Systemtheorie III – WS 05/06 Prof. Dr.-Ing. habil. Hoffmann, TU Dresden Mitschrift

Systemtheorie III – WS 05/06

Prof. Dr.-Ing. habil. Hoffmann, TU Dresden Mitschrift

Fabian Kurz http://fkurz.net/

Zuletzt aktualisiert:

15. Januar 2006

Inhaltsverzeichnis

Teil 4: Stochastische Signale und Systeme 1

8 Stochastische Signale . . . . 1

8.1 Grundlagen . . . . 1

8.1.1 Eindimensionale Zufallsgr¨ oßen . . . . 1

8.1.2 Mehrdimensionale Zufallsgr¨ oßen . . . . 3

8.2 Zuf¨ allige Prozesse . . . . 9

8.2.1 Prozess und Realisierung . . . . 9

8.2.2 Verteilungs- und Dichtefunktion . . . . 10

8.2.3 Vektorprozesse . . . . 10

8.2.4 Spezielle Momente (einfache Prozesse) . . . . 10

8.3 Station¨ are Prozesse . . . . 12

8.3.1 Definitionen und Eigenschaften . . . . 12

8.3.2 Korrelationsfunktionen . . . . 12

8.3.3 Leistungsdichtespektrum . . . . 13

8.3.4 Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichtespektrum . . 14

8.4 Spezielle Prozesse . . . . 14

8.4.1 Gauß-Prozesse . . . . 14

8.4.2 Markov-Prozesse . . . . 14

9 Statische Systeme . . . . 16

9.1 Abbildung von Zufallsgr¨ oßen . . . . 16

9.1.1 Determinierte Systemabbildung . . . . 16

9.1.2 Transformation der Dichtefunktion . . . . 16

9.1.3 Vorgeschriebene Verteilungsfunktion . . . . 19

9.1.4 Erwartungswert am Systemausgang . . . . 20

9.2 Abbildungen zuf¨ alliger Prozesse . . . . 20

9.2.1 Determinierte Prozessabbildung . . . . 20

9.2.2 Transformation der Dichtefunktion . . . . 21

9.2.3 Mittelwert und Korrelationskoeffizient am Systemausgang . . . . 22

9.3 Stochastische statische Systeme . . . . 22

9.3.1 Stochastische Systemabbildung . . . . 22

9.3.2 Erwartungswert und bedingter Erwartungswert . . . . 23

9.3.3 Stochastische Prozessabbildung . . . . 24

10 Dynamische Systeme . . . . 24

10.1 Analysis zuf¨ alliger Prozesse . . . . 24

10.1.1 Konvergenz im quadratischen Mittel . . . . 24

10.1.2 Stetigkeit im quadratischen Mittel . . . . 25

10.1.3 Differentiation im quadratischen Mittel . . . . 25

10.1.4 Integration im quadratischen Mittel . . . . 26

10.2 Lineare dynamische Systeme . . . . 27

10.2.1 Grundgleichungen . . . . 27

10.2.2 Mittelwert, Korrelationsfunktion und Leistungsdichtespektrum . 28

10.2.3 Korrelationsfunktion am Systemausgang . . . . 29

10.2.4 Station¨ are Gaußprozesse . . . . 30

10.3 Anwendungen station¨ arer Prozesse . . . . 32

10.3.1 Ergodizit¨ at . . . . 32

10.3.2 Sch¨ atzung von s

X

(τ ) bzw. S

X

(ω) . . . . 32

Teil 4: Stochastische Signale und Systeme

- x(t) 6

t ^a System ^a ?

8 Stochastische Signale

8.1 Grundlagen

8.1.1 Eindimensionale Zufallsgr¨ oßen Voraussetzungen:

ˆ zuf¨ allige Ereignisse

ˆ Wahrscheinlichkeit

ˆ bedingte Wahrscheinlichkeit

ˆ Bayessche Formel

ˆ eindimensionale Zufallsgr¨ oße

'

&

$

% Ω

@

ω r

R

X _- x = X(ω) Ω: Ereignisraum

ω: Elementarereignis X: Zufallsgr¨ oße

x: Wert der Zufallsgr¨ oße X : Ω −→ R , x = X(ω)

Zufallsgr¨ oße ^*

H H j stetig (z.B. Lebensdauer)

diskret (z.B. Ergebnis des W¨ urfelns)

M¨ oglichkeiten zur Beschreibung der Zufallsgr¨ oße X:

a) Verteilungsfunktion F

_X

F

_X

(ξ) = P {X < ξ}

F

X

gibt die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur an, daß die Zu- fallsgr¨ oße X einen Wert annimmt, der kleiner als ξ ist.

