Wichtig: Es gibt Unterschiede in der Analyse von periodische Signale (Fourier- Reihe) und nicht-periodische Signale (Fourier-Integral).

Modul G: Sprachverarbeitung Teil 2 WinSem 07/08

Fourier-Transformation

Fourier-Theorie: jedes (Zeit-)Signal kann zusammengestellt werden aus einer Summe von Sinusoiden (sinusförmige Signale) mit je ihrer eigenen Amplitude, Frequenz und Phase.

Wir betrachten erstmal analoge Signale.

st=

∑

n=0

∞

A_nsin2 f_ntn (Fourier-Synthese)

Die Fourier-Analyse dient dazu aus dem Signal die Amplituden, Frequenzen und Phasen der Sinusoiden (Signalkomponenten) zu bestimmen.

Wichtig: Es gibt Unterschiede in der Analyse von periodische Signale (Fourier- Reihe) und nicht-periodische Signale (Fourier-Integral).

Fourier-Reihe

Periodisches Signal st=stnT₀ mit Periodendauer T₀ , Grundfrequenz F₀=1/T₀ , hat nur Komponenten bei Frequenzen die ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind (Linien- spektrum).

st=

∑

n=0

∞

A_nsin2nF₀tn

Zum Berechnen der Amplituden und Phasen wird über der trigonometrischen Formel für sin(a+b) einen anderen Form gewählt:

st=

∑

n=0

∞

a_ncos0tb_nsinn0t mit 0 die Kreisfrequenz 0=2F₀=2/T₀

Für die Bestimmung der Koeffizienten a_n und b_n wird nur eine Periode des Signals betrachtet (es dürfen aber auch mehrere sein). Es folgt (vgl. Kreuzkorrelation):

a₀= 1 T₀

∫

0 T0

stdt b₀=0

DC- oder Gleichspannungskomponente (f = 0 Hz): Mittelwert des Signals.

a_n= 2 T₀

∫

0 T0

stcosn0tdt b_n= 2 T₀

∫

0 T0

stsinn0tdt

"Cosinus-Termen" "Sinus-Termen"

Aus Cosinus- und Sinus-Termen lassen sich jetzt die Amplituden und Phasen berechnen:

A_n=



Die A_n liefern das Amplitudenspektrum, die n das Phasenspektrum des Signals.

Komplexe Fourier-Reihe

Wegen der große Ähnlichkeit mit komplexe Zahlen werden diese meist als Rechenhilfe eingesetzt.

Synthese: st=

∑

n=−∞

∞

c_ne^jn0t mit (Analyse) c_n= 1

T₀

∫

0 T0

ste^−jn0tdt

Hierbei sind st und c_n jetzt komplexe Werte und es gibt negative Frequenzen. Dadurch nicht beeindrucken lassen.

Zusammenhang mit Cosinus- und Sinus-Termen:

c₀=a₀ für n0 c_n = 1

2a_n−jb_n für n0 c_n = 1

2a_∣n∣jb_∣n∣

Fourier-Integral

Wenn wir die Periodendauer nach unendlich gehen lassen (die Grundfrequenz nach Null), geht das Signal in einem nicht-periodischen über; das Linienspektrum in einem kontinuierlichen Spektrum;

die Summe in einem Integral. Beachte, dass jetzt über das komplette Signal integriert wird!

Vorwärtstransformation (Analyse): Fst = S =

∫

−∞

∞

ste^−jtdt Rücktransformation (Synthese): F⁻¹S = st = 1

2

∫

−∞

∞

Se^jtd mit S das (komplexe) Spektrum des Signals.

Es wird jetzt auch mehr im Allgemeinen über die Fourier-Transformation geredet.

Eigenschaften der Fourier-Transformation

wenn: Fat = A und Fbt = B

dann: Fk×at = k×A

Fatbt = AB

Fat−t₀ = e^−jt0A (Zeitverschiebung → Phasendrehung) Fat×bt = A ⊗ B (Multiplikation → Konvolution) F⁻¹A×B = at ⊗ bt

Konvolution (Faltung): a(x) ⊗ b(x) =

∫

−∞

∞

ax₀bx−x₀dx₀