Systemtheorie I – WS 04/05 Prof. Dr.-Ing. habil. Hoffmann, TU Dresden Mitschrift

Systemtheorie I – WS 04/05

Prof. Dr.-Ing. habil. Hoffmann, TU Dresden Mitschrift

Fabian Kurz http://fkurz.net/

Zuletzt aktualisiert:

5. Mai 2005

Inhaltsverzeichnis

0 Einf¨ uhrung . . . . 1

0.1 Inhalt des Lehrgebietes . . . . 1

0.2 Stoffeinteilung . . . . 1

0.3 Literatur . . . . 1

Teil 1: Digitale Systeme 2 1 Mathematische Grundlagen . . . . 2

1.1 Algebraische Strukturen . . . . 2

1.1.1 Operation und Struktur . . . . 2

1.1.2 Verallgemeinerungen . . . . 2

1.1.3 Isomorphe Strukturen . . . . 3

1.1.4 Boolesche Algebra . . . . 3

1.2 Schaltalgebra . . . . 4

1.2.1 Rechenregeln . . . . 4

1.2.2 Gatterschaltungen . . . . 5

1.2.3 Schaltfunktionen . . . . 6

1.2.4 Vollst¨ andiges Operationensystem . . . . 6

1.3 Darstellung von Schaltfunktionen . . . . 7

1.3.1 Wertetabelle . . . . 7

1.3.2 Boolesche Terme . . . . 7

1.3.3 Kanonische disjunktive Normalfunktion . . . . 8

1.3.4 Kanonische konjunktive Normalform . . . . 8

1.3.5 Karnaugh–Tafel . . . . 9

2 Statische digitale Systeme (kombinatorische Automaten) . . . . 11

2.1 Alphabetbildung . . . . 11

2.1.1 Alphabete . . . . 11

2.1.2 Systeme mit einem Ausgang . . . . 12

2.1.3 Systeme mit mehreren Ausg¨ angen . . . . 12

2.2 Wortabbildung . . . . 13

2.2.1 Buchstaben und W¨ orter . . . . 13

2.2.2 Eigenschaften der Wortabbildung . . . . 13

3 Dynamische digitale Systeme (sequentieller Automat) . . . . 14

3.1 Zustandsbeschreibung . . . . 14

3.1.1 Speicher . . . . 14

3.1.2 Zustandsgleichungen . . . . 15

3.1.3 Automatendarstellung . . . . 17

3.1.4 Spezielle Automaten . . . . 18

3.2 Wortabbildungen . . . . 19

3.2.1 Abbildungsfamilie . . . . 19

3.2.2 Eigenschaften der Wortabbildung . . . . 20

3.2.3 Autonomer Automat . . . . 20

Teil 2: Zeitkontinuierliche Systeme 21

4 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme . . . . 21

4.1 Signalbeschreibung im Zeitbereich . . . . 21

4.1.1 Zeitkontinuierliche Signale . . . . 21

4.1.2 Signaloperationen . . . . 21

4.1.3 Spezielle Signale . . . . 23

4.1.4 Signale allgemeineren Typs . . . . 24

4.1.5 Interpolation abgetasteter Signale . . . . 24

4.2 Statische Systeme mit kontinuierlicher Zeit . . . . 26

4.2.1 Elementarsysteme . . . . 26

4.2.2 Verallgemeinerung der Beispiele . . . . 28

4.2.3 Kleinsignalverhalten . . . . 29

4.3 Dynamische zeitkontinuierliche Systeme . . . . 30

4.3.1 Zustandsbeschreibung . . . . 30

4.3.2 Lineares zeitkontinuierliches System 1. Ordnung . . . . 33

4.3.3 Nichtlineares zeitkontinuierliches System 1. Ordnung . . . . 34

5 Lineare Systeme . . . . 35

5.1 Signalbeschreibung im Bildbereich (Fourier-Transformation) . . . . 35

5.1.1 Die komplexe Fourier-Reihe . . . . 35

5.1.2 Fourier-Integral . . . . 36

5.1.3 Fourier-Transformation . . . . 37

5.1.4 Rechenregeln der Fourier-Transformation . . . . 38

5.2 Signalbeschreibung im Bildbereich (Laplace-Transformation) . . . . 38

5.2.1 Laplace-Integral . . . . 38

5.2.2 Laplace-Transformation . . . . 40

5.2.3 Rechenregeln . . . . 40

5.2.4 Grenzwerts¨ atze . . . . 43

5.2.5 Die inverse Laplace-Transformation . . . . 43

5.3 Systembeschreibung im Zeitbereich . . . . 44

5.3.1 Zustandsgleichungen . . . . 44

5.3.2 Differentialgleichung und Realisierung . . . . 46

0 Einf¨ uhrung

0.1 Inhalt des Lehrgebietes Realit¨ at

- -

Erregung (Ursache)

Schaltung Ger¨ at, usw.

Reaktion (Wirkung)

Mathematisches Modell

- -

Eingabe

x(t) System Ausgabe y(t)

Aufgaben

gegeben gesucht Gebiet

Eingabe, System Ausgabe Systemanalyse Eingabe, Ausgabe System Systemsynthese System, Ausgabe Eingabe Messtechnik Beachte: Modell ist anwendungsabh¨ angig Beispiel: Drahtwiderstand

Realit¨ at Modell

a a a

R

a

a

R L

a

a q

R L

q a

C

a

R L

a

C

q q

R L

C

q q

ω = 0 NF HF UHF

Eingabe und Ausgabe sind Zeitfunktionen x(t) bzw. y(t) oder sogenannte Signale.

0.2 Stoffeinteilung

(nach der Art des verarbeiteten Signals)

Zeitkontinuiertliche Systeme Zeitdiskrete Systeme Digitale Systeme

6

-

x(t)

t

6

-

x(k)

k

q q q q

q q q q

1 2 3 · · ·

6

-

x(k)

k

q q q q

q q q q p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p

t reell k ganzzahlig k ganzzahlig

x(t) reell x(k) reell x(k) ganzzahlig

0.3 Literatur Wunsch/Schreiber,

” Digitale Systeme“, Verlag Technik / Springer Wunsch/Schreiber,

” Analoge Systeme“, Verlag Technik / Springer

Teil 1: Digitale Systeme

1 Mathematische Grundlagen

1.1 Algebraische Strukturen 1.1.1 Operation und Struktur Beispiele:

3 + 4 = 7

~

x

1

× ~ x

2

= ~ x

3

'

&

$

%

a

q1

a

q2

1q

a

3

= a

1

∗ a

2

A Die Menge A mit der auf ihr definierten Operation

” *“

bildet eine algebraische Struktur, in Zeichen (A, ∗).