Beispiel f¨ ur diskrete ZG:

6

- F

X

(ξ)

1 2 3 4 5 6 ξ

1

P(ξ=4)

Beispiel f¨ ur stetige ZG:

6

- F

X

(ξ)

ξ 1

Eigenschaften von F

X

: 1) 0 ≤ F

X

(ξ) ≤ 1

2) F

_X

(−∞) = 0, F

_X

(+∞) = 1

3) F

_X

ist linksseitig stetig und nicht fallend b) Dichtefunktion f

_X

Gibt es eine integrierbare Funktion f

_X

derart, daß

F

X

(ξ) =

ξ

Z

−∞

f

X

(x) dx

dann heißt f

X

Dichtefunktion (Dichte ) der Zufallsgr¨ oße X.

Beispiel f¨ ur diskrete ZG:

6

- f

_X

(x)

6 6 6 6 6 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 2 3 4 5 6 x

Beispiel f¨ ur stetige ZG:

6

- f

_X

(x)

x

a b

Eigenschaften von f

_X

: 1) f

_X

(x) ≥ 0 2)

∞

R

−∞

f

_X

(x) dx = 1 3)

^dFX_dξ^(ξ)

= f

_X

(ξ)

Wichtige Gleichung:

P (a ≤ X ≤ b) = F

_X

(b) − F

_X

(a) =

b

Z

a

f

_X

(x) dx

c) Mittelwerte, Momente, Erwartungswert

Ord. Symbol X stetig X diskret Bezeichnung

Gew¨ ohnliche Momente

1. E(X )

∞

R

−∞

x · f

_X

dx P

i

x

_i

· P {X = x

_i

} Mittelwert, Erwartungswert, Gleichanteil 2. E(X

²

)

∞

R

−∞

x

²

· f

X

dx P

i

x

i2

· P {X = x

i

} Quadratischer Mittelwert, Effek- tivwertquadrat .. .

n. E(X

ⁿ

)

∞

R

−∞

x

ⁿ

· f

X

dx P

i

x

in

· P {X = x

i

} Gew¨ ohnliches Moment n-ter Ordnung Zentrale Momente

1. E(X − E(X)) 0 0

2. E[(X − E(X))

²

]

∞

R

−∞

(X − E(X ))

²

f

X

(x) dx P

i

(X − E(X ))

²

P {X = x

i

} Dispersion, Varianz .. .

n. E[(X −E(X ))

ⁿ

]

∞

R

−∞

(X −E(X))

ⁿ

f

X

(x) dx P

i

(X − E(X))

ⁿ

P {X = x

i

} Zentr. Moment n-ter Ordnung Diskussion:

ˆ E(X) ist ein zentraler Wert der Zufallsgr¨ oße X, um den sich die Werte von X gruppieren.

ˆ Der Effektivwert p

E(x

²

) ist die Norm der Zufallsgr¨ oße.

ˆ Die Varianz E[(X − E(X))

²

] = Var(X) = D

²

(X) beschreibt die Streuung der Werte von X um den Erwartungswert

8.1.2 Mehrdimensionale Zufallsgr¨ oßen Beispiel: Scheibenschießen → Zahlenpaar (x

1

, x

2

)

Definition: Bezeichnen X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

eindimensionale Zufallsgr¨ oßen, so heißt X = (X

₁

, X

₂

, . . . , X

n

) n-dimensionale Zufallsgr¨ oße oder zuf¨ alliger Vektor.

'

&

$

% Ω

@

ω r

R R R

X - x

1

x

2

· · ·

x

_n

X : Ω −→ R

ⁿ

X(ω) = (X

1

, X

2

, . . . , X

n

)

Im Weiteren meist Beschr¨ ankung auf n = 2, d.h. X = (X

₁

, X

₂

).

