Elektrotechnik III – WS 04/05 Prof. Dr.-Ing. Schwarz, TU Dresden Mitschrift

Elektrotechnik III – WS 04/05 Prof. Dr.-Ing. Schwarz, TU Dresden

Mitschrift

Fabian Kurz http://fkurz.net/

Zuletzt aktualisiert:

3. M¨ arz 2005

Inhaltsverzeichnis

0 Dynamische Netzwerke 1

0.1 Problem . . . . 1

0.2 Klemmenverhalten der Grundschaltelemente . . . . 1

0.3 Netzwerk–Differentialgleichung . . . . 2

0.4 L¨ osung der Netzwerk-Differentialgleichung bei harmonischer Erregung . . . . 2

0.5 Bestimmung der station¨ aren L¨ osung . . . . 3

0.6 Deutung von Gleichung (1) aus dem Netzwerk . . . . 4

1 Netzwerke bei harmonischer Erregung 5 1.1 Harmonische Zeitfunktionen . . . . 5

1.2 Zeigerdarstellung von harmonischen Funktionen . . . . 5

1.2.a Komplexe Amplitude . . . . 6

1.2.b Komplexer Effektivwert . . . . 6

1.3 Lineare Operationen mit harmonischen Funktionen . . . . 7

1.4 Verhalten der linearen Grundschaltelemente . . . . 8

1.5 Netzwerkanalyse bei harmonischer Erregung . . . . 9

1.5.a L¨ osungsprogramm . . . . 9

2 Komplexe Zweipole 11 2.1 Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert . . . . 11

2.1.a Lineare Zweipole bei harmonischer Erregung . . . . 11

2.1.b Definitionen: . . . . 11

2.1.c Zusammenh¨ ange . . . . 12

Impedanz und Admittanz der Blindschaltelemente . . . . 13

2.1.d Bestimmung von Impedanz und Admittanz . . . . 13

2.1.e Beispiel . . . . 14

2.2 Ersatzschaltungen f¨ ur komplexe Zweipole . . . . 15

2.2.a Passiver Zweipol . . . . 15

2.2.b Aktive Zweipole . . . . 17

3 Leistung bei Wechselstrom 18 3.1 Leistungsbegriffe . . . . 18

3.1.a Momentanleistung . . . . 18

3.1.b Wirkleistung . . . . 19

3.1.c Blindleistung . . . . 19

3.1.d Scheinleistung . . . . 19

3.2 Komplexe Leistung . . . . 20

3.2.a Definition . . . . 20

3.2.b Zusammenhang mit U und I . . . . 20

3.3 Leistungs¨ ubertragung im Grundstromkreis . . . . 20

3.3.a (Wirk–)Leistungs¨ ubertragung . . . . 20

3.3.b Blindleistungskompensation . . . . 21

3.3.c Modelle technischer Bauelemente . . . . 23

3.3.d Kleinverbraucher am Netz . . . . 23

4 Ortskurven 25 4.1 Grundbegriffe . . . . 25

4.2 Einfache Ortskurven . . . . 26

4.3 Inversion . . . . 27

4.3.a Inversion eines Zeigers . . . . 27

4.3.b Inversion von Ortskurven . . . . 28

4.3.c Anwendungen . . . . 29

4.4 Frequenzg¨ ange . . . . 30

4.5 Bode Diagramm . . . . 30

5 Resonanzkreise 32 5.1 Impedanz und Admittanz . . . . 32

5.2 Normierte Gr¨ oßen . . . . 34

5.2.a Barkhausen-Verstimmung . . . . 34

5.2.b 45 ° –Frequenzen . . . . 35

5.2.c Bandbreite . . . . 35

5.3 Strom– und Spannungsverl¨ aufe (Reihenschaltung) . . . . 35

6 Lineare Zweitore 37 6.1 Strom-Spannungsbeziehungen (Zweitorgleichungen) . . . . 37

6.1.a Allgemeines . . . . 37

6.1.b Widerstandsform der Zweitorgleichungen . . . . 37

6.1.c Umrechnung von Zweitorparametern . . . . 38

6.2 Zusammenschaltung von Zweitoren . . . . 39

6.3 Klassifikation von Zweitoren . . . . 39

6.3.a Umkehrbare Zweitore . . . . 39

6.3.b Symmetrische Zweitore . . . . 40

6.4 Ersatzschaltungen . . . . 40

6.4.a Problem . . . . 40

6.4.b Allgemeine Zweipole . . . . 40

6.4.c Zweitore mit durchgehender Masse (Dreipole) . . . . 41

7 Transformator ( ¨ Ubertrager) 42 7.1 Transformatorgleichungen und Ersatzschaltung . . . . 42

7.2 Vereinfachte Ersatzschaltung . . . . 43

7.3 Leistungs¨ ubertrager . . . . 44

7.3.a Leerlaufversuch . . . . 44

7.3.b Kurzschlußversuch . . . . 44

7.4 Signal¨ ubertrager: Frequenzverhalten . . . . 45

7.4.a Grenzfrequenzen . . . . 46

8 Periodische Signale und Netzwerke bei periodischer Erregung 47 8.1 Periodische Signale . . . . 47

8.1.a Definition: periodisches Signal . . . . 47

8.1.b Signalkenngr¨ oßen . . . . 47

8.2 Spektraldarstellung periodischer Signale . . . . 48

8.2.a Fourierentwicklung . . . . 48

8.2.b Amplituden- und Phasenspektrum . . . . 49

8.2.c Kenngr¨ oßen periodischer Signale im Frequenzbereich . . . . 49 8.3 Reaktion von Netzwerken auf periodische Signale . . . . 50 8.3.a Grundprinzip . . . . 50

9 Schaltvorg¨ ange 51

9.1 Zustandgleichungen . . . . 51

9.1.a Algorithmus zur Ableitung der Zustandgleichungen aus einem Netzwerk . 51

9.1.b Anwendungsbeispiel: Transistorschalter mit induktiver Last . . . . 52

Kapitel 0

Dynamische Netzwerke

0.1 Problem

gegeben:

RCLM –Netzwerk

gesucht:

u(t)



 y

x



 i(t) a a

a a a a

a a a a

Str¨ ome und Spannungen im Netzwerk

Schreibweise: u = u(t), i = i(t). Kleine Buchstaben bezeichnen zeitver¨ anderliche Gr¨ oßen (Signale).

Netzwerkanalyse Kirchhoffsche Gleichungen

Knotenspannungsanalyse Maschenstromanalyse

u–i–Relationen der Zweige

& .