Beispiele:

( R , +) reelle Zahlen mit Addition ( Z , ·) ganze Zahlen mit Multiplikation 1.1.2 Verallgemeinerungen

a) Tr¨ ager der Struktur kann auch mehr als eine Menge enthalten b) Struktur kann auch mehrere Operationen enthalten

Beispiele:

( R , +, ·) reelle Zahlen mit Addition und Multiplikation (P(M), ∪, ∩, ) Potenzmenge von M mit Vereinigung, Durchschnitt

und Komplement c) Operationen k¨ onnen n–stellig sein

d) Bisher: a

1

∈ A, a

2

∈ A −→ a

3

= a

1

∗ a

2

∈ A innere Operation Allgemein: a

1

∈ A, a

2

∈ A −→ a

3

= a

1

∗ a

2

∈ B ¨ außere Operation

q q

a

₁

a

₂

A B

a

q₃

q

Beispiel: Skalarprodukt zweier Vektoren

~

x

₁

· ~ x

₂

= c

1.1.3 Isomorphe Strukturen

Gegeben seien die Strukturen (A, ∗) und (B, ◦).

'

&

$

% '

&

$

%

q q

q q

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

x

1

∗

q

x

2

y

1

◦

q

y

2

K

- - -

(A, ∗) (B, ◦) Definition: Die Strukturen (A, ∗) und (B, ◦) heißen isomorph (gleichgestaltig), in Zeichen (A, ∗) ∼ = (B, ◦), falls eine bijek- tive Abbildung ϕ : A → B exisitert, so daß gilt:

ϕ(x

1

∗ x

2

) = ϕ(x

1

) ◦ ϕ(x

2

) = y

1

◦ y

2

Die Abbildung ϕ heißt dann Isomorphismus.

Beispiel:

(A, ∗) = ( R

⁺

, ·) positive reelle Zahlen mit Multiplikation (B, ◦) = ( R , +) reelle Zahlen mit Addition

Behauptung: ( R

⁺

, ·) ∼ = (R , +)

Isomorphismus: ϕ : R

⁺

→ R , ϕ(x) = log x

Dann gilt: ϕ(x

₁

· x

₂

) = ϕ(x

₁

) + ϕ(x

₂

), denn log(x

₁

· x

₂

) = log x

₁

+ log x

₂

Beachte: Isomorphe Strukturen unterscheiden sich lediglich durch die Bezeichnung der Ele- mente des Tr¨ agers und der Operationen. Ansonsten sind sie formal gleich.

Bedeutung isomorpher Strukturen

-

L¨ osung in der Originalstruktur

L¨ osung in der Bildstruktur Originalstruktur

(komplizierte Operation)

Bildstruktur (einfache Operation) Transformation

(bij. Abbildung)

R¨ ucktransformation

?

Beispiele:

ˆ Logarithmenrechnung

ˆ komplexe Wechselstromrechnung

ˆ Funktionaltransformation (Fourier, Laplace, Z) 1.1.4 Boolesche Algebra

Definition: Die Struktur (A, ∗, ◦, , e

∗

, e

◦

) heißt Boolesche Algebra, falls gilt:

(a) ∗ und ◦ sind assoziativ

(b) ∗ und ◦ sind kommutativ

(c) ∗ ist adjunktiv bez¨ uglich ◦ und umgekehrt (d) ∗ ist distributiv bez¨ uglich ◦ und umgekehrt

(e) neutrale Elemente x ∗ e

∗

= x, x ◦ e

◦

= x, (x ∈ A) (f) einstellige Operation: x ∗ x = e

◦

, x ◦ x = e

∗

Beispiel: Mengenalgebra (P(M), ∪, ∩, , ∅, M ) F¨ ur beliebige M

₁

, M

₂

, M

₃

⊂ M gilt:

(1) M

₁

∪ (M

₂

∪ M

₃

) = (M

₁

∪ M

₂

) ∪ M

₃

Assoziativgesetz M

₁

∩ (M

₂

∩ M

₃

) = (M

₁

∩ M

₂

) ∩ M

₃

(2) M

1

∪ M

2

= M

2

∪ M

1

Kommutativgesetz

M

₁

∩ M

₂

= M

₂

∩ M

₁

(3) M

₁

∪ (M

₁

∩ M

₂

) = M

₁

Adjunktivgesetz

M

1

∩ (M

1

∪ M

2

) = M

1

(4) M

1

∪ (M

2

∩ M

3

) = (M

1

∪ M

2

) ∩ (M

1

∪ M

3

) Distributivgesetz M

₁

∩ (M

₂

∪ M

₃

) = (M

₁

∩ M

₂

) ∪ (M

₁

∩ M

₃

)

(5) M

₁

∪ ∅ = M

₁

neutrale Elemente

M

1

∩ M = M

1

(6) M

1

∪ M

1

= M Komplementbildung

M

₁

∩ M

₁

= ∅

Jede endliche Boolesche Algebra ist zu einer endlichen Mengenalgebra isomorph.

1.2 Schaltalgebra

1.2.1 Rechenregeln

” Einfachster Sonderfall“ einer Booleschen Algebra: A = {e

_∗

, e

◦

}.

Neue Symbolik: (A, ∗, ◦, e

_∗

, , e

◦

) −→ ( B , ∨, ∧, , 0, 1)

∨: oder–Verkn¨ upfung (Disjunktion), ∧: und–Verkn¨ upfung (Konjunktion), : Negation Eine Boolesche Algebra mit zweielementigem Tr¨ ager heißt Schaltalgebra.

