!

 Für kleine Geschwindigkeiten (v  c) hat der Lorentz- faktor den Wert γ = …… Es kann also ……… Längen- kontraktion oder Zeitdilatation beobachtet werden.

 Für grosse Geschwindigkeiten (v ≈ c) wird der Lorentz- faktor ……… . Relativistische Effekte werden also sehr ……… .

 Nähert sich die Geschwindigkeit des Systems der Licht- geschwindigkeit (v → c), so geht der Lorentzfaktor gegen ……… .

 Für Geschwindigkeiten grösser als der Licht- geschwindigkeit (v > c) ist der Lorentzfaktor

……… definiert. Ein System kann sich also nicht schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.

Hendrik Antoon Lorentz (*1853 in Arnheim;

†1928 in Haarlem) war ein niederländischer Mathematiker und Physiker. Lorentz legte die mathematischen Grundlagen, auf denen die Spezielle Relativitätstheorie aufgebaut wurde.

4. Energie und Masse

Im Jahr 1905 veröffentlichte Einstein noch einen weiteren Artikel:

„Ist die Trägheit eines Körpers von dessen Energieinhalt abhäng- ig?“ (in Annalen der Physik, 18, 639–643, 1905). Er findet tatsächlich eine Beziehung zwischen Masse und Energie: „Gibt ein Körper die Energie L in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um L/V². […] Die Masse eines Körpers ist ein Mass für dessen Energieinhalt, ändert sich dessen Energieinhalt um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/9·10²⁰, wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird.“

Einstein verwendet noch nicht dieselbe Notation und auch nicht dieselben Einheiten wie heute gebräuchlich. Wir versuchen die Aussage so wie heute üblich zu schreiben:

Masse = mit L die ……… und

V die ………

also

Äquivalenz von Masse und Energie E0 = ……… (Ruheenergie)

In der klassischen Mechanik hat ein ruhendes Teilchen keine Energie. Nur bewegte Teilchen haben kinetische Energie. Ein ruhendes Teilchen hat jedoch eine Energie E0 – die Ruheenergie.

Die Ruheenergie ist proportional zur Masse m!

Einstein schlägt in seinem Artikel bereits schon eine Möglichkeit, dies experimentell nachzuweisen, vor: „Es ist nicht auszuschliessen, dass bei Körpern, deren Energieinhalt in hohem Masse

veränderlich ist (z.B. bei den Radiumsalzen), eine Prüfung der Theorie gelingen wird.“

Aufgabe 25: Einstein schlägt vor, Radiumsalze zur Überprüfung seiner Theorie zu verwenden.

Radium wurde 1898 von Marie Curie entdeckt und war wohl das best bekannteste radioaktive Material. Deshalb der Vorschlag von Einstein. Leider finden wir nicht alle dazu benötigten Zahlen in der Formelsammlung. Wir können jedoch den Zerfall von Gold Au–198 rechnen.

Au–198 zerfällt zu Quecksilber Hg–198 (β–Zerfall).

mAu–198 = ……… u mHg–198 = ……… u

Δm = mAu–198 – mHg–198 = ……… u = ……… kg (Massendefekt) Energie der fehlenden Masse: ΔE0 = Δm·c² = ……… J

Zerfallsenergie: ΔE = ……… MeV = ……….. J

Aufgabe 26: Wie gross ist die Ruhenergie der Masse?

Berechne die Ruheenergie

a) einer Stahlkugel mit m = 1 kg und b) eines Elektrons.

Aufgabe 27: Damit Du dir die Energie, die in der Masse gespeichert ist, besser vorstellen kannst, machen wir zwei Vergleiche.

a) Wie gross ist die Energie, die einem Massendefekt von 1 mg entspricht? Wie lange könnte man mit dieser Energie ein Einfamilienhaus heizen? Der jährliche Heizöl-Bedarf beträgt ca. 2000 kg mit einem Heizwert von 4.2·10⁷ J/kg.

b) Auch der Energie des Lichtes kann eine Masse zugeordnet werden. Welche Energie hat ein Gramm Licht? Was kostet es, dieses Licht mit einer Glühlampe zu erzeugen? Der Wirkungsgrad einer Glühbirne ist 4 %. Elektrische Energie kostet 0.15 Fr./kWh. Wieviel kostet ein Gramm „Licht“ also?

Aufgabe 28: Wasserstoff hat ein Proton im Kern. Deuterium H–2 ist schwerer Wasserstoff, es hat ein Proton und ein Neutron im Kern. Tritium H–3 hat neben dem Proton gar zwei Neutronen im Kern. Die beiden Isotope sind zwar sehr selten, kommen aber natürlich vor.

a) Welche Masse sollte der Deuteriumkern also haben? Berechne also die Summe der Masse des Neutrons und des Protons!

b) Welche Masse hat er denn in Wirklichkeit? Du findest den Wert in der Formelsammlung!

c) Die zwischen dem erwarteten und dem tatsächlichen Wert fehlende Masse wird als Massendefekt bezeichnet. Wie gross ist der Massendefekt des Deuteriumkerns?

d) Der Massendefekt rührt von der Bindungsenergie der beiden Nukleonen her. Wie gross ist die Bindungsenergie des Deuteriumkerns?