Mathematische Beschreibung zweidimensionaler Zufallsgr¨ oßen a) Verteilungsfunktion F

_X

6

- R

R ξ

2

ξ

1

F

_X

(ξ

1

, ξ

2

) = P {X

₁

< ξ

1

, X

2

< ξ

2

}

Eigenschaften von F

_X

: 1) 0 ≤ F

X

(ξ

1

, ξ

2

) ≤ 1

2) F

_X

(−∞, ξ

₂

) = F

_X

(ξ

₁

, −∞) = F

_X

(−∞, −∞) = 0, F

_X

(+∞, +∞) = 1

3) F

_X

ist linksseitig stetig und nichtfallend in jeder der Komponenten ξ

₁

und ξ

₂

. b) Dichtefunktion f

X

Gibt es eine Funktion f

X

, so daß

F

_X

(ξ

₁

, ξ

₂

) =

ξ2

Z

−∞

ξ1

Z

−∞

f

_X

(x

₁

, x

₂

) dx

₁

dx

₂

,

so heißt f

X

(x

1

, x

2

) Dichtefunktion des zuf¨ alligen Vektors X = (X

1

, X

2

).

Beispiel: Normalverteilung

6

Q Q

Q Q

Q Q

Q Q s 1 f

X

(x

1

, x

2

)

x

₁

m

1

x

₂

m

2

X = (X

₁

X

₂

) heißt normalverteilt, wenn gilt:

f

_X

(x

₁

, x

₂

) = 1 2πσ

₁

σ

₂

p

1 − %

²

· exp

− 1

2(1 − %

²

)

(x

₁

− m

₁

)

²

σ

12

− 2% (x

1

− m

1

)(x

2

− m

2

) σ

1

σ

2

+ (x

2

− m

2

)

²

σ

22

mit m

₁

, m

₂

∈ R , σ

_1,2

> 0, |%| ≤ 1

Eigenschaften von f

X

: 1) f

_X

(x

₁

, x

₂

) ≥ 0 2)

∞

R

−∞

∞

R

−∞

f

X

(x

1

, x

2

) dx

1

dx

2

= 1 3)

^∂F_∂ξ^X(ξ1,ξ2)

1∂ξ2

= f

X

(ξ

1

, ξ

2

)

R

a

₁

b

1

R b

₂

a

2

B

P {X ∈ B} = P {a

₁

≤ X

₁

≤ b

₁

, a

₂

≤ X

₂

≤ b

₂

}

= F

_X

(b

1

, b

2

) − F

_X

(b

1

, a

2

) − F

_X

(a

1

, b

2

) + F

_X

(a

1

, a

2

) =

b2

Z

a2

b1

Z

a1

f

_X

(x

1

, x

2

) dx

1

dx

2

Verallgemeinerung: P {X ∈ B} = x

(B)

f

X

(x

1

, x

2

) dx

1

dx

2

c) Randverteilungsfunktionen

Gegeben sei X = (X

1

, X

2

). Wir bilden

F

_X

(ξ

₁

, ∞) = P {X

₁

< ξ

₁

, X

₂

< ∞

| {z }

sicheres Ereignis

} = P {X

₁

< ξ

₁

} = F

_X1

(ξ

₁

) =

ξ1

Z

−∞

f

_X1

(x

₁

) dx

₁

(1)

F

_X1

heißt Randverteilungsfunktion von X

₁

in X = (X

₁

, X

₂

). f

_X1

heißt Randdichtefunktion von X

1

in X = (X

1

, X

2

).

F

_X

(ξ

1

, ∞) =

∞

Z

−∞

ξ1

Z

−∞

f

_X

(x

1

, x

2

) dx

1

dx

2

=

ξ1

Z

−∞

∞

Z

−∞

f

_X

(x

1

, x

2

) dx

2

| {z }

= Integrand von (1)b

dx

1

f

_X1

(x

1

) =

∞

Z

−∞

f

_X

(x

1

, x

2

) dx

Analog gilt: F

_X2

(ξ

₂

) = F

_X

(∞, ξ

₂

) bzw. f

_X2

(x

₂

) =

∞

R

−∞

f

_X

(x

₁

, x

₂

) dx

₁

d) Bedingte Verteilungsfunktion

gegeben: X = (X

₁

, X

₂

) mit F

_X

bzw. f

_X

gesucht: P{X ∈ B

1

|X ∈ B

2

}

R

R B

2

B

₁

'

&

$

%

P {X ∈ B

1

|X ∈ B

2

} = P {X ∈ B

1

, X ∈ B

2

}

P {X ∈ B

2

} = P {X ∈ B

1

∩ B

2

} P {X ∈ B

2

}

= s

(B1∩B₂)

f

_X

(x

₁

, x

₂

) dx

₁

dx

₂

s

(B2)

f

X

(x

1

, x

2

) dx

1

dx

2

Sonderfall: gesucht: P {X

₁

< ξ

₁

|X

₂

= x

₂

} = F

_X1

{ξ

₁

|x

₂

} =

ξ1

R

−∞

f

_X1

(x

₁

|x

₂

) dx

₁

mit

f

_X1

(x

₁

|x

₂

) = f

_X

(x

₁

, x

₂

) f

_X

(x

₂

)

F

_X1

(ξ

1

|x

₂

) heißt bedingte Verteilungsfunktion, f

_X1

(x

₁

|x

₂

) heißt bedingte Dichtefunktion.

