Elektrotechnik I – WS 03/04 Prof. Dr.-Ing. W. Schwarz Mitschrift

Elektrotechnik I – WS 03/04 Prof. Dr.-Ing. W. Schwarz

Mitschrift

Fabian Kurz http://fkurz.net/

Letzte Aktualisierung:

8. September 2004

Inhaltsverzeichnis

0 Physikalische Gr¨ oßen und Einheiten 1

1 Grundbegriffe 3

1.1 Ladung . . . . 3

1.2 Elektrischer Strom . . . . 3

1.2.1 Definition . . . . 3

1.2.2 Kennzeichen des Stroms . . . . 6

1.2.3 Grundeigenschaft des Stromes: Kontinuit¨ at . . . . 7

1.2.4 Messung des Stromes . . . . 8

1.3 Elektrische Spannung . . . . 8

1.3.1 Definition . . . . 8

1.3.2 Kennzeichen der Spannung . . . . 9

1.3.3 Grundeigenschaften der Spannung . . . . 9

1.3.4 Messung der Spannung . . . . 11

1.4 Energie und Leistung . . . . 11

1.4.1 Grundbeziehungen . . . . 11

1.4.2 Leistungsumsatz . . . . 13

1.4.3 Messung der elektrischen Leistung . . . . 14

1.5 Die Elektrischen Grundgr¨ oßen . . . . 14

2 Resistive Zweipole 15 2.1 Grundbegriffe . . . . 15

2.1.1 Messung (Aufnahme) der Kennlinie . . . . 16

2.1.2 Beispiele . . . . 16

2.1.3 Kennlinienaufnahme mit dem Oszilloskop . . . . 17

2.2 Leistung am Zweipol . . . . 18

2.2.1 Leistungsumsatz . . . . 18

2.2.2 Aktive und passive Zweipole . . . . 19

2.2.3 Z¨ ahlpfeilsystem . . . . 20

2.3 Strom– und Spannungsquellen . . . . 21

2.3.1 Kurzschluss . . . . 21

2.3.2 Spannungsquelle . . . . 21

2.3.3 Leerlauf . . . . 21

2.3.4 Stromquelle . . . . 22

2.3.5 Anwendungen . . . . 22

2.4 Der linear resistive Zweipol (Widerstand, Resistor) . . . . 22

2.4.1 Ohmsches Gesetz . . . . 22

2.4.2 Widerstand und Leitwert (Definitionsgleichungen) . . 23

2.4.3 Bemessungsgleichungen . . . . 23

2.4.4 Temperaturabh¨ angigkeit . . . . 24

2.4.5 Experiment: Temperaturabh¨ angigkeit d. Widerstandes 26 2.5 Schaltungen mit Zweipolen . . . . 27

2.5.1 Grundschaltungen . . . . 27

2.5.2 Scherung von Kennlinien . . . . 28

2.5.3 Schaltungen mit Strom– und Spannungsquellen . . . . 29

2.5.4 Unzul¨ assige Zusammenschaltungen . . . . 30

2.6 Schaltungen mit Widerst¨ anden . . . . 31

2.6.1 Reihen–Parallelschaltungen . . . . 31

2.6.2 Strom– und Spannungsteiler . . . . 32

3 Uberlagerungssatz ¨ 34 3.1 Lineare ¨ Uberlagerung von Ursachen und Wirkungen . . . . . 34

3.1.1 Einf¨ uhrungsbeispiel . . . . 34

3.2 Netzwerkanalyse mit ¨ Uberlagerungsverfahren . . . . 35

4 Zweipoltheorie 37 4.1 Aktive lineare Zweipole . . . . 37

4.1.1 Kennfunktion . . . . 37

4.1.2 Spannungsquellenersatzschaltung . . . . 37

4.1.3 Stromquellenersatzschaltung . . . . 38

4.1.4 Beispiele und Anwendungen . . . . 38

4.2 Netzwerkanalyse mit Zweipoltheorie . . . . 39

4.2.1 Aquivalente aktive Zweipole . . . . ¨ 39

4.2.2 Verfahren . . . . 40

5 Grundstromkreis 42 5.1 Strom und Spannung . . . . 42

5.2 Leistungsumsatz . . . . 43

5.2.1 Leistungen . . . . 43

5.2.2 Informationstechnische Aufgabe . . . . 44

5.2.3 Energietechnische Aufgabe . . . . 45

5.2.4 Nichtlinearer aktiver Zweipol: Solarzelle . . . . 45

6 Gesteuerte Quellen 46 6.1 Einf¨ uhrungsbeispiel: Optokoppler . . . . 46

6.2 Arten gesteuerter Quellen . . . . 47

6.2.1 Spannungsgesteuerte Spannungsquelle . . . . 47

6.2.2 Stromgesteuerte Spannungsquelle . . . . 47

6.2.3 Stromgesteuerte Stromquelle . . . . 47

6.2.4 Spannungsgesteuerte Stromquelle . . . . 47

6.3 Anwendungen und Beispiele . . . . 48

6.3.1 Gegengekoppelter Verst¨ arker . . . . 48

6.3.2 Bipolartransistor . . . . 49

6.3.3 Fremderregte Gleichstrommaschine . . . . 51

7 Methoden der Netzwerkanalyse 52 7.1 Netzwerkbeschreibung . . . . 52

7.1.1 Grundaufgabe der Netzwerkanalyse . . . . 53

7.2 Analyse mit dem vollst. Kirchhoffschen Gleichungssystem . . 53