Netzwerkgleichungen

gew¨ ohnliche Differentialgleichungen

0.2 Klemmenverhalten der Grundschaltelemente

R - i _{a a}

u 3

C - i _{a a}

u 3

L - i _{a a}

u 3

M

i

2

i

₁

a a a a

k +

u

2

u

₁

u = R · i i = C · du

dt u = L · di dt

u

1

= L

1

· di

1

dt + M · di

2

dt u

₂

= M · di

₁

dt + L

₂

· di

₂

dt

0.3 Netzwerk–Differentialgleichung

u(t)





y

* R u

R

C u

_C

i

Kirchhoffsche Gleichungen MS: u

_R

+ u

_C

− u = 0 KS: i

_R

= i

_C

= i

gesucht: u

C

(t)

U –I –Relationen: u

_R

= i · R, i

_C

= C · du

_C

dt i · R + u

C

= u ⇒ C · R

| {z }

τ

· du

C

dt + u

C

= u

⇒ τ · du

_C

dt + u

_C

= u(t) (τ = R · C, u

_C

(0) = U

_C0

) Spezialf¨ alle f¨ ur u(t)

. ↓ &

harmonische Funktion periodische Funktion Sprungform u = ˆ U · cos(ωt + ϕ

_u

)

u(t + k · T) = u(t)

k = 0, ±1, ±2, . . . u(t) =

0 t < 0 U

₀

t ≥ 0 Netzwerke bei harmonischer

Erregung

Netzwerk bei periodischer

Erregung Schaltvorg¨ ange

0.4 L¨ osung der Netzwerk-Differentialgleichung bei harmonischer Erregung

τ · du

_C

dt + u

_C

=

0 t < 0

U ˆ · cos(ωt + ϕ

u

) t ≥ 0 u

_C

(0) = U

_C0

u

C

(t) =

v. Anfangsw. abh.

z }| { U

C0

· e

^−τt

+

von Erregung abh¨angig

z }| {

U ˆ

p 1 + (ωτ )

²

· cos(ϕ

u

+ ϕ) · e

^−τt

+

U ˆ

p 1 + (ωτ)

²

· cos(ωt + ϕ

u

+ ϕ)

| {z }

k·eτ^t→0f¨urt→∞

| {z }

A·cos(ωt+ϕ)

ϕ = arctan ωτ 6

- u

t

6

- u

t

Verhalten stabiler linearer Netzwerke (SLN)

ˆ Wird auf ein SLN eine harmonische Erregung geschaltet, so sind nach einem ¨ Ubergangs- vorgang alle Str¨ ome und Spannungen harmonische Zeitfunktionen

ˆ Ist in einem SLN ein Signal (Strom oder Spannung) harmonisch, so sind alle anderen Signale im station¨ aren Zustand auch harmonisch

ˆ Interessiert nur der statische Fall, so braucht die Netzwerk-DGL nicht gel¨ ost zu werden (symbolische Analyse)

0.5 Bestimmung der station¨ aren L¨ osung

a a

a a

? ?

u u

_C

R C

τ du

C

dt + u

C

= ˆ U · cos(ωt + ϕ

u

) R · C = τ gesucht: station¨ are L¨ osung, u

_C

(t) f¨ ur große t

Prinzipielle Form: u

_C

(t) = ˆ U · cos(ωt + ϕ

_uC

). Unbekannte: ˆ U und ϕ

_uC

Komplexe Differentialrechnung:

τ du

_C

dt + u

_C

= ˆ U · (cos(ωt + ϕ

_u

) + j sin(ωt + ϕ

_u

)) = ˆ U · e

^j(ωt+ϕu)

u

_C

(t) = Re(u

_C

(t))

τ du

_C

dt + u

_C

= ˆ U · e

^jϕu

| {z }

Uˆ

·e

^jωt

= ˆ U e

^jωt

Ansatz: u

_C

(t) = ˆ U

_C

· e

^jωt

U ˆ

_C

= ˆ U

C

· e

^jϕuC

du

_C

dt = ˆ U

_C

· e

^jωt

| {z }

u_C

·jω = jω · u

_C

einsetzen:

τ · jω · U ˆ

_C

· e

^jωt

+ ˆ U

_C

· e

^jωt

= ˆ U · e

^jωt

· e

^−jωt

τ · jω · U ˆ

_C

+ ˆ U

_C

= ˆ U

(jωτ + 1) · U ˆ

_C

= ˆ U U ˆ

_C

= U ˆ

1 + jωτ (1)

(1) in Ansatz einsetzen:

u

_C

(t) = ˆ U

_C

· e

^jωt

= U ˆ

1 + jωτ · e

^jωt

= U ˆ · e

^jϕu

1 + jωτ · e

^jωt

Reeller Anteil:

u

C

(t) = Re (u

_C

(t)) = Re

U ˆ · e

^jϕC

1 + jωτ · e

^jωt

!

1 + jωτ = p

1 + (ωτ )

²

· e

^jϕ

ϕ = arctan ωτ

1

6

-

3 ωτ

1 Re

Im

ϕ

u

C

(t) = Re

U ˆ · e

^jϕu

p 1 + (ωτ )

²

· e

^jϕ

· e

^jωt

!

= Re

U ˆ

p 1 + (ωτ)

²

· e

^{j(ωt+ϕu−ϕ)}

!

=

U ˆ

p 1 + (ωτ )

²

· cos(ωt + ϕ

u

− arctan ωτ )

0.6 Deutung von Gleichung (1) aus dem Netzwerk

U ˆ





y

R

U ˆ

_C

1 jωC

U ˆ

_C

= U ˆ

1 + jωR · C =

1 jωC

R +

_jωC¹

· U ˆ

U ˆ

_C

kann aus einem symbolischen Gleichstromnetzwerk berechnet werden. Aufstellen und L¨ osen

der Netzwerk–Differentialgleichung ist nicht erforderlich.

Kapitel 1

Netzwerke bei harmonischer Erregung

1.1 Harmonische Zeitfunktionen

y(t) = ˆ Y · cos(ωt + ϕ

_y

) = ˆ Y · cos(ω(t − t

_y

))

- - 6

Y ˆ · cos ϕ

y

Y ˆ y(t)

t ωt

−t

_y

−ϕ

_y

T−ty

2π−ϕy

T ϕ

y

ϕ

y

= ωt

y

; t

y

=

^ϕ_ω^y

=

^ϕ_2π^y

T

Kenngr¨ oßen

Wertkenngr¨ oßen Zeitkenngr¨ oßen

Y ˆ Spitzenwert, Amplitude T Periodendauer, Periode Y

SS

= 2 · Y ˆ Spitze–Spitze–Wert f =

_T¹

Frequenz

Y =

^√Yˆ₂

Effektivwert ω = 2πf =

^2π_T

Kreisfrequenz

ϕ

_y

Phasenwinkel, Phase

1.2 Zeigerdarstellung von harmonischen Funktionen

Bei gegebener Frequenz (f bzw. T bzw. ω) kann einer harmonischen Zeitfunktion ein Zeiger

(Phasor) zugeordnet werden.