Rechenregeln der Schaltalgebra:

1. x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z

2. x ∨ y = y ∨ x x ∧ y = y ∧ x

3. x ∨ (x ∧ y) = x x ∧ (x ∨ y) = x

4. x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)

5. x ∨ x = 1 x ∧ x = 0

6. x ∨ 0 = x x ∧ 1 = x

7. 0 = 1 1 = 0

8. x ∨ y = x ∧ y x ∧ y = x ∨ y

9. x ∨ x = x x ∧ x = x

10. x ∨ 1 = 1 x ∧ 0 = 0

11. x = x

Anwendung: Vereinfachung Boolescher Terme Beispiel:

y = (ax ∨ (a ∨ x))(b ∨ 1)c a, b, c, x, y ∈ B = {0, 1}

= (ax ∨ (a ∨ x))c mit Regeln 10 und 6

= (ax ∨ ax)c mit Regeln 8 und 11

= (a ∨ a)xc mit Regel 4

= xc mit Regeln 5 und 6

Operationstabellen oder

∨ 0 1

0 0 1

1 1 1

und

∨ 0 1

0 0 0

1 0 1

nicht 0 1 1 0

1.2.2 Gatterschaltungen Tabelle der Schaltsymbole:

Bezeichnung DIN 40700 (alt) DIN 40900 (neu)

Oder–Gatter

_a^{a a} _a^a

≥ 1

^a

Und–Gatter

_a^{a a} _a^a

&

^a

Negations–Gatter

^{a r a a}

1

^{b a}

NOR–Gatter

_a^{a r a} _a^a

≥ 1

^{b a}

NAND–Gatter

_a^{a r a} _a^a

&

^{b a}

Antivalenz–Gatter

_a^{a a}

*)

a

a

= 1

a

Aquivalenz–Gatter ¨

_a^{a a}

*)

a

a

=

a

*) nicht genormt Bemerkungen:

ˆ Die Variablen x

1

, x

2

, . . . ∈ B heißen Schaltvariablen und bezeichnen die Eingangs– und Ausgangsbelegung eines Gatters

ˆ Jedem Booleschen Term kann eine Gatterschaltung zugeordnet werden

Beispiele

1. Gatterschaltung zum Term x

₁

x

₂

∨ x

₃

:

a a

a

a

&

≥ 1 x

₃

x

₂

x

1

x

₃

y

2. Gatterschaltung zum Term x

₁

x

₂

∨ x

₃

:

a a

a

a

&

≥ 1 1

_b

1

_b

x

₃

x

₂

x

₁

x

₃

y

einfacher:

a a

a b a

b

&

≥ 1 x

₃

x

₂

x

1

x

₃

y

3. x

₁

x

₂

∨ x

₁

x

₂

= x

₁

∨x ˙

₂

(Antivalenz, Exklusiv–Oder) 4. x

1

x

2

∨ x

1

x

2

= x

1

⇔ x

2

( ¨ Aquivalenz)

1.2.3 Schaltfunktionen Definition:

Die Abbildung f : B

ⁿ

−→ B ; f (x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) = y heißt n–stellige Schaltfunktion.

Eigenschaften

I) Definitionsbereich:

B

ⁿ

= {0, 1}

ⁿ

= {(0, 0, . . . , 0)

| {z }

nElemente

, (0, 0, . . . , 1), . . . , (1, 1, . . . , 1)}

enth¨ alt 2

ⁿ

Elemente.

Wertebereich : B = {0, 1}

II) Anzahl n–stelliger Schaltfunktionen: 2

⁽²ⁿ⁾

(Tabelle s. Formelsammlung)

III) In die Rechenregeln der Schaltalgebra (1.2.1) k¨ onnen anstelle der Variablen x, y, z auch Schaltfunktionen f

1

, f

2

, f

3

eingesetzt werden.

1.2.4 Vollst¨ andiges Operationensystem

Das Operationensystem (∨, ∧, ) ist vollst¨ andig d.h. es ist jede beliebige Schaltfunktion damit darstellbar. Frage: Gibt es weitere vollst¨ andige Operationensysteme?

Beispiel 1: (∨, ) ist vollst¨ andig, ∧ l¨ aßt sich durch ∨ ausdr¨ ucken:

x

₁

x

₂

= x

₁

x

₂

= x

₁

∨ x

₂

x

₂

x

₁ a

a

&

_a

y ⇔

^a

y

x

1

1 1

≥ 1

a b

a b

Beispiel 2: (↑) ist vollst¨ andig, wobei x

₁

↑ x

₂

= x

₁

x

₂

(NAND)

x = xx = x ↑ x x

^{a q}

&

^{b a}

y

x

1

∨ x

2

= x

1

∨ x

2

= x

1

↑ x

2

= (x

1

↑ x

1

) ↑ (x

2

↑ x

2

)

a q

&

b a q

&

b

x

₂

x

1

&

_{b a}

y

x

1

x

2

= x

1

x

2

= x

1

↑ x

2

= (x

1

↑ x

2

) ↑ (x

1

↑ x

2

) &

^{b q}

&

^b _a

y

a

a

x

2

x

₁

1.3 Darstellung von Schaltfunktionen 1.3.1 Wertetabelle

Beispiel: n = 3, f : B

³

−→ B, y = f (x

1

, x

2

, x

3

) i x

₁

x

₂

x

₃

y

0 0 0 0 0

1 0 0 1 0

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 0

Bemerkungen:

ˆ Tabelle beschreibt Schaltbild vollst¨ andig

ˆ Es gen¨ ugt Angabe der Zeilen mit Funktionswert 1

ˆ Einf¨ uhrung Zeilenenindex i aus Indexmenge I:

I

_f

= {i : f (x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) = 1}

mit i = Bin(x

₁

, x

₂

, . . . x

_n

)

F¨ ur obiges Beispiel: I

f

= {3, 5, 6}.

1.3.2 Boolesche Terme

1. Konstanten 0 und 1 und die Variablen x

1

, x

2

, . . . x

n

sind Boolesche Terme 2. Ist B ein Boolescher Term, so auch B

3. Sind B

1

und B

2

Boolesche Terme, dann auch B

1

∨ B

2

sowie B

1

∧ B

2

Beispiel: B = ((x

1

x

2

∨ x

3

)x

3

∨ 0)1 (*) Darstellung einer Schaltfunktion entsprechend (1.3.1): Wertetabelle

x

1

x

2

x

3

y

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Verallgemeinerung: Jeder Boolesche Term mit n Variablen stellt ei- ne n–stellige Struktur dar.