7.2.1 Methode des vollst¨ andigen Baumes . . . . 53

7.2.2 Kennzeichnungs– oder Auftrennmethode . . . . 54

7.2.3 Fenstermaschenmethode . . . . 54

7.2.4 Allgemeiner Zweig in einem lin. resistiven Netzwerk . 54 7.2.5 Beispielnetzwerk . . . . 55

7.3 Knotenspannungsanalyse (Node analysis) . . . . 56

7.3.1 Knotenspannungen (Knotenpotentiale) . . . . 56

7.3.2 Verfahren . . . . 56

7.3.3 Knotenspannungsanalyse mit gesteuerten Quellen . . . 58

7.3.4 Knotenspannungsanalyse mit Spannungsquellen . . . . 58

7.4 Maschenstromanalyse (mesh/loop analysis) . . . . 59

7.4.1 Maschenstr¨ ome . . . . 59

7.4.2 Verfahren . . . . 59

7.4.3 Anwendungen und Beispiele . . . . 61

8 Elektrothermische Analogien 64 8.1 Thermischer Leistungsfluß und Temperaturdifferenz . . . . . 64

8.1.1 Thermischer Leistungsfluß (W¨ armestrom) . . . . 64

8.1.2 Temperaturdifferenz . . . . 65

8.2 Thermischer Widerstand . . . . 65

8.2.1 Definitionsgleichung . . . . 65

8.2.2 W¨ armetransportmechanismen, Bemessungsgleichnun- gen . . . . 66

8.2.3 Beispiele . . . . 68

8.3 Thermische Ersatzschaltung . . . . 70

Kapitel 0

Physikalische Gr¨ oßen und Einheiten

ˆ

kennzeichnen physikalische Erscheinungen

ˆ

dienen zur quantitativen Beschreibung physikalischer Zusammenh¨ ange

ˆ

Grund-Basisgr¨ oßen

– Mechanik: Weg s, Zeit t, Masse m – Elektrotechnik: Ladung Q

ˆ

Definitionsgleichungen: definieren abgeleitete Gr¨ oßen aus Basis- gr¨ oßen (subjektiv, aber zweckm¨ aßig),

– Geschwindigkeit: v =

– Energie: W = F s – Widerstand: R =

– Leitwert: G =

ˆ

Naturgesetze: geben objektive funktionelle Zusammenh¨ ange physi- kalischer Gr¨ oßen an; werden durch Erkenntnis (Messen etc.) diktiert,

Beispiele:

m

m

-

r

-

F

F

F = k

r²

Gravitationsgesetz Naturgesetz

Q

Q

-

r

-

F

F

F = k

Coloumbsches Gesetz

Naturgesetz

Struktur einer physikalischen Gr¨ oße

Gr¨ oße = Zahlenwert

| {z } Quantit¨ at

∗ Maßeinheit

| {z } Qualit¨ at Beispiel

s = 5 ∗ 1 m = 5 m

Zahlenwert und Maßeinheit sind mathematische

Umformungen einer physikalischen Gr¨ oße m¨ oglich:

s = 5 ∗ 1 m ⇒ s 1 m = 5

| {z } s gemessen in m ist 5

⇒ s

5 = 1 m

| {z } s durch 5 ergibt 1 m

Darstellungsformen physikalischer Gleichungen

Gr¨ oßengleichungen verbinden physikalische Gr¨ oßen

Beispiel: Wieviele Meter legt ein Kraftfahrzeug bei einer Geschwindigkeit von 120

in 3 Sekunden zur¨ uck?

s = vt = 120

3 s = 120

3 s = 100 m

Kennzeichen: Es wird ein konkreter Wert einer physikalischen Gr¨ oße bestimmt.

Zugeschnittene Gr¨ oßengleichungen

Beispiel: Gesucht ist der Weg s (in Metern), den ein Fahrzeug mit der Geschwindigkeit v (in

) in einer Zeit t (in Sekunden) zur¨ ucklegt.

s = vt =

h

km h

t s

s =

h

t s

10³m

3600 s

s =

h

t s

Dimension und Maßeinheiten

Die eckige Klammer [X] gibt die Dimension der physikalischen Gr¨ oße X an.

Sie kann auch zur Angabe der Maßeinheit verwendet werden.

Beispiel: Beschleunigung a

[a] =

Dimensionsangabe

[a] =

Angabe einer Maßeinheit

Es gilt [U ] = V, aber [V] hat keinen Sinn.

Kapitel 1

Grundbegriffe

1.1 Ladung

Die Ladung ist die Grundgr¨ oße der Elektrotechnik. Sie dient zur Beschrei- bung von Kraftwirkungen, die mechanisch nicht erkl¨ art werden k¨ onnen.

Eigenschaften:

ˆ

Es gibt positive und negative Ladungen

ˆ

Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab, ungleiche Ladungen zie- hen sich an

ˆ

Die Ladung ist

mentarladung e = 1,66∗10

C. Eine beliebige Ladung kann nur ganz- zahliges Vielfaches dieser Elementarladung sein. Q = ne n ∈

ˆ

Ladung ist stets an Ladungstr¨ ager gebunden (Ionen, Elektronen).

