A 1.2 Hamilton-Jacobi Theorie

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Physikalisches Institut Ubungsblatt 1¨

Universit¨at Bonn 10. April 2018

Theoretische Physik SS 18

Ubungen zur Theoretischen Physik III ¨

Prof. Dr. Hartmut Monien, Iris Golla, Christoph Liyanage, Rams´es Sanch´ez Abgabe der Hausaufgaben am 17.04.2018

Besprechung der Anwesenheitsaufgaben am 13.04.2018 Besprechung der Hausaufgaben am 20.04.2018

http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/liyanage/Theoretische_Physik_III_SS18/

- ANWESENHEITSAUFGABEN -

A 1.1 Hamiltonsche Mechanik

F¨ur ein System mit der LagrangefunktionL(qi,q˙i, t) ist die Hamiltonfunktion H(q_i, p_i, t) =

n

X

i=1

˙

q_ip_i−L(q_i,q˙_i, t)

die Legendretransformierte vonL, es werden s¨amtliche ˙q_i zugunsten vonp_i= _∂^∂L_q_˙

i eliminiert.

a) Berechnen Sie das DifferentialdH aus der expliziten Formel f¨urH.

b) Fassen SieH als FunktionH(p_i, q_i, t) auf und geben Sie das Differential daf¨ur an.

c) Vergleichen Sie die beiden Differentiale und erhalten Sie die Hamiltonschen Bewegungs- gleichungen:

∂H

∂qi

=−p˙_i , ∂H

∂pi

= ˙q_i .

Wie unterscheiden sie sich in Anzahl, Typ und Symmetrie von den Euler-Lagrange-Gleichungen?

d) Zeigen Sie

dH dt = ∂H

∂t

f¨ur die totale zeitliche Ableitung von H. Wann ist demnachH erhalten?

e) Was passiert mit zyklischen Koordinaten beim ¨Ubergang zu H?

f) Welcher physikalischen Gr¨oße entsprichtH f¨ur ein konservatives System?

g)H sei translationsinvariant. Folgern Sie daraus die Erhaltung des Gesamtimpulses.

h) Geben Sie H f¨ur ein freies Teilchen in kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten an.

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i) Geben Sie die Hamiltonfunktion H des eindimensionalen harmonischen Oszillators an.

j) Geben Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen von H aus i) an und bestimmen Sie deren L¨osung.

A 1.2 Hamilton-Jacobi Theorie

Wir wollen in dieser Aufgabe konkrete Probleme mit Hilfe des Hamilton-Jacobi Formalismus l¨osen und den Bezug zur Quantenmechanik schaffen, die ja Thema dieses Semesters ist.

Gegeben ist die Hamilton-Funktion des eindimensionalen harmonischen Oszillators aus A 1.1 i).

a) Geben Sie die Hamilon-Jacobi-Gleichung an.

b) Als Ansatz wird

S(q, α, t) =W(q, α)−αt (1)

gew¨ahlt, hierbei wurde die Zeit separiert undαist eine Integrationskonstante. Setzen Sie diesen Ansatz in die Gleichung aus a) ein und vereinfachen Sie.

c) Integrieren Sie die Gleichung aus b) und finden Sie einen Ausdruck f¨ur S. Warum muss die Integration nicht explizit ausgef¨uhrt werden?

d) Bestimmen Sie die Konstanteβ mit Hilfe von Gl. (9) der Notizen und berechnen Sie hieraus die gesuchte Koordinate q.

e) Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus der Hamilton-Mechanik erhaltenen A 1.1 j).

f) Bestimmen Sie abschließend noch die Konstanten α und β mit Hilfe der Anfangsbedigung q(0) = 0.

Für so ein einfaches Beispiel ist der Sinn der Hamilton-Jacobi Theorie noch nicht wirklich er- sichtlich, der Aufwand scheint den Nutzen nicht zu rechtfertigen. Die Bedeutung der Hamilton- Jacobi Theorie entwickelt sich vor allem für schwerere Probleme und erleichtert uns den Übergang zur Quantenmechanik, wie wir in den Hausaufgaben sehen werden.

- HAUSAUFGABEN -

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H 1.1 Das Noether-Theorem

(10 Punkte)

Wir betrachten die Lagrangefunktion des freien Falls im homogenen Schwerefeld L(x,x, t) =˙ m

2x˙²−mgx. (2)

a) Zeigen Sie, dass die Galileitransformationx→x⁰=x+teine Symmetrietransformation ist.