Umkehrung: Jede n–Stellige Struktur f : B

ⁿ

−→ B l¨ aßt sich durch einen Booleschen Term darstellen, jedoch nicht in eindeutiger Weise

Beispiel: Der Term stellt die gleiche Schaltfunktion dar wie B = x

₁

x

₂

x

₃

Definition: Boolesche Terme die die gleiche Schaltfunktion darstellen heißen ¨ aquivalent.

⇒ Standardisierung durch sogenannte Normalfunktion!

1.3.3 Kanonische disjunktive Normalfunktion Definition: Ein Boolescher Term des Typs

m

i

= x

1i1

∧ x

2i2

∧ . . . ∧ x

nin

mit x

νiν

=

x

ν

falls i

ν

= 0 x

ν

falls i

ν

= 1 heißt Minterm in n Variablen.

Eigenschaften

1. m

_i

enth¨ alt jede Variable genau einmal und zwar negiert oder nicht negiert 2. Alle Variablen sind konjunktiv verkn¨ upft

3. m

i

nimmt f¨ ur genau eine Belegung der Variablen den Wert 1 and, sonst 0

4. Die Bedeutung des Index von i von m

i

: Die Bin¨ ardarstellung Bin (i) entspricht der Bele- gung f¨ ur die m

i

den Wert 1 annimmt

Beispiel: n = 3, m

2

= x

1

x

2

x

3

=

1 f¨ ur x

1

= 0, x

2

= 1, x

3

= 0 0 sonst

Darstellungssatz I

f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) = _

i∈I_f

m

i

heißt Darstellung von f in

kanonischer disjunktiver Normalform (KDNF) Beispiel: Wertetabelle aus (1.3), I

f

= {3, 5, 6}

f (x

1

, x

2

, x

3

) = _

i∈I_f

m

i

= m

3

∨ m

5

∨ m

6

= x

10

x

21

x

31

∨ x

11

x

20

x

31

∨ x

11

x

21

x

30

= x

₁

x

₂

x

₃

∨ x

₁

x

₂

x

₃

∨ x

₁

x

₂

x

₃

1.3.4 Kanonische konjunktive Normalform Definition: Ein Boolescher Term des Typs

M

i

= x

1i1

∨ x

2i2

∨ . . . ∨ x

nin

mit x

νiν

=

x

ν

falls i

ν

= 0 x

_ν

falls i

_ν

= 1 heißt Maxterm in n Variablen.

Eigenschaften

1. M

_i

enth¨ alt jede Variable genau einmal, negiert oder nicht negiert 2. Die Variablen sind disjunktiv verkn¨ upft

3. M

_i

nimmt genau f¨ ur eine Belegung der Variablen den Wert 0 an, sonst immer 1

4. Bedeutung des Index i von M

i

: Die Bin¨ ardarstellung Bin (i) ergibt die Belegung der Va-

riablen f¨ ur die M

_i

= 0 ist

Beispiel: n = 3, M

₅

= x

₁¹

∨ x

₂⁰

∨ x

₃¹

= x

₁

∨ x

₂

∨ x

₃

=

0 x

₁

= 1, x

₂

= 0, x

₃

= 1 1 sonst

Darstellungssatz II f (x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) = ^

i∈I_f

M

_i

mit I

f

= I r I

f

heißt Darstellung von f in kanonischer konjunktiver Normalform (KKNF) Beispiel: (zur Vereinfachung mit einer anderen Wertetabelle)

i x

1

x

2

x

3

f(x

1

, x

2

, x

3

)

0 0 0 0 1

1 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 1

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

I

_f

= {1, 5}

f (x

1

, x

2

, x

3

) = ^

i∈I_f

M

i

= M

1

∧ M

2

= (x

₁⁰

∨ x

₂⁰

∨ x

₃¹

) ∧ (x

₁¹

∨ x

₂⁰

∨ x

₃¹

)

= (x

₁

∨ x

₂

∨ x

₃

) ∧ (x

₁

∨ x

₂

∨ x

₃

) Bemerkungen

1. KDNF und KNNF sind eindeutig bis auf die Reihenfolge der Maxterme bzw. Minterme 2. Wann KDNF bzw. KKNF? Wertespalte enth¨ alt mehr 1 als 0 → KKNF, sonst KDNF.

1.3.5 Karnaugh–Tafel

Ziel: Gewinnen eines minimalen Booleschen Terms Beispiel: n = 4

Wertetabelle:

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

f(x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

) m

_i

0 0 0 0 f (0, 0, 0, 0) m

₀

0 0 0 1 f (0, 0, 0, 1) m

₁

0 0 1 0 f (0, 0, 1, 0) m

2

.. . .. . .. . .. . .. . .. . 1 1 1 1 f (1, 1, 1, 1) m

15

Karnaugh–Tafel f¨ ur n = 4:

x

_1,2

x

_3,4

@

@@

00 01 11 10

00 m

₀

m

₁

m

₃

m

₂

01 m

₄

m

₅

m

₇

m

₆

11 m

₁₂

m

₁₃

m

₁₅

m

₁₄

10 m

8

m

9

m

11

m

10

Eigenschaften:

1. Jedem K¨ astchen ist genau ein Minterm zugeordnet 2. Die Minterme in den benachbarten K¨ astchen unter-

scheiden sich in der Negation genau einer Variablen, z.B.

m

₀

= x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

m

₁

= x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

m

₄

= x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

· · ·

(benachbart sind auch die Randk¨ astchen)

3. Um Schaltfunktionen anzugeben werden die betreffenden Minterme durch 1 markiert 4. Vereinfachung der Schaltfunktionen geschieht durch Blockbildung benachbarter Min-

terme Beispiele

1. f (x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

) = x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

∨x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

∨x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

∨x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

∨x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

∨x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

x

1,2

x

3,4

@

@

@

00 01 11 10

00 1

01 1

11

10 1 1 1 1

= x

1

x

2

unterer Viererblock

∨ x

₁

x

₃

x

₄

Zweierblock

Beim unteren Viererblock sind x

₃

∨ x

₃

und x

₄

∨ x

₄

immer wahr. Beim oberen Zweierblock ist x

₂

∨ x

₂

immer wahr.