ˆ

Die Ladung ist eine

lumen V (ohne Wechselwirkung mit der Außenwelt) ist die Ladungs- menge konstant. Ladungen k¨ onnen innerhalb von V nur paarweise entstehen (Ladungstrennung, Generation) oder verschwinden (Rekom- bination).

1.2 Elektrischer Strom

1.2.1 Definition

Strom (Fluß) ist gerichtete Bewegung einer Quantit¨ at. Elektrischer Strom ist die gerichtete Bewegung von Ladungen (Konvektionsstrom).

I =

=

[I] =

=

= 1 A (Ampere) = Grundeinheit der Elektrotechnik Beispiel:

Q(t) Q

6

-

Z Z

Z Z

ZZ

T 3T

Q(t) : die bis t durch den Leiter- querschnitt gestr¨ omte Ladung

Gesucht: I (t)

1. Aufstellung der Beziehung f¨ ur Q(t):

Q(t) =



 

 



 

 



Q

0 ≤ t ≤ T Q

T ≤ t ≤ 3T

0 sonst

2. Bestimmung von I(t):

I(t)

Q0

T

6

T

3T

−Q₀ 2T

Q

−Q

B N

I(t) =

=



 

 



 

 



Q0

T

0 ≤ t ≤ T

−

T ≤ t ≤ 3T

0 sonst

Umkehrung

I(t) gegeben, Q(t) gesucht I(t)

t

t

dQ

dt

= I(t) Differenzialgleichung

Q(t1)

R

Q(t0)

=

t1

R

t0

I(t)dt

Q(t

) − Q(t

) =

Q

Q(t0)

=

t1

Z

t0

I(t)dt

Q(t

) = Q(t

) +

t1

Z

t0

I (t)dt

Verallgemeinerung: Die Integrationsgrenze t

wird in t umbenannt, daher muß die Integrationsvariable in t

umbenannt werden.

Q(t) = Q(t

) +

t

Z

t0

I (t

)dt

NB:

Z

I (t)dt ist zur Beschreibung von Naturvorg¨ angen nicht geeignet!

Beispiel: Parabelf¨ ormiger Stromimpuls I(t)

I

-

T

2

T t

gesucht: Q(t) I (t) =

a + bt + ct

0 ≤ t ≤ T

0 sonst

Zur Bestimmung der Gleichung f¨ ur die Parabel werden 3 Punkte ben¨ otigt (3 Gleichungen, 3 Unbekannte).

I(0) = 0 ⇒ a = 0

I(T) = 0 ⇒ 0 = bT + cT

I(

) = I

⇒ I

= b

+ c

⇒ b = −cT

⇒ I

= −c

+ c

= −c

⇒ c = −

⇒ b =

⇒ I(t) = 4I

t

T

− (

)

Einsetzen in die Differentialgleichung:

Q(t) = Q(t

) +

t

Z

t0

I (t

)dt

| {z }

t0=0;Q(t0)=Q(0)=0

=

t

Z

0

I(t

)dt

= 4I

Z

0

t

T − ( t

T

)

dt

= 4I

t

2T − t

3T

= 4I

t

2T − t

3T

= 4I

T t

2T

− t

3T

(f¨ ur 0 ≤ t ≤ T) Berechnung von Q(0), Q(

) und Q(T ):

Q(0) = 0 Q T

2

= I

T

3 Q(T ) = 2I

T 3 Q(t)

2I0T 3 I0T 3

6

-

T

2

T t

Q(t) =

f¨ ur T ≤ t

1.2.2 Kennzeichen des Stroms

1. Magnetische Wirkung: Ein elektrischer Strom ist immer von einem Magnetfeld begleitet (

’sches Gesetz)

n¨utzlich st¨orend

Elektromagnet St¨ orfelder Wellenausbreitung Elektrosmog

2. Thermische Wirkung: Ein Strom kann eine Erw¨ armung des Leiters bewirken.

n¨utzlich st¨orend

elektrische Heizung Leitungsverluste elektrisches Schmelzen

3. Chemische Wirkung: Ein Strom kann Stoffumwandlungen und Stoff- transport bewirken.

n¨utzlich st¨orend

Galvanotechnik elektrokorrision elektrolytische Verfahren

Akkumulatoren

1.2.3 Grundeigenschaft des Stromes: Kontinuit¨ at

V Q

I^ab

Hülle

I^zu

Die Ladung Q in einem abgeschlossenem Volumen ist konstant.

dQ dt = 0

Der Gesamtstrom durch eine geschlossene H¨ ulle H ist Null.

I = I

− I

= 0

Der elektrische Strom verh¨ alt sich wie eine inkompressible Fl¨ ussigkeit.

Spezialfall: Strom in konzentrischen Leitern

I¹

I² I³

Schnitt- menge

I

− I

− I

= 0

Summe der zufließenden Str¨ ome

−I

+ I

+ I

= 0

Summe der abfließenden Str¨ ome

Die Gesamtsumme der in ein/aus einem geschlossenes Volumen hin- ein/herausfliessenden Str¨ ome ist Null (Schnittmengengesetz der Netz- werktheorie).

Beispiele:

1. Elektrisches Netzwerk

-

I

I

r!!!LL

!!3

I

!!

!! L

L!!LLLL!!!!!r

I

+ I

+ I

= 0

−→ Ein Strom ergibt sich jeweils aus den beiden anderen

2. Bipolartransistor:

R@

?

I

?