R

R x

2

ξ

₁

Analog gilt:

P {X

₂

< ξ

₂

|X

₁

= x

₁

} = F

_X2

{ξ

₂

|x

₁

} =

ξ2

R

−∞

f

_X2

(x

₂

|x

₁

) dx

₂

mit f

_X2

(x

₂

|x

₁

) = f

_X

(x

₁

, x

₂

) f

X

(x

1

)

Beachte: Die Zufallsgr¨ oßen X

1

und X

2

in einem zuf¨ alligen Vektor X mit X = (X

1

, X

2

) sind unabh¨ angig, falls

f

_X1

(x

₁

|x

₂

) = f

_X

(x

₁

, x

₂

)

f

X2

(x

2

) = f

_X1

(x

₁

) ⇔ X

₁

unabh¨ angig von X

₂

und

f

X2

(x

2

|x

₁

) = f

X

(x

1

, x

2

)

f

_X1

(x

₁

) = f

X2

(x

2

) ⇔ X

2

unabh¨ angig von X

1

. F¨ ur unabh¨ angige X

1

, X

2

des Vektors X = (X

1

, X

2

) gilt also:

f

X

(x

1

, x

2

) = f

X1

(x

1

) · f

X2

(x

2

)

Definition (Verallgemeinerung): Die Zufallsgr¨ oßen X

1

, X

2

, . . . , X

n

in einem zuf¨ alli- gen Vektor X = (X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

) sind genau dann unabh¨ angig, falls gilt:

f

_X

(x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

) = f

_X1

(x

₁

) · f

_X2

(x

₂

) · . . . · f

_Xn

(x

_n

) bzw.

F

_X

(ξ

₁

, ξ

₂

, . . . , ξ

_n

) = F

_X1

(ξ

₁

) · F

_X2

(ξ

₂

) · . . . · F

_Xn

(ξ

_n

).

Beispiel: Normalverteilung Die Dichtefunktion f

X

(x

1

, x

2

) =

¹

2πσ1σ2

√

1−%²

· exp h

−

_2(1−%¹ ₂₎

·

(x1−m1)²

σ12

−

^2%(x1−m_σ^1)(x2−m2)

1σ2

+

^(x2−m_σ ²⁾²

22

i der Normalverteilung liefert f¨ ur den Sonderfall % = 0:

f

X

(x

1

, x

2

) = 1 2πσ

1

σ

2

· exp

− 1 2

(x

₁

− m

₁

)

²

σ

12

+ (x

₂

− m

₂

)

²

σ

22

= 1

√ 2πσ

1

exp

− 1 2

(x

1

− m

1

)

²

σ

₁²

| {z }

fX1(x1)

· 1

√ 2πσ

2

exp

− 1 2

(x

2

− m

2

)

²

σ

₂²

| {z }

fX2(x2)

Es gilt also % = 0 ist gleichbedeutend mit der Unabh¨ angigkeit von X

₁

und X

₂

.

e) Spezielle Momente

1) Erwartungswert eines zuf¨ alligen Vektors X = (X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

)

E(X) = (E(X

₁

), E(X

₂

), . . . , E(X

_n

)) definiert als n-Tupel der Erwartungswerte der Komponenten mit E(X

_i

) =

∞

R

−∞

x

_i

· f

_Xi

(x

_i

) dx

_i

(i = 1, 2, . . . , n).

Regel:

E(X

₁

+ X

₂

) =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

(x

₁

+ x

₂

)f

_X

(x

₁

, x

₂

) dx

₂

dx

₁

=

∞

Z

−∞

x

1

∞

Z

−∞

f

X

(x

1

, x

2

) dx

2

| {z }

fX1(x1)

dx

1

+

∞

Z

−∞

x

2

∞

Z

−∞

f

X

(x

1

, x

2

) dx

1

| {z }

fX2(x2)

dx

2

=

∞

Z

−∞

x

₁

f

_X1

(x

₁

) dx

₁

+

∞

Z

−∞

x

₂

f

_X2

(x

₂

) dx

₂

= E(X

₁

) + E (X

₂

)