Daher k¨ onnen diese Terme wegfallen.

⇒ f (x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

) = x

₁

x

₂

∨ x

₁

x

₃

x

₄

2. f (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) = x

1

x

2

x

3

x

4

∨x

₁

x

2

x

3

x

4

∨x

₁

x

2

x

3

x

4

∨x

₁

x

2

x

3

x

4

∨x

₁

x

2

x

3

x

4

∨x

₁

x

2

x

3

x

4

x

1,2

x

3,4

@

@@

00 01 11 10

00 1

01 1

11 1 1

10 1 1

= x

3

x

4

Viererspalte

∨ x

1

x

3

Viererblock

In diesem Falle ist es einfacher mit zwei Viererbl¨ ocken als mit einem Vierer– und einem Zweierblock zu arbeiten.

Vereinfacht ergibt sich f¨ ur die Schaltfunktion:

⇒ f (x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

) = x

₃

(x

₄

∨ x

₁

) 3. f (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) = x

1

x

2

x

3

x

4

∨ x

1

x

2

∨ x

1

x

2

x

3

x

4

∨ x

1

x

2

∨ x

1

x

2

x

3

x

4

x

_1,2

x

_3,4

@

@@

00 01 11 10

10 1 1 1 1

01 1

11 1 1

10 1 1 1 1

= x

2

Achterblock

∨ x

3

x

4

Viererspalte

∨ x

₁

x

₃

Viererblock

⇒ f (x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

) = x

₂

∨ x

₃

(x

₁

∨ x

₄

)

2 Statische digitale Systeme (kombinatorische Automaten)

2.1 Alphabetbildung 2.1.1 Alphabete

x



 

 

 

  x

1

x

2

.. . x

_l

y

1

y

2

.. . y

_m



 

 

 

  y

a

a a

a a a

.. . Φ .. .

z.B. Gatterschaltung Definitionen:

1. Die Menge X = {0, 1}

^l

= B

^l

heißt Eingabealphabet mit den Buchstaben

x = (x

₁

, x

₂

, x

₃

, . . . , x

_l

) oder x =









 x

1

x

₂

.. . x

_l









 .

2. Die Menge Y = {0, 1}

^m

= B

^m

heißt Ausgabealphabet mit den Buchstaben

y = (y

₁

, y

₂

, y

₃

, . . . , y

_m

) oder y =









 y

₁

y

2

.. . y

m









 .

3. Jede Abbildung Φ : X → Y

Φ(x

1

, x

2

, . . . , x

l

) = (y

1

, y

2

, . . . y

m

) kurz Φ(x) = y heißt Alphabetabbildung.

4. Das Eingabealphabet X = B

^l

und das Ausgabalphabet Y = B

^m

zusammen mit der Al- phabetabbildung Φ bildet ein (abstraktes) statisches digitales System (oder einen kombi- natorischen Automaten), in Zeichen: (X, Y, Φ)

Beachte: (X, Y, Φ) stellt eine algebraische Struktur dar:

X Y

'

&

$

%

'

&

$

%

x

r r

j

y

Φ

2.1.2 Systeme mit einem Ausgang Sonderfall: m = 1, X = B

^l

, Y = B = {0, 1}

x

1

x

₂

.. . x

_l

a

y

a

a a

.. . Φ

y = Φ(x

1

, x

2

, . . . , x

l

)

Ergebnis: Die Alphabetabbildung stellt eine l–stellige Schaltfunktion dar.

2.1.3 Systeme mit mehreren Ausg¨ angen Beispiel: l = 3, m = 2

x

₃

x

₂

x

1

a a

a b

b

q a

a

q

y

₁

y

2

Φ

&

&

≥ 1

y

1

= x

1

x

2

∨ x

3

= f

1

(x

1

, x

2

, x

3

) y

₂

= x

₁

x

₂

x

₃

= f (x

₁

, x

₂

, x

₃

)

Verallgemeinerung: (l, m beliebig)

Die Alphabetabbildung Φ l¨ aßt sich durch m l–stellige Schaltfunktionen f

_i

: B

^l

→ B (i = 1, . . . , n) darstellen.

f

₁

(x

₁

, x

₂

, . . . , x

_l

) = y

₁

f

₂

(x

₁

, x

₂

, . . . , x

_l

) = y

₂

.. . .. . f

_m

(x

₁

, x

₂

, . . . , x

_l

)= y

_m



 

 

 

 

Φ : B

^l

→ B

^m

⇔

a a

x

1

.. . x

_l

f

1

f

2

f

_m q

q q

q

.. . .. .

a a a

y

₃

y

2

y

₁

Φ

2.2 Wortabbildung

2.2.1 Buchstaben und W¨ orter Definitionen:

1. Zeitskala T = {0, 1, . . . , k, . . . , N }, Taktzeitpunkte k ∈ T (¨ aquidistant).

Die Zeit ist normiert (dimensionslos).

2. Die Abbildung x : T → X heißt digitales Eingabesignal oder Eingabewort Schreibweise: x = (x(0), x(1), x(2), . . . , x(k), . . . , x(N ))

x(k) ∈ X ist Eingabebuchstabe im Taktzeitpunkt k

x =



















 x

1

(0) x

₂

(0)

.. . x

_l

(0)









 ,









 x

1

(1) x

₂

(1)

.. . x

_l

(1)









 , . . . ,









 x

1

(N ) x

₂

(N )

.. . x

_l

(N )





















=











(x

1

(0), x

1

(1), x

1

(2), . . . , x

1

(N )) (x

₂

(0), x

₂

(1), x

₂

(2), . . . , x

₂

(N ))

.. .

(x

_l

(0), x

_l

(1), x

_l

(2), . . . , x

_l

(N ))











=









 x

1

x

₂

.. . x

_l









 3. Die Abbildung y : T → Y heißt digitales Ausgabesignal oder Ausgabwert.

Schreibweise: y = (y(0), y(1), y(2), . . . , y(N ))

Mit y(k) =









 y

₁

(k) y

2

(k) .. . y

m

(k)











analog zu 2.

