Zusammenhang komplexer und reeller Fourier-Reihen
Die komplexe Fourier-Reihe
f (x) = X
k∈Z
c
ke
ikxl¨ asst sich auch in Sinus-Kosinus-Form darstellen:
f (x) = a
02 +
∞
X
k=1
(a
kcos(kx ) + b
ksin(kx)) .
F¨ ur die Koeffizienten gelten die Umrechnungsformeln
a
0= 2c
0, a
k= c
k+ c
−k, b
k= i(c
k− c
−k) bzw.
c
0= 1
2 a
0, c
k= 1
2 (a
k− ib
k) , c
−k= 1
2 (a
k+ ib
k) f¨ ur k ≥ 1.
Die Fourier-Reihe ist genau dann reell, wenn c
−k= c
k.
Beispiel:
reelle und komplexe Fourier-Reihe der Funktion f (x) = sin
4x + cos
3x
x
−π 0 π
1
gerade Funktion
f (x) = (1 − cos
2x)
2+ cos
3x = 1 − 2 cos
2x + cos
3x + cos
4x
Umwandeln von cos
`x in Linearkombinationen von cos(kx)
Additionstheoreme
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
= ⇒
cos(2x) = cos
2x − sin
2x = 2 cos
2x − 1 cos(3x) = cos x cos(2x) − sin x sin(2x)
| {z }
=2 sinxcosx