1.2.a Komplexe Amplitude

- 6

-

−

^ϕ_ω^y

Y ˆ y(t)

t T

6

-

3 ]

Re Im

Y ˆ ϕ

y

y(t) = ˆ Y · cos(ωt + ϕ

_y

) Umkehrung:

y(t) = Re ( ˆ Y · e

^jωt

) = Re ( ˆ Y · e

^jϕy

· e

^jωt

)

Y ˆ = ˆ Y · e

^jϕy

= ˆ Y · (cos ϕ

_y

+ j sin ϕ

_y

)

geometrische Deutung von Re ( ˆ Y · e

^jωt

):

6

?

- *

t

t T

Re Im

Y ˆ ϕ

y

I

1.2.b Komplexer Effektivwert Y = Y ˆ

√ 2 = Y ˆ

√ 2 · e

^jϕy

Definition komplexer Effektivert

Wird nachfolgend verwendet!

1.3 Lineare Operationen mit harmonischen Funktionen

Motivation: In linearen Differentialgleichungen treten drei lineare Operationen auf:

τ ·

|{z}

O1

dy dt

|{z}

O2

+

|{z}

O3

y = x

1. Multiplikation mit konstantem Faktor

Zeitbereich Bildbereich

K · A · cos(ω + ϕ) K · A = K · A · e

^jϕ

6

- y(t)

t

6

- K · A A

Re Im

3

3

2. Addition

A · cos(ωt + ϕ

_A

) + B · cos(ωt + ϕ

_B

) A + B = A · e

^jϕA

+ B · e

^jϕB

6

- y(t)

t

6

- A + B A

B Re Im

*

3. Differentiation d

dt (A cos(ωt + ϕ)) = ω · A cos

ωt + ϕ + π 2

jω · A = ω · A · e

^j(ω+π/2)

6

- y(t)

t

6

- jωA A

π 2

Re Im

@

@

@ I

+

1.4 Verhalten der linearen Grundschaltelemente

R - i _{a a}

u 3

L - i _{a a}

u 3

C - i _{a a}

u 3 u = R · i u = L ·

^di_dt

i = C ·

^du_dt

i(t) = ˆ I · cos(ωt + ϕ

i

) u(t) = R · I ˆ cos(ωt + ϕ

_i

) u(t) = ωL · I ˆ cos ωt + ϕ

_i

+

^π₂

u(t) =

_ωC¹

· I ˆ cos ωt + ϕ

_i

−

^π₂

U ˆ = R · I ˆ U ˆ = ωL · I ˆ U ˆ =

_ωC¹

· I ˆ

ϕ

_u

= ϕ

_i

ϕ

_u

= ϕ

_i

+

^π₂

ϕ

_u

= ϕ

_i

−

^π₂

6

- u i

6

u - i

6

u - i

u und i in Phase u eilt i um

^π₂

(90

^◦

) vor u eilt i um

^π₂

(90

^◦

) nach R

I - _{a a}

U 3

jωL

I - _{a a}

U 3

1 jωC

I - _{a a}

U 3

U = R · I U = jωL · I U =

_jωC¹

· I

I = I · e

^jϕi

U = R · I U = ωL · I U =

_ωC¹

· I

ϕ

u

= ϕ

i

ϕ

u

= ϕ

i

+

^π₂

ϕ

u

= ϕ

i

−

^π₂

6

- I

U

Re Im

I

ϕ

i

I ϕ

_u

6

-

U I

Re Im

I ϕ

_u

ϕ

_i

@

@

@ @ I

6

-

U I

Re Im

? ϕ

u

ϕ

_i

@

@

@ @ R

1.5 Netzwerkanalyse bei harmonischer Erregung

(Symbolische Methode, jω–Rechnung)

gegeben:

Netzwerk, harmonische Erregung gesucht:

Str¨ ome Spannungen im station¨ aren Fall

Beispiel:

u



 y

R

₁

R

2

L

C

↓ i

2

↓ i

3

i

₁

↑

q q

Beispiel: gegeben: u(t) = ˆ U · cos(ωt + ϕ

u

), gesucht: i

3

= ˆ I

3

· cos(ωt + ϕ

i3

) 1.5.a L¨ osungsprogramm

1. Transformation des Netzwerkes in den Bildbereich

Zeitbereich Bildbereich

R - i _{a a}

3 u

⇒ R

I - _{a a}

3 U

U = R · I

L - i _{a a}

3 u

⇒ jωL

I - _{a a}

3 U

U = jωL · I

C - i _{a a}

3 u

⇒

1 jωC

I - _{a a}

3 U

U = 1 jωC · I

Ergebnis: Gleichstromnetzwerk mit komplexen Gr¨ oßen

U



 y

R

₁

R

₂

jωL

1 jωC

↓ I

₂

↓ I

₃

I

₁

↑

q q

M

₁

M

2

'

&

$

%

2. Berechnen der gesuchten Gr¨ oßen im Bildbereich Analyse eines komplexen Gleichstromnetzwerkes (Maschensatz):

M

1

: (R

1

+ R

2

+ jωL) · I

₃

+ R

1

· I

₂

= U M

2

: R

1

· I

₃

+

R

1

+

_jωC¹

· I

₂

= U

⇒ I

₃

= R

₁

+

_jωC¹

− R

₁

(R

₁

+ R

₂

+ jωL)

R

₁

+

_jωC¹

− R

₁²

· U =

1 jωC R1+R2

jωC

+ R

1

R

2

+ R

1

jωL +

_C^L

· U I

₃

= I

3

· e

^jϕi3

= A

B · U A = 1

jωC , B = R

1

+ R

2

jωC + R

1

R

2

+ R

1

jωL + L C

I

3

· e

^jϕi3

= A · e

^jϕA

B · e

^jϕB

· U · e

^jϕu

= A B · U

| {z }

I3

· e

^{j(ϕu+ϕA−ϕB)}

| {z }

ϕi3

A = 1

ωC , ϕ

_A

= 1 j = − π

2 B =

q

R

₁

R

₂

+

_C^L

2

+ ωLR

₁

−

^R1_ωC^+R2

2

, ϕ

_B

= arctan

^ωLR1−

R1+R2 ωC

R1R2+_C^L

I

3

= A

B · U, ϕ

i3

= ϕ

u

+ ϕ

A

− ϕ

B

3. R¨ ucktransformation in den Zeitbereich i

₃

(t) = Re √

2 · I · e

^jωt

= I

₃

· √ 2

| {z }

Iˆ3

· cos(ωt + ϕ

_i3

)

Kapitel 2

Komplexe Zweipole

2.1 Komplexer Widerstand und komplexer Leitwert

2.1.a Lineare Zweipole bei harmonischer Erregung

Zeitbereich Bildbereich

lineares Netzwerk komplexer Zweipol

(ZP aus R, C, L, M , gest. Quellen)