Damit gilt E(X

₁

+ X

₂

) = E(X

₁

) + E(X

₂

) bzw. verallgemeinert

E(X

₁

+ X

₂

+ . . . + X

_n

) = E(X

₁

) + E(X

₂

) + · · · + E(X

_n

) 2) Skalarprodukt von X

₁

und X

₂

E(X

₁

· X

₂

) =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

x

₁

· x

₂

· f

_X

(x

₁

, x

₂

) dx

₂

dx

₁

Sonderfall: X

1

und X

2

seien unabh¨ angig:

E(X

₁

· X

₂

) =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

x

₁

· x

₂

· f

_X1

(x

₁

) · f

_X2

(x

₂

) dx

₂

dx

₁

=

∞

Z

−∞

x

₁

· f

_X1

(x

₁

) dx

₁

·

∞

Z

−∞

x

₂

· f

_X2

(x

₂

) dx

₂

= E(X

₁

) · E(X

₂

)

Damit gilt nur f¨ ur unabh¨ angige X

₁

und X

₂

: E(X

₁

· X

₂

) = E(X

₁

) · E(X

₂

) bzw.

verallgemeinert:

E(X

1

· X

2

· . . . · X

n

) = E(X

1

) · E(X

2

) · . . . · E(X

n

) 3) Kovarianz von X

1

und X

2

(Gemischtes Zentralmoment)

E((X

1

− E(X

1

))(X

2

− E(X

2

))) =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

(x

1

− E(X

1

))(x

2

− E(X

2

)) · f

X

(x

1

, x

2

) dx

2

dx

1

= Cov (X

₁

, X

₂

)

Regel: (mit E(a · X) = a · E(X), E(a) = a f¨ ur a ∈ R ) Cov (X

₁

, X

₂

) = E((X

₁

− E(X

₁

))(X

₂

− E(X

₂

)))

= E(X

₁

· X

₂

− X

₁

E(X

₂

) − X

₂

E(X

₁

) + E (X

₁

)E(X

₂

))

= E(X

1

· X

2

) − E(X

1

) · E(X

2

) −

(( E(X ((

2

)E(X (( (

1

) +

(( E(X ((

1

)E(X (( (

2

) Sonderfall: X

1

und X

2

sind unabh¨ angig, also E(X

1

) · E(X

2

) = E(X

1

· X

2

):

Cov (X

1

, X

2

) = E(X

1

)E(X

2

) − E(X

2

)E(X

1

) = 0 Beachte:

a) Cov (X

1

, X

2

) kann zur Untersuchung der Abh¨ angigkeit von Zufallsgr¨ oßen dienen b) Cov (X

₁

, X

₁

) = Var (X

₁

)

4) Korrelationskoeffizient (normiertes Maß f¨ ur die Abh¨ angigkeit zon Zufallsgr¨ oßen):

% = %(X

₁

, X

₂

) = Cov (X

₁

, X

₂

) p Var (X

1

) · Var (X

2

) Eigenschaften von %: (Beweis: siehe Lehrbuch)

a) %

²

≤ 1 oder −1 ≤ % ≤ 1

b) % = 0 ⇔ Cov (X

1

, X

2

) = 0 d.h. X

1

und X

2

sind unkorreliert

Beachte: Unabh¨ angige Zufallsgr¨ oßen X

₁

und X

₂

sind auch stets unkorreliert, aber nicht notwendigerweise umgekehrt. Sonderfall: Wenn X

₁

und X

₂

normal- verteilt sind ist unabh¨ angig gleichbedeutend mit unkorreliert.

c) %

²

= 1 ⇔ P{X

₂

= aX

1

+ b} = 1 mit a, b ∈ R dann sind X

1

und X

2

maximal korreliert.

Wahrscheinlichkeit 1 heißt nur: fast sicher, Wahrscheinlichkeit 0 heißt nur: fast unm¨ oglich.

R

R

R

R

% = 1

x2=ax1+b

% = 0

p p p p p pp p p p

p

p p

pp p p p p p p

p p p p

p p p p p p

p p p p

pp p pp p

p pp p p p

p p p

p p p p

R

R

R

R

% ≈ 0,7

p ppppp pp p pppppp p p p pp ppppp pp pppp ppp p ppppp pppp pp pppp ppppp pp pppp pp ppp p p pppppp ppppp p p p pppp pp ppp pppp p p pppp % ≈ −0,7

pppppp p ppp pp p ppppp pp pp p pp pp p p p pp p pp p ppppp p pp pp pp p ppp ppppppppp pp pp pppp pppppp pppp pp p ppp pppppppp p ppp pppp

5) Kovarianzmatrix des zuf¨ alligen Vektors X = (X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

)











Cov (X

1

, X

1

) Cov (X

1

, X

2

) · · · Cov (X

1

, X

n

) Cov (X

₂

, X

₁

) Cov (X

₂

, X

₂

) · · · Cov (X

₂

, X

_n

)

.. . .. . . .. .. .

