H¨ohere Mathematik 3 Blatt G 10 C. Eck
Die Aufgaben werden am Donnerstag, dem 8.1.2009 in den Gruppen¨ubungen besprochen.
Aufgabe 37: Bestimmen Sie die komplexe Fourier-Reihe der periodischen Fortsetzung der unten abgebildeten Funktion.
1 2 3 4
1/2 1 3/2 2
Aufgabe 38: Die Funktion
f(x) =
0 f¨ur −1≤x <0 x3 f¨ur 0≤x <1 sei mit der Periode 2 fortgesetzt.
a) Berechnen Sie die Fourier–Reihe vonf.
b) F¨ur welchex∈R konvergiert die Fourier–Reihe gegen f(x) ? c) Berechnen Sie den Wert der Reihe
∞
X
n=1
1
(2n)2 = 1 22 + 1
42 + 1
62 +· · · ,
indem Sie die Fourier–Reihe an den Stellen x= 0 undx= 1 auswerten.
Aufgabe 39: Gegeben ist die Funktion
f(x) = −x3−x+ 3, |x|<1, die periodisch aufR fortgesetzt wird.
a) Bestimmen Sie die zweite Ableitung von f.
b) Ermitteln Sie die Fourier-Reihe vonf′′.
c) Bestimmen Sie mit Hilfe von b) die Fourier-Reihe von f.
Aufgabe 40: Gegeben ist die Funktion
f(x) =
x f¨ur −π ≤x <0
−x f¨ur 0≤x < π , die 2π-periodisch auf Rfortgesetzt wird.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Parseval-Identit¨at den Wert der Reihe
∞
X
n=1
1 (2n−1)4 .
Hinweis: Das Ergebnis ausAufgabe 35 kann hilfreich sein.
Haus¨ubung(6 Punkte)
Die 2π−periodische Funktion f :R→Rsei definiert durch
f(x) = 1
12(3x2−π2), −π≤x≤π . a) Skizzieren Sie den Graph von f f¨ur −2π≤x≤2π.
b) Bestimmen Sie die reelle Fourier-Reihe von f.
c) F¨ur welchex∈R konvergiert die Fourierreihe gegen f(x)?
d) Bestimmen Sie den Wert der Reihe
∞
X
k=1
1 k2
durch Auswertung der Fourierreihe an einem geeigneten Punkt.