-

i(t) _{a a}

3 u(t)

-

I _{a a}

3 U

u(t) = ˆ U · cos(ωt + ϕ

u

) U = U · e

^jϕu

, U =

^√Uˆ₂

i(t) = ˆ I · cos(ωt + ϕ

_i

) I = I · e

^jϕi

, I =

^√Iˆ

2

2.1.b Definitionen:

Z = U

I Komplexer Widerstand (Impedanz)

- 6

X 3

R K ϕ

_Z

Z

Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Z = R + jX Z = Z · e

^jϕz

Wirkwiderstand, Resistanz Scheinwiderstand

X = Im (Z) = Z sin ϕ

z

ϕ

z

= arg(Z) = ϕ

u

− ϕ

i

Blindwiderstand, Reaktanz Phase der Impedanz Y = I

U Komplexer Leitwert (Admittanz)

- 6

B 3

G K ϕ

_Y

Y

Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Y = G + jB Y = Y · e

^jϕy

Wirkleitwert, Konduktanz Scheinleitwert

Y = Im (Y ) = Y sin ϕ

y

ϕ

y

= arg(Y ) = ϕ

i

− ϕ

u

Blindleitwert, Suszeptanz Phase der Admittanz

Wichtig: Die Bildung des Quotienten ist nur im Bildbereich sinnvoll. Im Zeitbereich sind die Quotienten u(t)

i(t) und i(t)

u(t) zeitabh¨ angige Gr¨ oßen ohne Aussagekraft.

2.1.c Zusammenh¨ ange

Z = 1

Y Y = 1

Z Kartesische Koordinaten:

R + jX = 1

G + jB = G − jB

G

²

+ B

²

= G

G

²

+ B

²

− j B G

²

+ B

²

R = G

G

²

+ B

²

X = − B

G

²

+ B

²

G + jB = 1

R + jX = R − jX

R

²

+ X

²

= R

R

²

+ X

²

− j X R

²

+ Y

²

G = R

R

²

+ X

²

B = − X

R

²

+ X

²

Polarkoordinaten

Z = Z · e

^jϕz

Y = Y · e

^jϕy

Z = 1

Y −→ Z · e

^jϕz

= 1

Y · e

^jϕy

= 1

Y · e

^jϕy

⇒ Z = 1

Y , ϕ

z

= −ϕ

_y

Impedanz und Admittanz der Blindschaltelemente

Schaltelement

L - i _{a a}

3 u

C - i _{a a}

3 u

Impedanz Z = jωL Z = 1

jωC = −j 1 ωC

Betrag Z = ωL Z = 1

ωC

Phase ϕ

_Z

= π

2 ϕ

_Z

= − π

2

Admittanz Y = 1

jωL = −j 1

ωL Y = jωC

Betrag Y = 1

ωL Y = ωC

Phase ϕ

_Y

= − π

2 ϕ

_Y

= π

2

Zeigerbilder

6

- Re

Im Z

Y 6

?

6

- Re

Im Y

Z 6

?

Frequenzgang des Betrages

6

ω - Y =

_ωL¹

Z = ωL ₆

ω - Z =

_ωC¹

Y = ωC

Frequenzgang in doppeltlogarithm.

Darstellung

6

log(ω/ω -

₀

) log(Y /Y

0

) log(Z/Z

0

)

@

@

@

@

@

@

6

log(ω/ω -

₀

) log(Z/Z

0

) log(Y /Y

0

)

@

@

@

@

@

@

2.1.d Bestimmung von Impedanz und Admittanz 1. Aus den Zeitverl¨ aufen von u und i

Z = Z · e

^jϕ

= U

I = U · e

^jϕu

I · e

^jϕi

= U

I · e

^j(ϕu−ϕi)

⇒ Z = U

I , ϕ = ϕ

_u

− ϕ

_i

Betrag (Scheinleitwert, Scheinwiderstand): Durch Effektivwertmessung

u(t)





y

A

V q q

dyn.

NW

Z = U

I , Y = I U

Phase: Durch Zeitmessung (Oszilloskop) 6

- -

ωt t i(t)

u(t)

Tv

ϕ

T

T

_v

= ϕ

_u

− ϕ

_i

ω = ϕ

ω

T

_v

T = ϕ

2π

ϕ =



 

 

2π · T

_v

T = 2π · f · T

_v

in Radiant 360

^◦

· T

v

T = 360

^◦

· f · T

v

in Grad

ϕ = ϕ

_u

− ϕ

_i

, ϕ ist positiv, wenn u voreilt (induktiv ), negativ, wenn i voreilt (kapazitiv ).

Phasenmessung mit Lissajous–Figur: (x–y–Oszilloskop, x = u(t), y = i(t)) 6

-

-

- c

⁰

c

x y

| sin ϕ| = c

⁰

c

(komplette Herleitung: http://www.iee.et.tu-dresden.de/iee/

ge/student/materialien/ET-III/folien/lissajous.pdf)

2.1.e Beispiel R

- i _{a a}

* u

C gegeben: R = 200 Ω, C = 100 nF, f = 5 kHz gesucht: Z , Y in allen Formen

R

I - _{a a}

* U

1

jωC

Z = R + 1

jωC = R + jX R = 200 Ω X = − 1

ωC = 1 · s · V

2π · 5 · 10

³

· 100 · 10

⁻⁹

· As = −318 Ω

6

- Im

Re J

J J

J J

J J

^ 200 Ω

−318 Ω

Z = 200 Ω − j 318 Ω = s

R

²

+ 1

(ωC )

²

· e

^jarctanωRC1

= 376 Ω · e

^−j58◦

Re (Z ) = 200 Ω, Im (Z ) = −318 Ω, Z = 376 Ω, ϕ = −58

^◦

Leitwert:

Y = 1 Z = 1

376 Ω · e

^j58◦

= 2,66 mS · e

^j58◦

= 2,66 mS · (cos 58

^◦

+ j sin 58

^◦

) = 1,41 mS + j 2, 26 mS Re (Y ) = 1,41 Ω, Im (Y ) = 2,26 Ω, Y = 2,66 Ω, ϕ

_Y

= 58

^◦

Strom:

I = U

Z = U · Y = U ˆ

√

2 · 2,66 mS · e

^j58◦

= 1,88 mA · e

^j58◦

I = 1,88 mA, ϕ

i

= 58

^◦

, I ˆ = √

2 · I = 2,66 mA, i(t) = 2,66 mA · cos(ωt + 58

^◦

)