I

-

I

−I

− I

+ I

= 0

I

= I

+ I

Kirchhoff ’sches Stromgesetz (Knoten(punkt)-Satz) (Kirchhoffs Current Law — KCL)

I²

I⁴ I³

I¹

Hinfließender Strom:

P

m

I

= I

− I

+ I

− I

Abfließender Strom:

P

n

I

= −I

+ I

− I

+ I

Die Gesamtsumme aller dem/vom Knoten zu-/weg-fließenden Str¨ ome ist Null.

1.2.4 Messung des Stromes

Grundregel: Strom wird immer durch einen Querschnitt gemessen.

⇒ Punkt im elektrischen Netzwerk 1. Durch Magnetfeledmessung

(a) Kraftwirkungen (z.B. Drehspul-/Dreheiseninstrument) (b) Messung der magnetischen Flußdichte

2. Strommessung durch Messung des Spannungsabfalls an einem Messwiderstand

3. Auswertung der W¨ armeentwicklung (a) Hitzdraht-Messwerk

(b) Bimetall-Messwerk

4. Auswertung der chemischen Wirkung historisch → die

- Definition

1.3 Elektrische Spannung

1.3.1 Definition

A B

W

W

W

r

V

Q

Ladungstransport ist mit Energietransport verbunden. Ladungstr¨ ager sind Energie- tr¨ ager.

U

=

⇒ Definition der elektrischen Spannung

Spannungsrichtung: vom h¨ oheren (+) zum niedrigeren (–) Energieniveau

[U ] =

=

=

=

= 1 V (Volt)

Prof. Dr.–Ing. W. Schwarz:

(malt ein rotes Plus)

1.3.2 Kennzeichen der Spannung

allgemein:

Spannung kennzeichnet die Tendenz zum Ladungsausgleich.

Stromantrieb: Eine an einen Lei- ter angelegte Spannung treibt einen Strom durch den Leiter.

Mechanische Kr¨ afte: Isolierte Leiter, zwischen denen ei- ne Spannung liegt ziehen einander an.

c

I

− −

− F

F + + +

Erzeugung:

1. Grenzschichteffekte

(a) Metall – Elektrolyt (z.B. Batterien) (b) Metall – Metall (z.B. Thermoelemente)

(c) Halbleiter – Halbleiter (Photodiode) 2. Induktionswirkung ⇒ Generatoren 1.3.3 Grundeigenschaften der Spannung

r r r r

0 1

2

3 4

r

5 +

−

+

−

+ −

@

@

Q

Masche: geschlossener Umlauf in einem elektrischen Netz- werk. Eine Ladung Q l¨ auft auf dem Weg 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 0. Sie hat im Zielpunkt 0 die gleiche Energie wie beim Start.

W = W

+ W

+ W

+ W

+ W

+ W

= 0 W

Q = W

Q + W

Q + W

Q + W

Q + W

Q + W

Q = 0

U = U

+ U

+ U

+ U

+ U

+ U

= 0

Kirchhoff ’sches Spannungsgesetz (Maschensatz) (Kirchhoff ’s

Bei Umlauf in einer Masche ist die Summe aller in Umlaufrichtung gez¨ ahlter Spannungen Null.

X U

= 0

Beispiele und Anwendungen

H

q

q A

-

U

-

U

-

U

?

U

6

U

?

U

1

-

2

-

-

3

1 : −U

− U

+ U

− U

= 0 2 : U

+ U

− U

= 0

3 : −U

− U

+ U

+ U

− U

= 0 3 = 1+ 2

⇒ Nur zwei Maschengleichungen sind voneinander abh¨ angig!

Problem: M¨ oglichst genaue Messung von Spannungen in einem engen Be- reich U

< U < U

.

Bt BB

UuM Uo

−U + U

+ U

= 0 U

= U

− U

0 = U

− U

⇒ U

= U

?

U

?

?

V U

U

1.3.4 Messung der Spannung

Spannung wird zwischen zwei Punkten gemessen.

1. Durch Auswertung des Stromantriebs (Kraftwirkung im magnetischen Feld). (Stromf¨ uhrender Spannungsmesser)

A

U

Anzeige I

c

B

2. Durch Auswertung der Kraftwirkung im elektrischen Feld

B BB

B BB

B BB

k

U

α

F = kα = f (α) α = f(U )/k

1.4 Energie und Leistung

Mechanik:

W = F s =

s2

Z

s1

F (s)ds [W ] = Nm = J (Joule)

P = dW

dt [P ] = J

s = W (Watt) 1.4.1 Grundbeziehungen

A

U

c

B

I =

U = W

Q → W = Q U

W = Q U gilt, wenn sich die Spannung

nicht ¨ andert

Beispiel: KFZ-Akku (12V, 56 Ah). Gespeicherte Energie:

W = QU = 56 Ah ∗ 12 V = 56 ∗ 3600 As ∗ 12 V = 2419200 Ws W = 2,42 MWs

Wieviele l Wasser k¨ onnen damit von 20

C auf 100

C erhitzt werden?