Cov (X

_n

, X

₁

) Cov (X

_n

, X

₂

) · · · Cov (X

_n

, X

_n

)











= Cov X

In der Hauptdiagonalen stehen die Varianzen Cov (X

_i

, X

_i

) = Var (X

_i

), (mit i = 1, 2, . . . , n).

Regel (ohne Beweis): det Cov (X) = 0 ⇔ P

_n

P

i=1

a

i

x

i

+ k = 0

= 1

Mit der Wahrscheinlichkeit 1 (also fast sicher) besteht zwischen den Komponenten von X eine lineare Beziehung.

8.2 Zuf¨ allige Prozesse

8.2.1 Prozess und Realisierung

Beispiele zuf¨ alliger Signale in Natur und Technik:

ˆ Temperatur, Luftdruck in Abh¨ angigkeit von der Zeit in einem bestimmten Punkt der Erdoberfl¨ ache

ˆ Neigungswinkel eines Schiffes bei Seegang

ˆ Durchmesser eines Webfadens in Abh¨ angigkeit von der L¨ ange

ˆ Strom und Spannung in einer Fernsprechleitung

ˆ Thermisches Rauschen eines Ohmschen Widerstandes

Die Wiederholung eines Experiments liefert unterschiedlichen Realisierungen.

Gesucht ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung dieser zuf¨ alligen Signale.

Ausgangspunkt:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 t

s s

s

s

@

@

@

s s

s s

H H H

H H H

H H H H

H H

−→ T

Zuf¨ alliger Vektor

X = (X

1

, X

2

, . . . , X

n

) = (X

i

)

i∈I

I : Indexmenge, hier: Zeitskala T

Es gilt:

a) Die Indexmenge erh¨ alt die Bedeutung einer Zeitskala T .

b) Die Familie (X

t

)

t∈T

mit T ⊂ Z von Zufallsgr¨ oßen X

t

heißt zuf¨ alliger Prozess mit diskreter Zeit.

c) Die Folge x = (x

t

)

t∈T

der auftretenden Werte heißt Realisierung des zuf¨ alligen Prozesses mit diskreter Zeit.

d) Verallgemeinerung: Die Familie X = (X

_t

)

t∈T

mit T ⊂ R von Zufallsgr¨ oßen X

_t

heißt zuf¨ alliger Prozess mit stetiger Zeit.

e) Die Realisierungen eines zuf¨ alligen Prozesses mit stetiger Zeit sind (reelle) Zeitfunktionen.

T ⊂ R Realisierung r

r

t X

_t

Wird ein Prozess zu einem festen Zeitpunkt t be-

trachtet, erh¨ alt man eine Zufallsgr¨ oße X

_t

= X(t).

Beispiel:

X(t) = U · ( 1 (t − V ) − 1 (t − W )) U, V , W : ZGen mit bekannter Verteilungsfunktion x(t) = u · ( 1 (t − v) − 1 (t − w)) u, v, w : Werte der obigen Zufallsgr¨ oßen

Schema:

6

- X(t)

t U

V W

Realisierungen:

6

- x(t)

t

8.2.2 Verteilungs- und Dichtefunktion

T ⊂ R X(t) t

2

X(t

₂

) r t

1

X(t

₁

)

r r

t

n

X(t

_n

)

Wird ein zuf¨ alliger Prozess X zu festen Zeitpunkten t

₁

, t

₂

, . . . , t

_n

betrachtet, erh¨ alt man einen zuf¨ alli- gen Vektor (X(t

1

), X(t

2

), . . . , X (t

n

)).