2.2 Ersatzschaltungen f¨ ur komplexe Zweipole

In Gleichstromnetzwerken:

a ^- I ZP a 3 U

. &

passiver Zweipol a R

_i

a R = U

I = 1 G

aktiver Zweipol

a a

U -

L

R

i

a a R

i

I

_K

2.2.a Passiver Zweipol

a Z a

* -

I U Z = U

I = 1 Y

. &

Z = R

r

+ jX

r

Serienersatzschaltung a R

_r

jX

_r

a

X

r

< 0 X

r

> 0 jX

r

=

_jωC¹

r

jX

r

= jωL

r

C

r

= −

_ωX¹

r

L

r

=

^X_ω^r

a

^{Rr Cr}

a a

^{Rr Lr}

a

Y = G

_p

+ jB

_p

Parallelersatzschaltung

a R

r

a jX

r

q q

B

_p

< 0 B

_p

> 0 jB

_p

=

_jωL¹

p

jB

_p

= jωC

_p

L

p

= −

_ωB¹

p

C

p

=

^B_ω^p

a q q a

Gp

Lp

a q q a

Gp

Cp

Beispiele

1. gegeben: Zweipol mit U = 230 V, I = 1 A, ϕ = ϕ

u

− ϕ

i

= 15

^◦

= b π 12 Reihenersatzschaltung: Z = U

I = U · e

^jϕ

= Z · cos ϕ + jZ · sin ϕ = R

r

+ jX

r

Z = U

I = 230 V

1 A = 230 Ω → R

_r

= Z · cos ϕ = 230 Ω · cos π

12 = 222 Ω

→ X

_r

= Z · sin ϕ = 230 Ω · sin π

12 = 59,5 Ω X

r

= ωL

r

⇒ L

r

= X

r

ω = Z · sin ϕ

2πf = 189,5 mH ⇒ ^{a a}

222 Ω 189,5 mH

Parallelersatzschaltung: Y = I

U = Y · e

^−jϕ

= Y · cos −jY · sin ϕ = G

_p

+ jB

_p

Y = I

U = 4,35 mS → G

_p

= Y · cos ϕ = 4,35 mS · cos π

12 = 4,2 mS = 1 238 Ω

→ B

p

= −Y · sin ϕ = −4,35 mS · sin π

12 = −1,12 mS

B

p

= − 1 ωL

p

⇒ L

p

= − 1 ωB

p

= 1

2πf Y sin ϕ = 2,83 H ⇒ a 2,83 H a 238 Ω

q q

2. gesucht: Parallelersatzschaltung folgender Schaltung:

q q

@

@



 y g

_m

· U

₁

C

R

a a

? U

U

₁

I = U

R +

_jωC¹

+ g

m

· C

1

U

1

=

1 jωC

R +

_jωC¹

· U = 1

1 + jωRC · U I = U ·

jωC

1 + jωRC + g

m

1 + jωRC

Y = I

U = jωC + g

_m

1 + jωRC = (jωC + g

_m

) · (1 − jωRC

1 + (ωRC)

²

= (ωC )

²

R + g

_m

1 + (ωRC)

²

| {z }

= 1 R

p

+ jωC · 1 − g

_m

· R 1 + (ωRC )

²

| {z }

= 1

jωL

p

f¨ ur g

m

R > 1

ωL

_p

= − 1

ωC · 1 + (ωRC)

²

1 − g

_m

R ⇒ L

_p

= 1

ω

²

C · 1 + (ωRC )

²

1 − g

_m

R , R

_p

= R · 1 + (ωRC)

²

g

_m

R + (ωRC)

²

Zahlenwerte: R = 1 kΩ, g

_m

= 10 mS, C = 1 µF, f = 500 Hz

ωRC = 2π · 500 s

⁻¹

· 10

^{3 V}_A

· 10

^{−6 As}_V

= π, g

_m

· R = 10 mS · 1 kΩ = 10

2.2.b Aktive Zweipole

a -

akt. ZP

a I

3 U

. &

a a

- Z

_i

U

L

a a Z

i

I

K

Beispiel:

U

q





y

a R a

1 jωC

? U -

I

U

_q

= U

_q

· e

^jϕuq

Spannungsquellenersatzschaltung

U

L





y

a Z

i

a

? U -

I

Stromquellenersatzschaltung

I

K

x





a a

Z

i

q q

? U -

I

U

_L

= U

I=0

=

1 jωC

R +

_jωC¹

· U

_q

= 1

1 + jωRC · U

_q

· e

^jϕuq

= U

q

p 1 + (ωRC)

²

· e

^{j(ωuq−arctanωRC)}

I

_K

= I

_U=0

= U

q

R = U

q

R · e

^jϕuq

Z

i

= U

_L

I

K

bzw. Z

i

= U I

Quellen=0

Z

_i

= 1

jωR k R = 1

1

R

+ jωC = R

1 + jωRC = R

p 1 + (ωRC)

²

· e

^{−jarctanωRC}

Kapitel 3

Leistung bei Wechselstrom

Bei Gleichstrom:

a - a I R

⇓ P U

s P = U · I = U

²

R = I

²

· R

3.1 Leistungsbegriffe

3.1.a Momentanleistung

-

i(t) _{a a}

3 u(t)

p(t) = u(t) · i(t) Def.: Momentanleistung

6

- u(t) i(t)

−ϕ ωT ωt

u(t) = ˆ U · cos(ωt + ϕ) i(t) = ˆ I · cos(ωt)

p(t) = u(t) · i(t) = ˆ U · I ˆ · cos(ωt + ϕ) · cos(ωt)

Additionstheorem: cos α · cos β =

¹₂

[cos(α + β) + cos(α − β)]

⇒ p(t) = U ˆ · I ˆ

2 · [cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)]

mit U = U ˆ

√

2 und I = I ˆ

√ 2 :

p(t) = U · I · [cos ϕ + cos(2ωt + ϕ)]

U I·cosϕ

6

- p(t)

ˆ Sinusf¨ ormig, aber mit 2ω

ˆ p(t) kann Negativ werden (schraffiert)

ˆ weitere Zerlegung aufschlußreich

Additionstheorem: cos(2ωt + ϕ) = cos 2ωt · cos ϕ − sin 2ωt · sin ϕ

⇒ p(t) = U · I · cos ϕ · (1 + cos 2ωt) − U · I · sin ϕ · sin 2ωt

. &

U I·cosϕ

6

- t -

T 2

Strom pulsierend in den Zweipol Mittelwert

Amplitude

U · I · cos ϕ

⇒ Wirkleistung

U I·sinϕ

6

- t

T 2

Strom pendelt zwischen Erzeuger und Verbraucher

Mittelwert: 0

Amplitude: U · I · sin ϕ

⇒ Blindleistung 3.1.b Wirkleistung

6

-

−

^π₂ ^π₂

a a a a kapazitiv induktiv

P

U I Die Wirkleistung ist der zeitliche Mittelwert der Moment- anleistung.