Aufgabe 29: Unsere Sonne schleudert zahlreiche Teilchen ins Weltall hinaus (bekannt als Sonnenwind). Dadurch verliert sie mehr und mehr an Masse.

Weniger offensichtlich ist der Massen- verlust durch die abgegebene Strahlungs- energie, welche Sie hier abschätzen sollen:

a) Zuerst berechnen Sie die

Strahlungsenergie, die die Sonne pro Sekunde ausstrahlt. Dazu verwenden Sie die Solarkonstante. Sie gibt an, welche Energie eine senkrecht von der Sonne bestrahlte Platte von 1 m² Fläche in Erdentfernung pro Sekunde

abbekommt. Wenn Sie diesen Wert auf

die gesamte Oberfläche einer Kugel mit dem Abstand Sonne-Erde als Radius hochrechnen, bekommen Sie die gesuchte Strahlungsleistung.

b) Berechnen Sie aus der Strahlungsenergie, welche die Sonne pro Sekunde ausstrahlt, die Masse, die die Sonne pro Sekunde durch die Strahlung verliert.

c) Um welchen Bruchteil verringert sich die Masse der Sonne in der Zeit von 1 Mia. Jahren?

Aufgabe 30: Im Kernkraftwerk Gösgen wird aus der Spaltung von Uran–235 elektrische Energie gewonnen. Bei der Spaltung eines schweren Uran-Kerns entstehen mehrere mittelschwere Kerne. Die Differenz der Kernbindungsenergie wird hauptsächlich in Wärme umgewandelt, die den Reaktor erhitzt. Eine Dampfturbine nutzt die Temperaturdifferenz zwischen dem 324°C warmen Dampf aus dem Reaktor und dem 40°C warmen Kühlturm aus und

produziert elektrische Energie. Dabei kann nur ein geringer Teil der Wärme in

elektrische Energie umgewandelt werden.

Die abgegeben elektrische Leistung beträgt rund 1.0 GW während 330 Tagen im Jahr.

a) Bindungsenergie von Uran:

Berechnen Sie aus der Atommasse des Isotops Uran–235 (235.043922 u) und der Masse seiner Bestandteile das Massedefizit und die Kernbindungsenergie pro Kern.

b) Spaltung von Uran in einem Kernkraftwerk:

i) Wir nehmen an, dass der Uran-Kern in ein Barium-139 (138.908835 u), ein Krypton-95 (94.93984 u) und zwei freie Neutronen (1.0086649 u) gespalten wird. Berechnen Sie die Differenz der Massen vor der Spaltung (Urankern und Neutron) und der Zerfalls-

produkte (Barium, Krypton und zwei Neutronen).

Welche Energie wird also pro gespaltener Uran–235 Kern frei?

ii) Die Spaltung eines Kerns löst eine Kettenreaktion aus und viele weitere Kerne werden gespalten. Wie viele Atome sind in einem Kilogramm Uran-235 enthalten? Welche Energie liefert die Spaltung von 1 kg Uran-235 also?

iii) Ein KKW ist ein thermisches Kraftwerk – mit der Wärme der Kernspaltung wird Wasser geheizt und damit eine Turbine betrieben. Berechne den bestmöglichen Wirkungsgrad des KKW Gösgen.

iv) Welche Energie liefert gemäss den Angaben in der Aufgabe das KKW Gösgen pro Jahr? Welche Kern- energie muss das Kraftwerk also aufnehmen, wenn der reale Wirkungsgrad des Kraftwerks 30% beträgt?

v) Wie viel Kilogramm reines Uran-235 wird im KKW Gösgen also pro Jahr gespalten?

vi) Natürliches Uran besteht zu etwa 99.3 % aus U-238 und zu 0.7 % aus U-235. Damit es zu einer Kernspaltungskettenreaktion kommen kann, muss das Uran-235 angereichert werden. Das im Reaktor verwendete Uran enthält ca. 5 % U-235. Ist der Anteil U-235 auf ca. 3 % abgesunken, muss das Uran als hoch radioaktiver Abfall entsorgt werden.

Welche Menge radioaktiven Abfalls produziert Gösgen also jährlich? Und wo lagern sie diesen Abfall?

Anhang

Raum und Zeit

„Zeit, Raum, Ort und Bewegung sind allen wohlbekannt. Jedoch muss darauf hingewiesen werden, dass die gewöhnlichen Leute gerade diese Grössen nur aufgrund ihrer Beziehung zu den

feststellbaren Dingen erfassen. Davon rühren manche falschen Vorstellungen her, und um diese zu beseitigen, verständigt man sich darüber, dass sich ebendiese Grössen in absolute und relative, wahre und scheinbare, mathematische und allgemein übliche auftrennen lassen.