Ubertragung der Definitionen aus 8.1.2: ¨ a) Verteilungsfunktion

zuf. Vektor: F

_X

(ξ

1

, ξ

2

, . . . , ξ

n

) = P (X

1

< ξ

1

, X

2

< ξ

2

, . . . , X

n

< ξ

n

)

zuf. Prozess: F

_X

(ξ

₁

, t

₁

; ξ

₂

, t

₂

; . . . ; ξ

_n

, t

_n

) = P (X

₁

(t

₁

) < ξ

₁

, X

₂

(t

₂

) < ξ

₂

, . . . , X

_n

(t

_n

) < ξ

_n

)

→ n-dimensionale Verteilungsfunktion des Prozesses X Sonderf¨ alle:

n = 1 F

_X

(ξ, t) = P (X(t) < ξ) eindimensionale Vfkt n = 2 F

_X

(ξ

₁

, t

₁

; ξ

₂

, t

₂

) = P (X(t

₁

) < ξ

₁

; X(t

₂

) < ξ

₂

) zweidimensionale Vfkt b) Dichtefunktion: Wenn sich die n-dimensionale Verteilungsfunktion F

X

als

F

_X

(ξ

₁

, t

₁

; ξ

₂

, t

₂

; . . . ; ξ

_n

, t

_n

) =

ξ1

Z

−∞

· · ·

ξn

Z

−∞

f

_X

(x

₁

, t

₁

; x

₂

, t

₂

; . . . ; x

_n

, t

_n

) dx

_n

· · · dx

₁

darstellen l¨ aßt, heißt f

_X

n-dimensionale Dichtefunktion dieses Prozesses X.

8.2.3 Vektorprozesse

Sind X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

zuf¨ allige Prozesse, dann heißt X = (X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

) n-dimensionaler Vektorprozess.

8.2.4 Spezielle Momente (einfache Prozesse) (1) Erwartungswert

E[X(t)] =

∞

Z

−∞

xf

_X

(x, t) dx = m

_X

(t) zeitabh¨ angig!

T ⊂ R - t

X(t) r m

X

(t)

Beachte: Der Erwartungswert m

_X

(t) [dicke Linie]

hat im Allgemeinen nichts zu tun mit dem zeitlichen Mittelwert einer Realisierung

(2) Varianz

E

(X(t) − m

_X

(t))

²

=

∞

Z

−∞

(x − m

_X

(t))

²

f

_X

(x, t) dx = Var (x)

(3) Korrelationsfunktion (Autokorrelationsfunktion, AKF)

E [X(t

1

)X(t

2

)] =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

x

1

x

2

· f

X

(x

1

, t

1

; x

2

, t

2

) dx

2

dx

1

= s

X

(t

1

, t

2

) = ψ

XX

(t

1

, t

2

) Eigenschaften:

a) s

_X

(t

₁

, t

₂

) = s

_X

(t

₂

, t

₁

) b) s

_X

(t, t) = E

X

²

(t)

≥ 0 (4) Kovarianzfunktion

E [(X(t

1

) − m

X

(t

1

))(X(t

2

) − m

X

(t

2

))] =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

(x

₁

− m

_X

(t

₁

))(x

₂

− m

_X

(t

₂

))f

_X

(x

₁

, t

₁

; x

₂

, t

₂

) dx

₂

dx

₁

= Cov (X(t

₁

), X(t

₂

)) Eigenschaften:

a) Cov (X(t

1

), X(t

2

)) = E [X(t

1

)X(t

2

)] − E [X(t

1

)] E[X(t

2

)] = s

X

(t

1

, t

2

) − m

X

(t

1

) · m

X

(t

2

) b) Cov (X(t), X(t)) = Var (X(t))

(5) Kovarianzmatrix

Cov (X) =











Cov (X(t

₁

), X(t

₁

)) Cov (X(t

₁

), X(t

₂

)) · · · Cov (X(t

₁

), X(t

_n

)) Cov (X(t

₂

), X(t

₁

)) Cov (X(t

₂

), X(t

₂

)) · · · Cov (X(t

₂

), X(t

_n

))

.. . .. . . .. .. .

Cov (X(t

_n

), X(t

₁

)) Cov (X(t

_n

), X(t

₂

)) · · · Cov (X(t

_n

), X(t

_n

))











(6) Kreuzkorrelationsfunktion (zwei Prozesse X und Y ) E[X(t

1

)Y (t

2

)] =

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

xy · f

_(XY)

(x, t

1

; y, t

2

) dy dx = s

XY

(t

1

, t

2

) = ψ

XY

(t

1

, t

2

) Eigenschaften:

a) s

XY

(t

1

, t

2

) = s

Y X

(t

2

, t

1

)

b) s

_XX

(t

₁

, t

₂

) = s

_X

(t

₁

, t

₂

) (AKF)

8.3 Station¨ are Prozesse

8.3.1 Definitionen und Eigenschaften

T ⊂ R -

∆

t1 t2 tn t1+∆ t2+∆ tn+∆

x

Definition: Der zuf¨ allige Prozess X heißt station¨ ar, wenn f¨ ur beliebige n uund ∆ gilt:

F

_X

(ξ

₁

, t

₁

; ξ

₂

, t

₂

; . . . ; ξ

_n

, t

_n

) = F

_X

(ξ

₁

, t

₁

+ ∆; ξ

₂

, t

₂

+ ∆; . . . ; ξ

_n

, t

_n

+ ∆) Entsprechendes gilt f¨ ur die Dichtefunktion.