P = U · I · cos ϕ, [P ] = [U] · [I ] = 1 W

Sie h¨ angt vom Leistungsfaktor cos ϕ ab. Bei ϕ = −

^π₂

(rei- ne Kapazit¨ at) und ϕ =

^π₂

(reine Induktivit¨ at) betr¨ agt die Wirkleistung Null.

3.1.c Blindleistung

6

-

−

^π₂ ^π₂

a a a a kapazitiv induktiv

Q U I

Die Blindleistung ist die Amplitude der zwischen Erzeuger und Verbraucher periodisch ausgetauschten Leistung

Q = U · I · sin ϕ

[Q] = 1 var (Voltampere reaktiv)

3.1.d Scheinleistung

Die Scheinleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung

S = U · I [S] = 1 VA

3.2 Komplexe Leistung

3.2.a Definition

P = U · I · cos ϕ, Q = U · I · sin ϕ

S = P + jQ Definition komplexe Leistung S = U · I · (cos ϕ + j sin ϕ) = U · I · e

^jϕ

= S · e

^jϕ

|S| = S = U · I = p

P

²

+ Q

²

P = Re (S), Q = Im (S), ϕ = arg(S) = ϕ

u

− ϕ

i

3.2.b Zusammenhang mit U und I

- a a

I U

q Z

S = U · I · e

^jϕ

, ϕ = ϕ

_u

− ϕ

_i

= U · I · e

^j(ϕu−ϕi)

= U · e

^jϕu

| {z }

U

· I · e

^−jϕi

| {z }

I^∗

S = U · I

^∗

Beispiel:

I

x





q q

R C

gegeben: R = 1 Ω, C = 1 mF, f = 50 Hz, I = 1 A gesucht: S, S, P, Q

S = U · I

^∗

, U = I · Z = I

Y = I

G + jB , G = 1

R , B = ωC S = I · I

^∗

G + jB = I

²

G + jB = I

²

G + jωC = G · I

²

(G

²

+ (ωC)

²

| {z }

P

+j −ωC · I

²

G

²

+ (ωC )

²

| {z }

Q

P = G

G

²

+ (ωC )

²

· I

²

= 0,717 W Q = − ωC

G

²

+ (ωC )

²

· I

²

= −0,532 var S = I

²

p G

²

+ (ωC)

²

= p

P

²

+ Q

²

= 0,893 VA

3.3 Leistungs¨ ubertragung im Grundstromkreis

3.3.a (Wirk–)Leistungs¨ ubertragung

U

_L

x





Z

i

a

Z

_a

U

- I

Problem:

gegeben: Generator (U

_L

, Z

_i

)

gesucht: Z

_a

so, daß P maximal wird.

P = Re (S) = Re (U · I

^∗

) U = Z

_a

Z

i

+ Z

a

· U

_L

, I = U

_L

Z

i

+ Z

a

S = U · I

^∗

= Z

a

· U

_L

· U

_L^∗

(Z

_i

+ Z

_a

) · (Z

_i

+ Z

_a

)

^∗

= Z

_a

|Z

_i

+ Z

_a

| · U

_L²

Z

a

= R

a

+ jX

a

, Z

i

= R

i

+ jX

i

P = Re (S) = R

_a

· U

_L²

(R

i

+ R

a

)

²

+ (X

i

+ X

a

)

²

⇒ maximal Maximum bei:

X

a

= −X

_i

P = R

_a

(R

_i

+ R

_a

)

²

· U

_L²

−→ R

_a

= R

_i







Z

a

= R

i

− jX

i

= Z

i∗

3.3.b Blindleistungskompensation

U





y

a a

a a

q q

q q

Y

_K

- I

- I

V

↓ I

_K

↓ I

_B

↓ I

_W

B

p

G

p

Verbraucher

⇐⇒

Q

Problem

gegeben: Verbraucher am Netz, Y

_K

= G

p

+ jB

p

gesucht: Kompensationszweipol, so daß I maxi- mal wird

I = U · Y = U · (Y

_K

+ Y

_V

) = U · (G

_K

+ jB

_k

| {z }

IK

+ G

_p

+ jB

_p

| {z }

IV

) I = |I | = U ·

√ ( G

_K

|{z}

≥0

+G

_p

)

²

+ ( B

_K

|{z}

≶0

+B

_p

)

²

⇒ min (G

_K

, B

_K

)

Mininum bei G

_K

= 0 → I = U · q

G

_p²

+ (B

_K

+ B

_p

)

²

und B

_K

= −B

_p

.

⇒ Minimaler Strom: I = U · G

p

= I

W

Ergebnis:

ˆ Verbraucher und Kompensationszweipol zusammen nehmen nur Wirkleistung auf

ˆ Blindleistung wird zwischen Verbraucher und Kompensationszweipol ausgetauscht

ˆ Verbraucher sind meistens induktiv −→ Kompensationskapazit¨ at Beispiel: Leuchtstofflampe, gemessen: U = 230 V, P = 60 W, I = 0,52 A Leistungen:

S = U · I = 230 V · 0,52 A = 120 VA

P = U · I · cos ϕ = S · cos ϕ → cos ϕ =

^P_S

= 0,5 V, ϕ = 60

^◦

Q = U · I · sin ϕ = √

S

²

− P

²

= 104 var

Q

_K

Q

K

P

V

S

_V

? 6

-

ϕ

Kompensationskapazit¨ at:

Q

K

= −Q

_V

= −U

²

· ωC ⇒ C

K

= Q

V

U

²

· ω = 6,2 µF

Elemente der Ersatzschaltung: (Modell des Verbrauchers) P = U

²

· G

p

⇒ G

p

= P

U

²

= 1,1 mS = 909 Ω b Q = U

²

· B

_p

⇒ B

_p

= Q

U

²

= 2 mS = 1 ωL

p

⇒ L

_p

= 1 ωB

p

= 1,7 H Schaltung / Ersatzschaltung

a a

q q

q q

q q

Dr C

_K

⇒ U





y

q q

q q

C

K

L

p

q q -

0,25 A

-

0,25 A

-

0,5 A 0,43 A

? ?

3.3.c Modelle technischer Bauelemente

Spulen Kondensatoren

a L R a

a q q a R

C

Z = R

_L

+ jX

_L

, X

_L

= ωL Y = G

_C

+ jB

_C

, B

_C

= ωC

X

L

6

- R

_L

Z

ϕ I δ j

B

C

6

- G

_C

Y

−ϕ I δ j

Komplexe Leistung: S = P + jQ = U · I

^∗

= I

²

· Z = U

²

· Y P = I

²

· R

L

, Q = I

²

· X

L

P = U

²

· G

C

, Q = U

²

· B

C

Verlustfaktor d = Wirkleistung

|Blindleistung| = P

|Q| = tan δ, δ = Verlustwinkel d

_L

= P

Q = R

_L

X

_L

= R

_L

ωL = tan δ

_L

d

_C

= P

Q = G

_C

B

_C

= G

_C

ωC = tan δ

_C

G¨ ute Q = |Blindleistung|

Wirkleistung = |Q|

P = 1 d Q

_L

= 1

d

L

= X

_L

R

L

= ωL R

L

Q

_C

= 1 d

C

= B

_C

G

C

= ωC G

C

3.3.d Kleinverbraucher am Netz

Eine Lampe (12 V, 10 W) ist am Netz (230 V) zu betreiben.