Spezifisches W¨ arme¨ aquivalent f¨ ur Wasser:

w

= W

mϑ = 4,19 kWs

kg K (1 kcal)

m = W

w

ϑ = W

w

ϑ = 2,42 MWs kg K

4,19 kWs 80 K = 7,2 kg

Allgemeiner Fall: Spannung ¨ andert sich dW = U dQ = ⇒ dW

dt = P = U dQ

dt = U I = P dt

W(t)

Z

W(t0)

dW =

t

Z

t0

P(t

) dt

−→ W (t) − W (t

) =

t

Z

t0

P(t

) dt

W (t) = W (t

) +

t

Z

t0

P (t

) dt

P (t

) = U (t

) I(t

)

Beispiel: Entladekurve des Lithium-Ionen-Akkus (I

= 100 mA)

-

U(t) V

t h

``````````

5 4

````````

Gesucht: W (t) : 0 ≤ t ≤ 4h P(t) = U (t) I (t) = I

(U

−at) U (t) = U

− at und I (t) = I

U

= 4 V, a =

= 0,2

t

= 0; W (t

) = 0

W (t) =

t

Z

P(t

) dt

= I

t

Z

(U

− at

) dt

= I

U

t

− a 2 t

= I

U t − a 2 t

= 0,4 Wh t

h

− 0,01 Wh h

t

h

W (t) Wh = 0,4

t h

− 0,01 t

h

6

-

P(t) W

t

4

1,44

#

#

#

#

W (4h) = 1,6 Wh − 0,16 Wh = 1,44 Wh

Gestrichelte Linie: Energieverlauf bei konstanter Spannung

1.4.2 Leistungsumsatz

c c

?

I

U

− +

P

ˆ

U und I sind gleichsinnig

ˆ

I von + nach -

ˆ

Elektrische Leistung P = U I wird in nichtelektrische Leistung umgewandelt

c c

?

I

U

− +

P

ˆ

U und I sind gegensinnig

ˆ

I von - nach +

ˆ

Nichtelektrische Leistung

wird in elektrische Leistung

umgewandelt

1.4.3 Messung der elektrischen Leistung

Ein Leistungsmesser muß gleichzeitig in den Stromkreis geschaltet und an der Spannungsquelle angeschlossen werden.

b b

b

I

U

6

?

10,23 W

?

U

I

Experiment zum Leistungsumsatz

q

q

q

q

q

@

A

V

W

@@

+

− Netzteil I

?

U

Netzger¨ at ausgeschaltet: Batterie liefert eine Leistung von 10 W, die Gl¨ uhbirne leuchtet

Netzteil angeschaltet: Mit steigendem Strom sinkt die von der Batte- rie abgegebene Leistung, ab einer bestimmten Stromst¨ arke nimmt die Leistung einen negativen Wert an, d.h. die Batterie wird geladen. Die Helligkeit der Gl¨ uhbirne bleibt unver¨ andert.

1.5 Die Elektrischen Grundgr¨ oßen

Ladung Q

Spannung U =

Energie W

oo

el. Strom I =

**T

TT TT TT TT TT TT

TT

Leistung P =

ttjjjjjjjjjjjjjjjj

el. Leistung P = U I

Kapitel 2

Resistive Zweipole

2.1 Grundbegriffe

aa

?

U

I

Zweipol (Eintor, Oneport):

Abgeschlossenes elektrisches Objekt mit zwei An- schlußstellen (Klemmen).

Bei einem

Zweipol besteht zu jedem Zeitpunkt der gleiche U -I –Zusammenhang.

Das

eines resistiven Zweipols: Zusammenhang von Strom und Spannung wird durch die U

beschrieben.

f (U, I) = 0 graphische Darstellung: Kennlinie I = Y (U )

6

-

I

U

U -I–Kennlinie

n -I

Y

U

Spannung U treibt einen Strom durch den Zweipol

U = Z(I)

6

-

U

I

I-U –Kennlinie

Z

I

Strom I erzeugt Spannung U

Die beiden Funktionen Y und Z m¨ ussen nicht existieren!

6

-

I

U

z.B.: Tunneldiode: U ist keine Funktion von I

6

-

U

I

z.B.: Lichtbogen: I ist keine Funktion von U 2.1.1 Messung (Aufnahme) der Kennlinie

q

q

V

A I

∆U-

?

U+∆U

?

U

Stromrichtig

q

q

V A

-

I+∆I

I

?

∆I

?

U

Spannungsrichtig 2.1.2 Beispiele

6

-

I

U

Gl¨ uhbirne Metallfadenlampe

6

-

U

I

Hg-Lampe

6

-

I

U

Kohlefadenlampe (Halbleiter)

-

U

I

Glimm-Stabilisator

2.1.3 Kennlinienaufnahme mit dem Oszilloskop Stromrichtig (Bedingung: U

U )

c

q c

k k c q

q

˜

<sup>U</sup>

?

U+UI

?

U

?

U

= IR

X Y I

Spannungsrichtig (Bedingung: U

U )

c

c

k k c q

q

˜

Us

?

U

X

Y I

q

I = U

− U R

= U

R

(f¨ ur U

U ) Beispielaufnahmen

U I

Widerstand

U I

Diode

U I

Kondensator

⇒ keine Kennlinie!

2.2 Leistung am Zweipol

2.2.1 Leistungsumsatz

c c

?

I

U

− +

P P = U I: in den Zweipol hineinstr¨ omende Leistung

Linien gleicher Leistung

P = U I = konstant I = P U

-U I

@

@

@ R

@

@

@ I

PIII PIV

PII PI

Leistungshyperbeln

P

: Zweipol nimmt Leistung auf (Verbraucher)

P

: Zweipol gibt Leistung ab (Er- zeuger)

Beispiele:

Ein Zweipol nimmt st¨ andig eine Leistung von 10 W auf. Wie sieht seine Kennlinie aus?