4. Wortl¨ ange l(x) = |T | = N + 1

5. Eingabewortraum: X

^T

= X

^∗

Menge aller Eingabew¨ orter Ausgabewortraum: Y

^T

= Y

^∗

Menge aller Ausgabew¨ orter 6. Die Abbildung Φ : X

^∗

→ Y

^∗

, Φ(x) = y heißt Wortabbildung 2.2.2 Eigenschaften der Wortabbildung

Offensichtlich: Abbildung erfolgt Buchstabe f¨ ur Buchstabe.

Eingabewort: x : x(0) x(1) x(2) · · · x(N ) Φ



 y Φ



 y Φ





y · · · Φ



 y Ausgabewort: y : y(0) y(1) y(2) · · · y(N )

Grundgleichung des kombinatorischen Automaten: y(k) = Φ(x(k)) Diskussion:

1. l(y) = l(y)

2. Ausgabe y(k) im Takt k h¨ angt nur von Eingabe x(k) im gleichen Takt k ab, nicht aber von x(k − 1), x(k − 2), . . .

3. gleiche Eingangsbuchstaben haben gleiche Ausgangsbuchstaben zur Folge

Gegenbeispiel:

x

^a

?

^a

y x = (1, 1, 0, 1, 0, 0)

y = (0, 1, 0, 0, 0, 1) Diese Wortabbildung ist durch einen kombinatorische Automaten nicht realisierbar.

3 Dynamische digitale Systeme (sequentieller Automat)

3.1 Zustandsbeschreibung 3.1.1 Speicher

Zus¨ atzlich zu den betrachteten BE (Gatter) wird eingef¨ uhrt:

Speicher S x(k) = y(k + 1) x

^a

S

^a

y

Durch Hinzunahme von Speichern zu einem kombinatorischen Automaten entsteht ein sequen- tieller Automat.

Beispiel:

q b

q -

z1(k)

q a

a a

a a

x

3

(k) x

1

(k) x

2

(k)

y

2

(k) y

1

(k)

≥ 1

&

S

₂

& S

1

S

₃

≥ 1

6

z2(k+1)

6

z2(k)

z3(k) z3(k+1)

Regel: An den Ausg¨ angen der Speicher werden

” Hilfsw¨ orter“ z

i

erzeugt, da ein direkter Zu- sammenhang zwischen y(k) und x(k) nicht dargestellt werden kann.

Aus Schaltung ablesbar:

z

₁

(k + 1) = z

₂

(k)(x

₁

(k) ∨ x

₂

(k)) z

₂

(k + 1) = z

₃

(k)

z

3

(k + 1) = z

1

(k) ∨ x

3

(k)z

3

(k) y

1

(k) = z

1

(k)

y

₂

(k) = z

₁

(k) ∨ x

₃

(k)z

₃

(k)

Eingangswert x =



 x

1

x

₂

x

₃



 =





(1, 0, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)



, Anfangszustand z(0) =



 z

1

(0) z

₂

(0) z

₃

(0)



 =



 0 1 0





Gesucht: Ausgangswert y = y

₁

y

₂

= ?

L¨ osung

k 0 1 2 3

x

1

(k) 1 0 0 x

₂

(k) 1 0 1 x

₃

(k) 0 1 1 z

₁

(k) 0 1 0 0 z

2

(k) 1 0 0 1 z

3

(k) 0 0 1 1 y

1

(k) 0 1 1 y

₂

(k) 0 0 1 Ergebnis: y =

y

1

y

2

=

(0, 1, 0) (0, 1, 1)

3.1.2 Zustandsgleichungen Verallgemeinerung:

x

₁

x

₂

.. . x

_l

y

₁

y

₂

.. . y

_m a

a a

a a a

.. . .. .

Gatter + n Speicher

z(k + 1)







z

₁

(k + 1) = f

₁

[

z(k)

z }| { z

₁

(k), . . . , z

_m

(k),

x(k)

z }| { x

₁

(k), . . . , x

_l

(k)]

.. . .. . .. .

z

_n

(k + 1) = f

_n

[z

₁

(k), . . . , z

_m

(k), x

₁

(k), . . . , x

_l

(k)]

y(k)



 

 

y

₁

(k) = g

₁

[z

₁

(k), . . . , z

_m

(k), x

₁

(k), . . . , x

_l

(k)]

.. . .. . .. .

z

_n

(k + 1) = f

_n

[z

₁

(k), . . . , z

_m

(k), x

₁

(k), . . . , x

_l

(k)]

Zusammenfassung des sequentiellen Automaten:

z(k + 1) = f [z(k), x(k)]

y(k) = g[z(k), x(k)]

Definitionen:

1. Die Menge Z = B

ⁿ

= {0, 1}

ⁿ

heißt Zustandsalphabet (Zustandsraum ).

2. Die Abbildung z

T

→ Z heißt Zustandswort (Zustandstrajektorie).

z = (z(0), z(1), . . . , z(N )) mit z(k) =





 z

1

(k)

.. . z

n

(k)







z(k) heißt Zustand des Automaten im Takt k.

3. z(0) =





 z

₁

(0)

.. . z

_n

(0)





 heißt Anfangszustand des Automaten.

Diskussion der Zustandsgleichungen f : Uberf¨ ¨ uhrungsfunktion

g: Ergebnisfunktion

Definition: Die Mengen X = B

^l

(Eingabealphabet), Y = B

^m

(Ausgabealphabet) und Z = B

ⁿ

(Zustandsalphabet) zusammen mit den Abbildungen

f : Z × X → Z f [z(k), x(k)] = z(k + 1) g : Z × X → Y g[z(k), x(k)] = y(k)

bilden ein (abstraktes) dynamisches digitales System (oder einen abstrakten sequentiellen Au- tomaten oder Mealy –Automaten), in Zeichen (X, Y, Z, f, h).

x(k) z(k)

a a

l Leitungen nLeitungen

q

? q

?

q

? q

? 6

6

z(k + 1)

f S g

a

y(k)

mLeitungen

Der sequentielle Automat ist durch zwei herk¨ ommliche Automaten (f und g) und n Speicher darstellbar.