I = P

U = 10 W

12 V = 0,83 A Vorwiderstand

U

_N



 y

a a

@ @ R

⇒ P

_N

R = U − U

_L

I = 218 V

0,83 A = 262 Ω

P

_N

= U

_N

· I = 230 V · 0,83 A = 192 W

Serienkondensator

a a

a I

KZ

a

q q

L

K

? U

N

@ @ C

U

L

I U

_C

?

J J

J J

J

^ - -

I U

_L

U

_N

U

_C

= q

U

_N²

− U

_L²

= 1 ωC

C = 1

ω p

U

_N²

− U

_L²

= 11,5 µF

S = U

_N

· I = 192 VA, P = 10 W, I

_KZ

= P

U = 10 W

230 V = 0,043 A

Kapitel 4

Ortskurven

4.1 Grundbegriffe

Im ₆

- Re

F (λ) 3 ^{A K A}

λ

Eine Ortskurve ist der geometrische Ort aller Endpunkte des Zeigers F (λ) bei ¨ Anderung von λ.

F kann sein: Spannung, Strom, komplexe Leistung, Im- pedanz, Admittanz, Spannungsverh¨ altnis, Strom- verh¨ altnis.

λ kann sein: Frequenz, Widerstand, Kapazit¨ at, Induk- tivit¨ at

Beispiel 1

a a

I

* * U

_R

U

_C

z U

gegeben: R, C, I = I

gesucht: Ortskurven von U

_R

, U

_C

, U , Z in Abh¨ angigkeit von ω = 2πf

6

Re - Im

?

-

@

@

@

@

@

@ R

-

U

_C

ω ↑

U

_R

I

U ↑ ω

U

_R

= I · R = U

R

(reell) U

_C

= I

jωC = −j I ωC U = I · R − j I

ωC = I · Z Z(ω) = R − j I

ωC

6

- Re (Z ) Im (Z)

? -

@

@

@

@

@

@ R −

_ωC^j

R Z(ω)

↑ ω

Beispiel 2

a a

U ¹

* * U

_R

U

_C

-

I

gegeben: R, C, U = U

gesucht: Ortskurven von U

_R

, U

_C

, I in Abh¨ angigkeit von

ω = 2πf

- Im 6

Re

@

@

@ R p

@

@

@ R

p

U_R U_C

U_C U_R

q ω

i ω

U=U

-

U R

∞

I U = U

_R

+ U

_C

, U

_R

= I · R, U

_C

= −j I ωC

Thaleskreis: Die Ortskurven von U

_C

, U

_R

und I sind Kreise!

Formelausdruck:

Z(ω) = R − j 1

ωC I(ω) = U

Z (ω) = U R − jωC F(λ) = a + b · f (λ) F (λ) = b

a

₁

+ a

₂

· f (λ)

4.2 Einfache Ortskurven

6

- Im

Re x

y = F (x)

6

- Im

Re y

Gerade

- Im 6

*

1 0

−1 a₀ a₁

Re

λ

f(λ) = a

₀

+ a

₁

· λ Spezialfall: a

0

= 0

f(λ) = a

1

· λ

→ Gerade durch den Ursprung Kreis um den Ursprung

- Im 6

Re 3

a0

k

0

λ

f (λ) = a

₀

· 1 + a

₁^∗

· λ 1 + a

1

· λ f (λ) = a

₀

· e

^jϕ(λ)

Kreis durch den Ursprung

- Im 6

Re

0

k λ

3 B

B

f (λ) = 1 a

0

+ a

1

· λ f (λ) = B

1 + e

^jϕ(λ)

Kreis in allgemeiner Lage

- Im 6

Re

0

k λ

3 A

B f (λ) = b

₀

+ b

₁

· λ

a

0

+ a

1

· λ f(λ) = A + B · e

^jϕ(λ)

4.3 Inversion

Inversion einer komplexen Gr¨ oße bedeutet die Bildung ihres Reziprokwertes.

Y = 1

Z , Y · e

^jϕy

= 1

Z · e

^jϕz

→ Y = 1

Z , ϕ

_y

= −ϕ

_z

Der Zeiger Z aus der Z -Ebene wird auf den Zeiger Y der Y -Ebene abgebildet (konforme Abbil- dung) durch Y =

_Z¹

.

4.3.a Inversion eines Zeigers

- Re Im ₆

@

@

@ R

@

@

@

@

@

@

@

ϕz

ϕy

−1 0 ^q

q q C q

Y

B Z

A

Z

|Z|²

1. Betrag

Die Dreiecke 0AB und 0BC sind ¨ ahnlich

→ Z 1 = 1

Y 2. Phase

ϕ

_y

= −ϕ

_z

→ Spiegelung an der reellen Achse Maßst¨ abliche Konstruktion: Inversionsradius

Z-Maßstab Y -Maßstab

z = m

z

· Z y = m

y

· Y [m

z

] = cm

Ω [m

y

] = cm

S Z · Y = 1 = z

m

z

· y m

y

= 1 → z · y = m

_z

· m

_y

= r

²

r – Radius des Inversionskreises, Inversionsradius

Beispiel

Darzustellender Bereich gew¨ ahlter Zeigermaßstab Z = 1 . . . 10 Ω m

z

= 1 cm

Ω Y = 0,1 . . . 1 S m

y

= 10 cm

Ω

⇒ r = √

m

z

· m

y

=

√ 10 cm

²

= 3,2 cm

0,1 1

0,4 4

.. . 6

1 10

4

0,4

· · · ^-

10 1

r Im(Z)

X Ω

Im(Y )

B S

Re(Y ) Re(Z)

R Ω G S

4.3.b Inversion von Ortskurven

Problem: gegeben: Ortskurve von F (λ) gesucht: Ortskurve von 1 F (λ) Verfahren:

1. Punktweise Inversion: f¨ ur verschiedene λ–Werte wird 1

F (λ) aus F (λ) durch Zeigerin- version bestimmt.

2. Anwendung von Inversionsregeln f¨ ur einfache Ortskurven

Grundregel: Bei der Inversion gehen Kreise in Kreise ¨ uber −→ Die Inversion ist Kreistreu.