Alle Punkte U/I der Leistungshy- perbel haben das Produkt P = 10W

6

-

U/V I/A

1 5 10 1

2 10

6

-

U/V I/A

P

P

U1 U2

I1

I2

Im U –I–Diagramm stellen wir

Str¨ ome und Spannungen als Stre-

cken, Leistungen als Fl¨ achen dar.

Verlauf der Leistung in Abh¨ angig- keit der Spannung U . Oberhalb der U –Achse: Verbraucher, unter- halb der U –Achse: Erzeuger

6

-

U P

2.2.2 Aktive und passive Zweipole

6

-

U I

passiver Zweipol: nimmt immer Leis- tung auf. Kennlinie liegt ausschliess- lich im ersten und dritten Quadran- ten (und muß durch den Ursprung gehen).

aktiver Zweipol: kann Leistung liefern.

Kennlinie verl¨ auft ganz oder teilwei- se im zweiten und/oder vierten Qua- dranten

6

-

U I

Beispiel: Wie sieht die Kennlinie eines Zweipols aus, der immer Leistung liefert? (

” negativer Widerstand“)

-

U I

@

@

@

@

@

@

2.2.3 Z¨ ahlpfeilsystem nach

Verbraucher-Z¨ ahlpfeilsystem

c c

?

I U

Aufgenommene Leistung P

= U I

P > 0 ⇒ Verbraucher P < 0 ⇒ Erzeuger Abgegebene Leistung

P

= −U I

Verbraucht Leistung im ersten und dritten Quadranten, erzeugt Leis- tung im zweiten und vierten Qua- dranten.

Erzeuger-Z¨ ahlpfeilsystem

c c -

?

I U

Aufgenommene Leistung P

= −U I

P > 0 ⇒ Verbraucher P < 0 ⇒ Erzeuger Abgegebene Leistung

P

= U I

Erzeugt Leistung im ersten und dritten Quadranten, verbraucht Leistung im zweiten und vierten Quadranten.

Beispiel f¨ ur das Z¨ ahlpfeilsystem: KFZ-Bordnetz

q

q

q

q

@@

G M

?

U

?

U

?

U

6

I

-

I

R

Erzeugerpfeilsystem Verbraucherpfeilsystem

2.3 Strom– und Spannungsquellen

2.3.1 Kurzschluss

c c 6

?

U

I

U = Z(I) ≡ 0

I = Y (U ) existiert nicht!

6

-

I U

2.3.2 Spannungsquelle

c c

?

U

?

I

U

U = Z(I) = U

I = Y (U ) existiert nicht!

6

-

I U

U

⇒ Kurzschluss: Spezialfall der Spannungsquelle

Beispiel einer Spannungsquelle: Autobatterie (nicht ideal, da R

> 0)

- 6

U V

I/A 13

12

20

U

= 13 V

R

= 1 V

20 A = 50 mΩ

I

= U

R

= 260 A 2.3.3 Leerlauf

c c

?

U

I

I = Y (U ) = 0

U = Z(I) existiert nicht!

6

-

U I

2.3.4 Stromquelle

c c

?

I

?

I

U

I = Y (U ) = I

U = Z(I) existiert nicht!

6

-

I U

I

2.3.5 Anwendungen Labornetzger¨ at:

- 6

U V

I/A U0

I0

Bis I < I

verh¨ alt sich das La- bornetzteil wie eine ideale Span- nungsquelle, bei I

tritt die Strom- begrenzung in Kraft und das Netzteil verh¨ alt sich wie eine Stromquelle.

Direktanzeigender Widerstandsmesser:

q q

I

?

U V

Durch den konstanten Strom ent- steht eine proportionale Abh¨ angig- keit von U und R.

U = RI I

⇒ U ∼ R Daher kann der Widerstand am (auf Ohm geeichten) Voltmeter direkt abgelesen werden.

2.4 Der linear resistive Zweipol (Widerstand, Resistor)

2.4.1 Ohmsches Gesetz

c c

?

I

U

Bei einem Widerstand sind Strom und Spannung pro- portional.

U ∼ I

sches Gesetz

2.4.2 Widerstand und Leitwert (Definitionsgleichungen)

-

U 6

I βα

Widerstand (Resistance)

R = U

I ∼ tan α

Leitwert (Conductance)

G = I

U ∼ tan β Bei nichtlinearen Zweipolen

-

U 6

I β α

differenzieller Widerstand

r = dU

dI ∼ tan α

differenzieller Leitwert

g = dI

dU ∼ tan β Maßeinheiten

[R] = [r] = [U ] [I ] = V

A = 1Ω (Ohm) [G] = [g] = [I]

[U ] = A

V = 1S (Siemens)

= 1

(Mho) 2.4.3 Bemessungsgleichungen

e

l A

experimentell: R ∼ l, R ∼

R = % l

A

% : spezifischer Widerstand

R = l κA κ =

: Leitwert [%] = [R][A]

[l] = [R][l][l]

[l] = [R][l] = Ωm analog: [κ] =

auch ¨ ublich:

[%] = Ωmm

m = 10

Ωm [κ] = S

cm = 100 S

m

2.4.4 Temperaturabh¨ angigkeit

Die Temperaturabh¨ angigkeit ist durch die ¨ Anderung von % begr¨ undet.