Beispiel: (aus 3.1.1)

z

1

(k + 1) = z

2

(k)(x

1

(k) ∨ x

2

(k)) y

1

(k) = z

1

(k)

z

₂

(k + 1) = z

₃

(k) y

₂

(k) = z

₁

(k) ∨ x

₃

(k)z

₃

(k) z

₃

(k + 1) = z

₁

(k) ∨ x

₃

(k)z

₃

(k)

a a a a a a

x

3

(k) x

₂

(k) x

₁

(k) z

3

(k) z

2

(k) z

1

(k)

q q

b q

q

z1(k+1)

≥ 1 & S

q

q

z2(k+1)

S

z2(k)

& ≥ 1

q

q q

& ≥ 1

q

q q q

q

S

z3(k+1)

q

a a

y (k)

y

1

(k)

3.1.3 Automatendarstellung

x(k)



 

 

 

  x

1

(k) x

₂

(k)

.. . x

_l

(k)

y

1

(k) y

₂

(k)

.. . y

_m

(k)



 

 

 

  y(k)

a

a a

a a a

.. . .. .

Gatter + n Speicher (z

1

(k), z

2

(k), . . . , z

3

(k))

| {z }

z(k)

z(k + 1) = f [z(k), x(k)]

y(k) = f [z(k), x(k)]

Der sequentielle Automat l¨ aßt sich wie folgt darstellen:

1. Automatentabelle:

Zustandsalphabet Zustandsalphabet

Eingabealphabet

f · · · z(k) · · ·

.. . .. .

.. . .. .

x(k) · · · z(k + 1) · · ·

.. . .. .

.. . .. .

^Ei

ngabealphabet

g · · · z(k) · · ·

.. . .. .

.. . .. .

x(k) · · · z(k + 1) · · ·

.. . .. .

.. . .. .

Uberf¨ ¨ uhrungstabelle Ergebnistabelle 2. Automatengraph

Bezeichnung Symbol Bedeutung

Knoten O Zustand

Zweige (Kanten) −→ Zustands¨ uberg¨ ange Zustandsgleichungen dargestellt durch:

_^]\

XYZ[z(k) x(k)|y(k)

//

_^]\XYZ[z(k+1)

Beispiel 1:

X = {0, 1}, Y = {0, 1}, Z = {(0, 0)

| {z }

0

, (0, 1)

| {z }

1

, (1, 0)

| {z }

2

, (1, 1)

| {z }

3

}

Automatentabelle (gegeben): Automatengraph:

Z z }| {

Z z }| { X

n

f 0 1 2 3

0 2 3 1 3

1 1 0 2 0 X

n

g 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

?>=<

89:;

1

1|0

0|0

?>=<

89:;

0

1|0

@@

0|0

//

?>=<89:;

2

0|0

^^

>>>>>>>>> ^1|1

?>=<

89:;

3

1|1

^^

>>>>>>>>>

0|0

TT

Es sei x = (1, 0, 1, 0, 0) und z(0) = 1. Ablesen: y = (0, 0, 1, 0, 0) und z(5) = 3.

Beispiel 2:

gegeben: Automatengraph

gesucht: Automatentabelle, Zustandsgleichungen, Schaltung

?>=<

89:;

0

0|1

1|3

>

>>

>>

>>

>>

?>=<

89:;

1

0|1

JJ

1|2

@@

?>=<

89:;

3

0|3

TT

1|0

?>=<

89:;

2

0|1

JJ

1|1

kk

Automatentabelle:

Z z }| {

Z z }| { X n

f 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 3 0 2 2 X n

g 0 1 2 3

0 1 1 1 3

1 3 2 1 0

Wertetabelle

z(k) x(k) z(k + 1) y(k)

0 0 0 1

0 1 3 3

1 0 1 1

1 1 0 2

2 0 2 1

2 1 2 1

3 0 3 1

3 1 2 0

Dekodierte Wertetabelle

z

1

(k) z

2

(k) x(k) z

1

(k + 1) z

2

(k + 1) y

1

(k) y

2

(k)

0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 1

1 0 1 1 0 0 1

1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 0 0 0

Zustandsgleichungen (aus Karnaugh -Diagramm):

f

1

: z

1

(k + 1) = z

1

(k) ∨ z

2

(k) x(k)

f

₂

: z

₂

(k + 1) = z

₂

(k) x(k) ∨ z

₁

(k) z

₂

(k) x(k) g

₁

: y

₁

(k) = z

₁

(k) x(k) ∨ z

₁

(k) z

₂

(k) x(k) g

2

: y

2

(k) = z

2

(k) ∨ x(k)

Schaltung:

a a a

x(k) z

2

(k) z

₁

(k)

^q

q q

q q

q

z1(k+1) z1(k) z2(k+1) z2(k)

q

q q

q q

q q

q

a a

y

1

(k) y

₂

(k) f

1

S

f

2

S

g

1

g

2

3.1.4 Spezielle Automaten

Allgemeiner Fall: Mealy -Automat

x(k)

^{- q-}

-

q

f S y(k)

g

z(k + 1) = f [z(k), x(k)]

y(k) = g[z(k), x(k)]

Sonderf¨ alle:

(a) Moore -Automat

x(k)

^- z(k+1)^- z(k)^-

q -

-

y(k)

f S g z(k + 1) = f[z(k), x(k)]

y(k) = g[z(k)]

(b) Medwedjew -Automat

x(k)

^- z(k+1)^- z(k)^-

q

-

f S y(k) z(k + 1) = f[z(k), x(k)]

y(k) = z(k)

(c) Autonomer Automat (Generator)

- -

z(k+1) z(k)

q

-

f S g

-

y(k) z(k + 1) = f [z(k)]

y(k) = g[z(k)]

NB: Bei allen Automaten muß der Zustand z(0) bekannt sein.

3.2 Wortabbildungen 3.2.1 Abbildungsfamilie

Zustandsgleichungen → Schema der Wortabbildung:

Eingabewort x

z }| {

x(0)

x(1)

x(N )

z(0) // f, g

// z(1) // f, g

// z(2) · · · // z(N ) // f, g

// z(N + 1)

y(0) y(1) y(N )

| {z }

Ausgabewort y Diskussion:

1. Eingabewort und Ausgabewort haben die gleiche L¨ ange, L(x) = L(y)

2. Der Ausgabebuchstabe y(k) h¨ angt von x(k), x(k − 1), . . . , x(0) ab, nicht aber von x(k + 1), x(k + 2), . . . (Kausalit¨ at).

