der klassischen Mechanik führt

8) Pfadintegrale

Feynmansche (1950) Pfadintegrale:

einfache, elegante Darstellung der Quantenmechanik häufig verwendet

Einblick Quantenmechanik↔klassische Mechanik Ziel

Pfadintegral zur Berechnung des Propagators

U(~r_f,t_f,~r_i,t_i)^Kap.1= h~r_f|e^{−~iH(tf−ti)} |~r_ii (1) läßt sich schreiben alsSumme der klassischen Wirkung über alle Pfade~r(t)von~r_i nach~r_f

U(~r_f,t_f,~r_i,t_i)= X

~r(t)|~r(ti)=~ri,~r(t_f)=~r_f

e^~iS[~r(t)] (2) klassischen Mechanik

S[~r(t)] = Z tf

ti

dt L(~r(t),~r˙(t),t) ; L(~r(t),~r˙(t),t) =T(˙~r(t))−V(~r(t))

Literatur

A. M. Zagoskin,Quantum theory of many-body systems (Springer).

G. Röpsdorf,Path integral to quantum physics(Springer).

www.quantumfieldtheory.info/

Path_Integrals_in_Quantum_Theories.htm

8.2) Übergang zur klassischen Mechanik Jeder Pfad in

U(~r_f,t_f,~r_i,t_i)= X

~r(t)|~r(ti)=~ri,~r(tf)=~rf

e^~iS[~r(t)]

hat gleiches Gewicht.

Aber wegen Vorfaktor ⁱ

~ interferieren sich viele Beiträge weg.

Dies trifft insbesondere für~→0 zu (klassischer Grenzfall) Hier trägen nur noch Pfade bei um

δS[~r(t)]

δ~r(t) =0 (3)

Dies sind aber nur noch die Pfade um den klassischen Pfad, da

δS[~r(t)]

δ~r(t) =0 auf Lagrange-Glg. der klassischen Mechanik führt.

Allgemein: Konstruktive Überlagerung von Pfaden mit

S

~

−S_klass

~

.π (4)

Klassischer Pfadfürfreies Teilchen (V =0):~r_klass(t) =^~r_t^f−~ri

f−t_it Klassische Wirkung:

S[~r_klass(t)] = Z tf

t_i

dt L(~r_klass,~r˙_klass,t)

| {z }

1 2m~r˙klass

= m 2

(~r_f −~r_i)²

(t_f −t_i)²(t_f −t_i) (5) 8.3) Tatsächliche Berechnung des Pfadintegrals:

Diskretisierungdes Zeitintervalls[t_i· · ·t_f]inN infinitesimale Zeitschritte∆t = (t_f −t_i)/N.

U(~r_f,t_f,~r_i,t_i) = lim

N→∞

Z

d³r_N−1 Z

d³r_N−2· · · Z

d³r₂ (6)

× m

2π~i∆t

(N−1)d 2 e^~i

PN

n=2∆t ^{m(~rn−~rn−1)}

2 2∆t2 −V(~rn)

(7) da fürkleines∆t der kinetische Energieterm so groß (stark fluktuierend) ist, dass jeweilsnur klassischer Pfadbeiträgt.

Normierungsfaktoraus Forderung

U(~r_f,t+ ∆t,~r_i,t_i) ^∆t→0−→ δ(~r_f −~r_i) (8)

= lim

α→∞

rα

πe^{−α(~rf−~ri)2} (9) Wdh. Gaussintegral:

Z ∞

−∞

dx e^−αx2+gx = rπ

αe^g

2

4α (10)

Hierα= ₂^−im

~∆t.

Z ∞

−∞

dx x²e^−αx2 = rπ

α 1

2α (11)

Beweis Äquivalenz Feynman-Pfadintegral↔S.-Glg. s.