- 6

R0

Kaltleiter:α>0

Heißeiter:α<0

6?<sup>∆R</sup>

273 T0 T

T /K

R

-

0 ϑ0 ϑ

ϑ/C

Bezugstemperatur: T

= 293 K ⇒ ϑ

= 20

C Celsius–Skala: ϑ/

C = T /K − 273

Tangente im Punkt T

, R

R(T ) = R(T

)

| {z }

R0

+ dR dT

(T − T

)

| {z }

∆R

T

: Bezugstemperatur R

: Widerstand bei T

R(T ) = R

+ ∆R R

= R(T

) ∆R = dR dT

∆T

R(T ) = R

1 + ∆R R

= R

1 + 1

R

dR dT

| {z }

∆T

Temperaturkoeffizient

α =

dR R0

dT

=

dT dT

⇒ R = R (1 + α∆T ) [α] =

Temperaturkoeffizient des Leitwertes

G = G

(1 + α

∆T ) = 1

R

(1 + α∆T ) ≈ 1 R

|{z}

G0

(1 + α∆T )

Approximation von x

x

≈ 1 + n(x − 1) f¨ ur |x − 1| 1 x = 1 + ε

(1 + ε)

≈ 1 + nε f¨ ur |ε| 1 G ≈ G

(1 − α∆T ) 1

1 + ε = (1 + ε)

≈ 1 − ε α ≈ −α

α = 1 R

dR dT

= 1

%

d

%

dT

= 1

%

d%

dT

| {z }

Temp.koeff. d. spez. Widerstandes

Beispiel

Metalle %(T ) = %

− a

a ≈ 0,15 (linear ¨ uber sehr weite Temperaturbereiche) θ Debye-Temperatur

z.B. Cu = 333 K, Al = 393 K, Ag=215 K

α = 1

%(T

) d%(t)

dt

= 1

%

θ

− a

%

θ = 1 T

− aθ

Cu bei 293 K: θ = 333 K → α

=

= 4 ∗ 10

K

2.4.5 Experiment: Temperaturabh¨ angigkeit des Widerstandes

Beispiel 1

Der Widerstand einer Kupferspule, einer Konstantanspule, eines Heißleiters sowie eines Kaltleiters wird jeweils bei Umgebungstemperatur ϑ

= 20

C und bei ϑ

= 97

C gemessen.

Die Meßergebnisse sind tabellarisch dargestellt. Da beim Heiß–/Kaltleiter kein linearer Zusammenhang zwischen der Temperatur und dem Widerstand besteht kann hier kein α angegeben werden.

Material/Werte R(ϑ

) R(ϑ

) ∆R α (=

0∆T

) Kupfer 9,73 Ω 12,52 Ω 2,79 Ω 0,0037 K

Konstantan 16,56 Ω 16,36 Ω 0,20 Ω −0,00013 K

Heißleiter 25,00 Ω 4,10 Ω 20,90 Ω —

Kaltleiter 100,00 Ω 876,00 Ω 776,00 Ω — Beispiel 2: Halogenlampe (24 V, 100 W)

6

-

I

U U –I–Kennlinie

6

-

T

R Widerstand als Funktion der

Temperatur

-

T

P Leistung als Funktion der Temperatur (linearer Maßstab)

6

-

T

P Leistung als Funktion der

Temperatur

(Doppeltlogarithmischer

Maßstab) ⇒ W¨ armestrahlung

2.5 Schaltungen mit Zweipolen

2.5.1 Grundschaltungen Serienschaltung

a -<sup>I</sup> a

U1=Z1(I) U2=Z1(I)

1 1

U1 U2 *

U U = U

+ U

U = Z(I ) = Z

(I) + Z

(I)

6

-I U

Z1

Z2

U2

U1

U

I

Addition der Spannungswerte bei jeweils gleichen Stromwerten.

Parallelschaltung

a -<sup>I</sup> q q a

I-1

I-2 I2=Y2(U) I1=Y1(U)

*

U

I = I

+ I

I = Y (U ) = Y

(U ) + Y

(U )

6

-I U

Y1

Y2

U

I

Addition der Stromwerte bei jeweils gleichen Spannungswerten.

Widerstand / Leitwert

U = U

+ U

U I = U

I + U

I

R = R

+ R

1

G = 1 G

+ 1 G

I = I

+ I

I U = I

U + I

U 1

R = 1 R

+ 1

R

G = G

+ G

Das selbe gilt f¨ ur den differentiellen Widerstand und Leitwert.

Beispiele und Anwendungen 1. Antiparallele Dioden

a -<sup>I</sup> q q a

I-1

I-2

*

U

I

= I

e

− 1

I = I

+ I

= I

e

U UT

− 1

− I

e

−U UT

− 1

= I

e

U UT

− e

−U UT

= 2 ∗ I

∗ sinh U U

(da e

− x

2 = sinh x)

- 6

U I

U –I –Kennlinie zweier antiparalleler Dioden.

Praktische Anwendung: Spannungsbegrenzung.

2.5.2 Scherung von Kennlinien Z–Diode und Widerstand

in Serienschaltung

@

a

?

I

U

U

Gemeinsame Kennlinie:

Addition der Spannungen

-

U

I

R

D

Z–Diode und Widerstand in Parallelschaltung

q q a

@ a

?

I

U

U

Gemeinsame Kennlinie:

Addition der Str¨ ome

-

U

I

R D

2.5.3 Schaltungen mit Strom– und Spannungsquellen

a a

?