3. Das Ausgabewort y h¨ angt vom Anfangszustand z(0) ab.

Definitionen:

1. Die Abbildung

Φ

z0

: X

^∗

→ Y

^∗

, Φ

z0

(x) = y heißt vom Anfangszustand z

₀

= z(0) ∈ Z erzeugte Wortabbildung.

2. Jedem Mealy -Automaten ist eine Abbildungsfamilie Φ = {Φ

_z0

|z

₀

∈ Z}

zugeordnet.

3.2.2 Eigenschaften der Wortabbildung

Definition: Sind x

⁰

= (x

⁰

(0), x

⁰

(1), . . . , x

⁰

(r)) und x

⁰⁰

= (x

⁰⁰

(0), x

⁰⁰

(1), . . . , x

⁰⁰

(s)) zwei W¨ orter aus X

^∗

, so heißt das Wort

x

⁰

◦ x

⁰⁰

= (x

⁰

(0), x

⁰

(1), . . . , x

⁰

(r), x

⁰⁰

(0), x

⁰⁰

(1), . . . , x

⁰⁰

(s)) ∈ X

^∗

Verkettungsprodukt (Konkatenationsprodukt ) von x

⁰

und x

⁰⁰

.

Beachte: Eine Wortabbildung Φ

_z0

: X

^∗

→ Y

^∗

ist durch einen Mealy -Automaten realisierbar, falls gilt:

1. L(x) = L(y)

2. Φ

_z0

(x

⁰

◦ x

⁰⁰

) = Φ

_z0

(x

⁰

)

| {z }

y⁰

◦ Φ

_z0⁰

(x

⁰⁰

)

| {z }

y⁰⁰

(z

₀⁰

: Zustand nach Eingabe von x

⁰

)

3.2.3 Autonomer Automat

Wir betrachten Mealy -Automaten mit konstanter Eingabe.

Beispiel: Es sei z(0) = 0

?>=<

89:;

1

0|0

1|1

?>=<

89:;

0

^0|0

//

1|0

@@

?>=<

89:;

2

1|0

TT

0|0

^^

>>>>>>>>>

?>=<

89:;

3

0|1

@@

1|0

^^

>>>>>>>>>

Fall I: x = (0, 0, 0, 0, . . .)

z = (0, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, . . .) y = (−, 0, 0, 1, 1,

| {z }

”Zyklus“

0, 1, 1, 0, . . .) periodische Folge Fall II: x = (1, 1, 1, 1, . . .)

z = (0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .) y = (−, 0, 1, 1, 1, 1, 1

| {z }

”Fixpunkt“

, . . .) konstante Folge

Verhaltensformen des endlichen autonomen Automaten

I) Da bei |Z| = 2

ⁿ

nach sp¨ atestens 2

ⁿ

− 1 Takten alle Zust¨ ande ausgesch¨ opft sind, wird sp¨ atestens im Takt 2

ⁿ

ein bereits durchlaufener Zustand erreicht.

z(k + s) = z(k), f¨ ur 1 < s < z

ⁿ

s: Periodendauer

II) Nach r Takten wird ein konstanter Endzustand (Fixpunkt) erreicht:

z(k + 1) = z(k), f¨ ur k > r

Teil 2: Zeitkontinuierliche Systeme

4 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme

4.1 Signalbeschreibung im Zeitbereich 4.1.1 Zeitkontinuierliche Signale

Festlegungen:

Zeitskala: ⊆ R Sonderf¨ alle: T = R

T = R

⁺

= [0, ∞) Alphabet: X = C

Sonderfall: X = R

Definition: Ein zeitkontinuierliches Signal ist eine Abbildung x : T → X, durch die jedem Zeitpunkt t ∈ T ein Signalwert x(t) ∈ X zugeordnet ist.

Sonderfall: x : T → R reelles zeitkontinuierliches Signal oder analoges Signal.

Beispiel:

-

x(t)

6

t e

^−at

, 0 < a < 1

4.1.2 Signaloperationen Einstellige Operationen

a) Skalarmultiplikation

y(t) = α · x(t)

- 6

t x(t) y(t)

@

@

A A

A A

x(t) y(t)

b) Translation

y = S

^τ

(x) y(t) = x(t − τ )

- 6

t x(t) y(t)

@

@

@

@

x(t) y(t)

c) Differentiation

y = D(x) y(t) = dx(t)

dt

^-

6

t x(t) y(t)

x(t) y(t)

d) Integration

y = D

⁻¹

(x) y(t) =

Z

t

−∞

x(τ ) dτ

- 6

t x(t) y(t)

x(t)

y(t)

Zweistellige Operationen

a) Signaladdition: y(t) = x

₁

(t) + x

₂

(t) b) Signalmultiplikation: y(t) = x

₁

(t) · x

₂

(t) c) Faltung: y = x

1

∗ x

2

y(t) = (x

1

∗ x

2

)(t)

=

∞

Z

−∞

x

₁

(τ ) · x

₂

(t − τ ) dτ =

∞

Z

−∞

x

₂

(τ ) · x

₁

(t − τ ) dτ

= (x

₂

∗ x

₁

)(t) ⇒ Faltung ist kommutativ!

Sonderfall: x

₁

(t) = 0 f¨ ur t < 0, x

₂

(t) = 0 f¨ ur t < 0.

y(t) = (x

1

∗ x

2

)(t) =

t

Z

0

x

1

(τ )

| {z }

0 f¨urτ <0

· x

2

(t − τ )

| {z }

0 f¨urτ >t

dτ

Veranschaulichung am Beispiel

-

x

1

(τ )

6

τ

-

x

2

(τ )

6

τ

@

-

x

2

(τ −t)

6

t τ

@

-

x

2

(τ −t)

6

t τ

@

@

@

@

x

1

(τ )

6

x

2

(τ −t)

@

@

@

: x

₁

(τ ) · x

₂

(t − τ ) : y(t) =

t

R x (τ ) · x (t − τ ) dτ