(2 Punkte)

b) Berechnen Sie die zugehörige Erhaltungsgröße. (2 Punkte) Als nächstes betrachten wir die Lagrangefunktion

L(~r,~r, t) =˙ m

2 x˙²+ ˙y²+ ˙z²

−V x²+y², z

, (3)

welche unter Rotationen um die z-Achse invariant ist. Berechnen Sie die zugehörige Erhal- tungsgröße und geben Sie die physikalische Bedeutung der Größe an:

c) in kartesischen Koordinaten, (2 Punkte) d) in Zylinderkoordinaten. (2 Punkte)

e) Welche Erhaltungsgröße gehört zu einer Symmetrie unter Raumtranslation? (1 Punkt) f) Setzt man skleronome Zwangsbedingungen voraus, welche Erhaltungsgröße gehört dann zu einer Zeitverschiebung? (1 Punkt)

H 1.2 Hamilton-Jacobi Theorie, geometrische Optik und Wellenmechanik

(10 Punkte)

Wir betrachten jetzt die Bewegung im konservativen Kraftfeld, in denen die Bedingungen so erf¨ullt sind, dass die Hamilton-Funktion konstant ist und der Energie entspricht¹

H=T +V = konstant. (4)

Dann l¨asst sich die Hamilton-Jacobi Gleichung (6) der Notizen mit dem Ansatz

S(~r, ~p, t) =W(~r, ~p)−Et (5) vereinfachen. Die charakteristische Funktion W ist zeitunabhängig, die Flächen mit konstan- tem W sind im Konfigurationsraum² also fest angeordnet. Wir betrachten nun die Flächen S = konstant, diese bewegen sich im Laufe der Zeit wie Wellenfronten durch den Konfigura- tionsraum und werden daher Wirkungswellen genannt.

1Die Bedingungen daf¨ur sind skleronome, holonome Zwangsbedingungen und ruhende Koordinaten im konservativen Kraftfeld.

2Der Konfigurationsraum ist der Raum, der durch die generalisierten Koordinaten aufgespannt wird.

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(4)

a) Stellen Sie zun¨achst die Hamilton-Funktion f¨ur folgende Lagrangefunktion auf (2 Punkte) L(~r,~r, t) =˙ m

2 x˙²+ ˙y²+ ˙z²

−V(~r). (6)

b) Wenden Sie jetzt den Ansatz (5) an, um die Hamilton-Funktion mit Hilfe der neuen Vari- ablen auszudrücken, gesucht ist also ein Ausdruck fürH(x, y, z,^∂S_∂x,^∂S_∂y,^∂S_∂z, t) in Abhängigkeit von der charakteristischen FunktionW und V (die Impulse wurden also wie in A 1.2 ersetzt ).

(2 Punkte)

c) Stellen Sie mit Hilfe von b) die Hamilton-Jacobi Gleichung f¨ur das Problem auf. (2 Punkte) d) Bringen Sie die Gleichung aus c) in eine Form, die mit derEikonalgleichung der geometrischen Optik verglichen werden kann

(∇L)~ ² =n², (7)

wobei n der Brechungsindex des betrachteten Mediums ist und L die optische Wegl¨ange oder Phase der Welle, die auch als Eikonal bezeichnet wird. (1 Punkt)

Die Eikonalgleichung der geometrischen Optik (7) stellt die Hochfrequenzapproximation, also die Klein-Wellenl¨angen-N¨aherung der Wellengleichung

∇²φ−n² c²

∂²φ

∂t² = 0 (8)

mit dem Ansatz φ=e^A(~^r)+ik⁰^(L(~^r)−ct) dar, mit A als Amplitude undk0 = ^4π_λ

0, der Wellenzahl im Vakuum.

e) Vergleichen Sie nun beide Gleichungen miteinander. Was entspricht dem Eikonal und was dem Brechungsindex der Eikonalgleichung in der Hamilton-Jacobi-Gleichung? Was ist demnach die physikalische Interpretation f¨ur das Problem, das wir in dieser Aufgabe betrachtet haben?

(2 Punkte)

f) Zum Schluss wollen wir noch den Bezug zur Quantenmechanik verdeutlichen. Betrachten wir noch einmal die Wellengleichung (8). Setzen Sie den Ansatz

φ(~r, t) =ψ(~r)e^−iωt (9)

in die Gleichung ein und nutzen Sie die Beziehung ^nω_c = ^2π_λ . Setzen Sie anschließend f¨urλdie aus der Schule bekannte De-Broglie-Wellenl¨angeλ= ^h_p ein, wobeip=p

2m(E−V) ist.

(1 Punkt)

Die erhaltene Gleichung ist die Schrödinger-Gleichung der Wellenmechanik. Die Schrödinger- Gleichung ist in ihrer allgemeinen Form zentraler Bestandteil der Quantenmechanik und somit dieses Semesters. Wir sehen also, dass die klassische Mechanik den Keim der Quantenmechanik enthält und die Hamilton-Jacobi Theorie das geeignete Werkzeug ist, um zu zeigen, wie von der klassischen Mechanik auf die Wellenmechanik verallgemeinert wird.

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