U

?

U

= b

a a

?

U

?

U

q

q

Spannungsquelle: Bei jedem Span- nungswert die Str¨ ome addieren ⇒ Die Parallelschaltung hat keinen Einfluß auf das Klemmenverhalten.

-

U

I

U

Spannungs–

quelle Zweipol

Stromquelle: Bei jedem Stromwert die Spannungen addieren ⇒ Zwei- pol hat keinen Einfluß auf das Klem- menverhalten

-

U

I

I

Stromquelle

Zweipol

a

?

I

a

?

I

U

U

= b

?

I

a

?

I

a

@

a

?

I

U

U

?

U

-

U

I

U

- -

Verschiebung der Kennlinie in U –Richtung

a

?

I

U

U

@

?

I

q q

-

U

I

I

Verschiebung der Kennlinie in I –Richtung 2.5.4 Unzul¨ assige Zusammenschaltungen

?

U

?

U

Widerspricht dem Maschensatz!

a

a - -

I

I

Widerspricht dem Knotensatz!

2.6 Schaltungen mit Widerst¨ anden

2.6.1 Reihen–Parallelschaltungen

Reihen–Parallelschaltungen lassen sich auf Reihen– und Parallelschaltungen zur¨ uckf¨ uhren.

Beispiel: Abzweigschaltung

q q

q q

R

R

R

R

R

R

a a

B A

R

= R

+ 1

1

R2

+

R3+ <sub>1</sub> <sup>1</sup>

R4+ 1 R5+R6

Gegenbeispiel: Br¨ uckenschaltung

a a

q q

In der Br¨ uckenschaltung gibt es kei-

ne zwei Widerst¨ ande, die in Reihe

oder parallel geschaltet sind.

2.6.2 Strom– und Spannungsteiler Spannungsteiler

q q q

a a a a

a

?

U

?

I R

R

?

U

?

U

I = U

R

+ R

U

= I · R

U

U

= R

R

+ R

= G

G

+ G

Teilspannung Gesamtspannung

=

Stromteiler

a a

q q

? ?

I

I

G

G

I

?

U

U = I

G

+ G

I

= U · G

I

I

= G

G

+ G

= R

R

+ R

Teilstrom Gesamtstrom

=

=

Beispiele

1.

sche Br¨ ucke

q q q

q q q

?

U

W

U2

W

U4

R

R

R

R

gesucht: U

U + U

− U

= 0 U = U

− U

U

= R

R

+ R

U

U

= R

R

+ R

U

U = R

U − R

U =

R

− R

U

Abgleichbedingung: U = 0 R

R

+ R

= R

R

+ R

⇔ R

R

+ R

R

= R

R

+ R

R

R

R

= R

R

2. Mehrfacher Stromteiler

q q

q q

I

G

G

G

G

-

I2

?

I4

Gesucht: I

I

= G

G

+ G

· I

I

= G

G

+ G

+ G

I

G

= 1

1

G2

+

3+G4

I

= G

G

+ G

·

1

1 G2+<sub>G</sub> <sup>1</sup>

3+G4

G

+

3+G4

· I

= G

· G

G

· G

+ G

· G

+ G

· G

+ G

· G

+ G

· G

· I

Kapitel 3

Uberlagerungssatz ¨

3.1 Lineare ¨ Uberlagerung von Ursachen und Wirkungen

3.1.1 Einf¨ uhrungsbeispiel

?

U

I

R

R

-

I1

?

I2

M

s

q

K

M: −U

+I

·R

+I

·R

= 0 K: I

− I

+ I

= 0

aus K: I

= I

− I

I

(R

+ R

) = U

+ I

· R

in M: −U

+(I

−I

) ·R

+I

·R

= 0

I

= 1

R

+ R

· U

+ R

R

+ R

· I

= g · U

| {z }

I2U0

+ α · I

| {z }

I2I0

I

: Wirkung von U

(bei I

= 0)

q q

?

U

R

R

-<sup>I1</sup>

?

I2U0

I

: Wirkung von I

(bei U

= 0)

q q

6

I

R

R

?

I2I0

allgemein:

?

?

6 6

I

I

U

U

R-Netzwerk

I

I

=

N

X

n=1

g

·U

+

M

X

m=1

α

·I

g

= I

U

α

= I

I

In einem linearen Netzwerk ¨ uberlagern sich die Wirkungen aller erregen- den Quellen.

3.2 Netzwerkanalyse mit ¨ Uberlagerungsverfahren

Problem:

gegeben:

Netzwerk nit mehreren unabh¨ angigen Quellen gesucht: Zweigstrom oder Spannung in/¨ uber einem Zweig.

L¨ osungsalgorithmus:

1. Quelle ausw¨ ahlen

2. andere Quellen deaktivieren

ˆ

Spannungsquellen durch Kurzschluss,

ˆ

Stromquellen durch Leerlauf ersetzen

3. Teilwirkung verursacht durch Quelle Q berechnen 4. von Punkt 1 wiederholen bis alle Quellen erfasst sind

5. Teilwirkungen der Quellen ¨ uberlagern (vorzeichenrichtig addie- ren)

Experiment:

Q

Q

q q

+ +

− −

A I = 25 mA

Q

kurzgeschlossen: I = 15 mA

Q

kurzgeschlossen: I = 10 mA