Beweis: F (λ) = b

₀

+ b

₁

· λ

a

₀

+ a

₁

· λ → 1

F (λ) = a

₀

+ a

₁

· λ b

₀

+ b

₁

· λ Wichtige F¨ alle

1. Gerade durch den Ursprung ↔ Gerade durch den Urpsrung

- Im 6

Re

@

@

@

@

@

@

@

@

@ @ R a

λ 1

−1

F (λ)

1 F(λ)

−

¹₂

−1 1

1 2

@ I λ

1 a

F(λ) = a · λ 1

F (λ) = 1 a · λ = 1

a · f (λ)

2. Gerade nicht durch den Ursprung ↔ Kreis durch den Ursprung Im

Re ^- 6

λ

1

λ

@ I

@

@

@

@

@

@

@

@

@ R λ

1

λ F (λ)

1 F(λ)

F (λ) = a + b · λ 1

F (λ) = 1 a + b · λ

λ

₁

: minimaler Betrag von F(λ)

→ maximaler Betrag von

_F¹

→ Radius 3. Kreis nicht durch den Ursprung ↔ Kreis nicht durch den Ursprung

Im

Re ^- 6

3

3 Q

Q s Q

Q Q

Q Q s

λ

₂

λ

1

λ

₂

λ λ

F(λ)

1 F(λ)

F (λ) = a

₀

+ a

₁

· λ b

₀

+ b

₁

· λ 1

F (λ) = b

₀

+ b

₁

· λ

a

₀

+ a

₁

· λ

4.3.c Anwendungen

1. Z - und Y -Ortskurven technischer Bauelemente in Abh¨ angigkeit von ω

a L R

_L

a

Z(ω) = R

L

+ jωL

6

- Im

Re ω

₄₅

6 ω ϕ

R

_L

= ω

₄₅

· L, ω

₄₅

= R

_L

L Z =

q

R

_L²

+ (ωL)

²

, ϕ = arctan ωL R

_L

6 6

- -

Z

R

_L

ω ω

Z ωL

ϕ

π 2 π 4

ω

₄₅

a q q a R

_C

C

Z(ω) = 1

1

RC

+ jωC = 1 G + jωC

6 -

Im

Re ω

45

R

L

ω

G

C

= ω

45

· C, ω

45

= 1 C · R

_C

Z = 1

q

R

_C²

+ (ωC )

²

, ϕ = − arctan ωC G

_C

6 6

-

- Z

R

_C

ω

ω

1 ωC

Z

ϕ

π 2

2. Ortskurve in Abh¨ angigkeit von einem Parameter

A ^a C ^{q q a} B

R

₁

R

₂

C

gesucht: Ortskurven Z

_AB

(R

₂

), Y

_AB

(R

₂

) (Z

_AB

, Y

_AB

formelm¨ aßig berechnen)

6

- ωC R

₂

R

₂₄₅

Y

_CB

−1

ωC

R

2

R

2

@

@

@ R

₂₄₅

Z

_CB

R

₁

Z

_AB

1 R1

0

@ I

R

₂

Y

_AB

∞

Y

_CB

=

_R¹

2

+ jωC,

_R¹

2

= ω

₄₅

C, R

₂

=

_ω¹

45C

R

₁

in Serie zu Y

_CB

→ invertieren der OK

→ Z

CB

, R

1

addieren → Z

AB

, invertieren →

Y

_AB

.

4.4 Frequenzg¨ ange

Frequenzg¨ ange sind die Darstellungen von Betrag und Phase einer komplexen Gr¨ oße ¨ uber die Frequenz.

Beispiel: Spannungsverh¨ altnis einer RC-Schaltung

U

₁





y

q q

a a

? R

C U

₂

G(jω) = U

₂

U

₁

(Spannungs-) ¨ Ubertragungsfaktor A(ω) = |G(jω)| Amplituden(frequenz)gang ϕ(ω) = arg(G(jω)) Phasen(frequenz)gang G(jω) =

1 jωC

R +

_jωC¹

= 1

1 + jωCR = 1

jωτ = 1 1 + j

_ω^ω

g

A(ω) = |G(jωC)| = 1 r

1 +

ω ωg

2

=



 

 

 

 

≈ 1 f¨ ur ω ω

g

√1

2

f¨ ur ω = ω

_g

≈

^ω_ω^g

f¨ ur ω ω

_g

ϕ(ω) = − arctan ω

ω

g

, ω

g

= 1 τ = 1

RC

- 6

τ 1 Q

Q Q

Q Q s

G(jω)

Im

Re

- A(ω) 6

1

1

√ 2

ω

_g

ω

- ϕ(ω) 6

ω

π 2 π 4

ω

_g

4.5 Bode Diagramm

a(ω) = 20 log |G(jω)| dB ϕ(ω)

dargestellt ¨ uber log

_ω^ω

g

. a(ω) = 20 log 1

r 1 +

ω ωg

2

dB = −20 · 1

2 · log 1 + ω

ω

_g

2

!

dB

=



 

 

0 dB f¨ ur

_ω^ω

g

1

−3 dB f¨ ur

_ω^ω

g

= 1

−20 · log

_ω^ω

g

dB f¨ ur

_ω^ω

g

1 a(ω)

- 6

−1 0 1 2 3 · · · log

_ω^ω

g

ω ωg

0,1 1 10 100 1000 · · ·

−20 dB Steigung: 20 dB/Dekade

Ausgew¨ ahlte Gr¨ oßenordnungen U

₂

U

₁

10

⁻²

10

⁻¹

1

√ 2 1 √

2 10 100

a

dB −40 −20 −3 0 3 20 40

Kapitel 5

Resonanzkreise

5.1 Impedanz und Admittanz

Reihenresonanzkreis

+

U

R

r

C

_r

L

r

Parallelresonanzkreis

q q q q I

L

_p

C

_p

R

p

Impedanz Z

_r

= R

_r

+ jωL

_r

+ 1

jωC

_r

= R

_r

+ j

ωL

_r

− 1 ωC

_r

| {z }

Xr(ω)

Z

_p

= 1

G

p

+ jωC

p

+

_jωL¹

p

= 1

G

_p

+ j(ωC

_p

−

_ωL¹

p

) Im(Z

_r

)

Re(Z

_r

) 6

-

7 Z

_r

R -

r

ω

−45

ω

45

ω

0

6 ω

ω < ω

0

ω > ω

₀

Im(Z

_p

)

Re(Z

_p

) 6

-

ω

₄₅

ω

−45

- R

p

ω

0

Q Q

Q Q Q s Z

_p

ω > ω

0

ω < ω

₀

N

ω

Admittanz

Y

_r

= 1

R

r

+ jωL

r

+

_jωC¹

r

= 1

R

r

+ j(ωL

r

−

_ωC¹

r

Y

_p

= G

_p

+ jωC

_p

+ 1 jωL

_p

= G

p

+ j(ωC

p

− 1

ωL

_p