Die absolute, wahre und mathematische Zeit, in sich und ihrer Natur nach ohne Beziehung zu irgendetwas Äusserem, fliesst gleichmässig dahin und wird auch als Dauer bezeichnet. Eine relative, scheinbare und allgemein übliche Zeit ist irgendein, durch eine Bewegung feststellbares äusseres Mass (gleichgültig ob ein genaues oder ungleichmässiges) für die Dauer, welche die gewöhnlichen Leute an Stelle der wahren Zeit benutzen, wie zum Beispiel eine Stunde, ein Tag, ein Monat, und ein Jahr. […]

Der absolute Raum, seiner Natur nach ohne Beziehung zu etwas Äusserem, bleibt immer gleich und unbeweglich. Ein relativer Raum ist für diesen Raum ein Mass bzw. eine beliebige bewegliche Dimension, die von unseren Sinnen durch ihre Lage zu den Körpern bestimmt wird und von den gewöhnlichen Leuten anstelle des unbeweglichen Raumes benutzt wird, wie zum Beispiel die durch ihre Lage zur Erde bestimmte Dimension eines Raumes unterhalb der Erdoberfläche, eines Raumes in der Atmosphäre oder eines Raumes im Himmel. Der zu einem Körper gehörende absolute und der zu demselben Körper gehörende relative Raum sind der Gestalt und der Grösse nach

identisch, aber sie bleiben nicht immer der Zahl nach identisch. Nämlich wenn sich die Erde bewegt, um ein Beispiel anzuführen, so wird der Raum unserer Atmosphäre, der relativ und bezüglich der Erde gesehen immer derselbe bleibt, von dem absoluten Raum bald der eine Teil sein, bald von ihm ein anderer Teil, und so wird er sich, absolut gesehen, beständig verändern.”

Isaac Newton: „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687)

Das Relativitätsprinzip

„Schliesst Euch in Gesellschaft eines Freundes in einen möglichst grossen Raum unter dem Deck eines grossen Schiffes ein. Verschafft Euch dort Mücken, Schmetterlinge und ähnliches fliegendes Getier; sorgt auch für ein Gefäss mit Wasser und kleinen Fischen darin; hängt ferner oben einen kleinen Eimer auf, welcher tropfenweise Wasser in ein zweites enghalsiges darunter gestelltes Gefäss träufeln lässt. Beobachtet nun sorgfältig, solange das Schiff stille steht, wie die fliegenden Tierchen mit der nämlichen Geschwindigkeit nach allen Seiten des Zimmers fliegen. Man wird sehen, wie die Fische ohne irgendwelchen Unterschied nach allen Richtungen schwimmen; die fallenden Tropfen werden alle in das untergestellte Gefäss fliessen. Wenn Ihr Euerem Gefährten einen Gegenstand zuwerft, so braucht Ihr nicht kräftiger nach der einen als nach der anderen Richtung zu werfen, vorausgesetzt, dass es sich um gleiche Entfernungen handelt. Wenn Ihr, wie man sagt, mit gleichen Füssen einen Sprung macht, werdet Ihr nach jeder Richtung hin gleichweit gelangen. Achtet darauf, Euch aller dieser Dinge sorgfältig zu vergewissern, wiewohl kein Zweifel obwaltet, dass bei ruhendem Schiffe alles sich so verhält. Nun lasst das Schiff mit jeder beliebigen Geschwindigkeit sich bewegen: Ihr werdet – wenn nur die Bewegung gleichförmig ist und nicht hier- und dorthin schwankend – bei allen genannten Erscheinungen nicht die geringste

Veränderung eintreten sehen. Aus keiner derselben werdet Ihr entnehmen können, ob das Schiff fährt oder stille steht. [...] Die Ursache dieser Übereinstimmung aller Erscheinungen liegt darin, dass die Bewegung des Schiffes allen darin enthaltenen Dingen, auch der Luft, gemeinsam

zukommt. Darum sagte ich auch, man solle sich unter Deck begeben, denn oben in der freien Luft, die den Lauf des Schiffes nicht begleitet, würden sich mehr oder weniger deutliche Unterschiede bei einigen der genannten Erscheinungen zeigen.“

Galileo Galilei (1630)

„Die Bewegungen von Körpern in einem gegebenen Raum sind untereinander die gleichen, ob sich der Raum in Ruhe befindet oder ob er sich konstant auf einer geraden Linie bewegt.“

Isaac Newton (1687)

„Das Prinzip der Relativität, nach dem die Gesetze der physikalischen Vorgänge für einen feststehenden Beobachter die gleichen sein sollen, wie für einen in gleichförmiger Translation fortbewegten, so dass wir gar keine Mittel haben oder haben können, zu unterscheiden, ob wir in einer derartigen Bewegung begriffen sind oder nicht.“

Henri Poincaré (1904)

„Die Gesetze, nach denen sich die Zustände der physikalischen Systeme ändern, sind unabhängig davon, auf welches von zwei relativ zueinander in gleichförmiger Translationsbewegung

befindlichen Koordinatensystemen diese Zustandsänderungen bezogen werden.“

Albert Einstein (1905)

Zur Elektrodynamik bewegter Körper

A. Einstein: „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ in Annalender Physik und Chemie, 17, 891–921 (1905)