Folgerungen

n=1: In f

X

(x, t + ∆) = f

X

(x, t) ist ∆ beliebig, also auch ∆ = −t.

⇒ f

_X

(x, t) = f

_X

(x, 0) zeitunabh¨ angig

⇒ E[X(t)] =

∞

R

−∞

xf

X

(x, 0) dx = m

X

(0) = m

X

= const

n=2: In f

X

(x

1

, t

1

+ ∆; x

2

, t

2

+ ∆) = f

X

(x

1

, t

1

; x

2

, t

2

) ist ∆ beliebig, also auch ∆ = −t

₁

.

⇒ f

X

(x

1

, t

1

; x

2

, t

2

) = f

X

(x

1

, 0; x

2

, t

2

− t

1

| {z }

τ

)

⇒ s

_X

(t

₁

, t

₂

) = E[X(t

₁

)X(t

₂

)] = s

_X

(t

₂

− t

₁

) = s

_X

(τ ) = E[X(t) · X(t + τ )]

Definition: X heißt schwach station¨ ar (station¨ ar im weiteren Sinne), wenn a) e[x(t)] = m

_x

= const

b) e[x(t

1

)x(t

2

)] = s

x

(t

1

, t

2

) = s

x

(t

2

− t

1

) = s

x

(τ ) c) e

x

²

(t)

< ∞

Im weiteren werden in 8.3 station¨ are Prozesse mit m

_X

= 0 betrachtet.

8.3.2 Korrelationsfunktionen Eigenschaften:

a) s

_X

(τ ) = s

_X

(−τ ) (gerade Funktion) b) |s

_X

(τ )| ≤ s

_X

(0) (s. Aufgabe 8.21) Typische Verl¨ aufe:

6

- s

X

(τ )

τ

6

- s

X

(τ )

τ

6

- s

X

(τ )

τ

Anschauliche Erkl¨ arung der AKF

T ⊂ R

t t+τ1 t+τ2

3 r r 2 r 1

3 r r 2 r 1

r rr

1 3 2

6

- x(t + τ )

x(t) 1 r 2

3

r

r

τ = 0 maximal korreliert

6

- x(t + τ )

x(t) r 1 2

3

r

r

τ = τ

1

stark korreliert

6

- x(t + τ )

r x(t) 1 2 3

r r

τ = τ

2

schwach korreliert 8.3.3 Leistungsdichtespektrum

Sei s

X

(τ ) ¨ uberall stetig und absolut integrierbar. Dann sei S

X

(ω) =

∞

Z

−∞

s

X

(τ ) · e

^jωτ

dτ, s

X

(τ ) = 1 2π

∞

Z

−∞

S

X

(ω) · e

^jωτ

dω.

Die Bildfunktion S

_X

(ω) heißt Leistungsdichtespektrum (Theorem von Wiener und Hinqin ).

Bedeutung von S

X

(ω):

ˆ leicht messtechnisch erfassbar

ˆ einfache Zusammenh¨ ange bei linearen Systemen Eigenschaften von S

X

(ω):

(1) S

_X

(ω) = S

_X

(−ω) (gerade Funktion) (2) S

_X

(ω) ≥ 0 (reell)

(3) E[X

²

(t)] = S

X

(0) =

¹₂

∞

R

−∞

S

X

(ω) e

^−jωτ

| {z }

1

dω =

_2π¹

∞

R

−∞

S

X

(ω) dω ≥ 0

Typische Verl¨ aufe: (1–3, 4: AKF von 3., weißes Rauschen) 6

-

SX(ω)

ω

6

-

SX(ω)

ω

6

-

SX(ω)

ω S

₀

6

-

sX(τ)

τ 6 S

0

· δ(τ )

Definition: Ein zuf¨ alliger Prozess mit S

X

(ω) = S

0

= const heißt weißes Rauschen. Idealisie-

rung, weil E[X

²

(t)] → ∞.

8.3.4 Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichtespektrum Zwei station¨ are Prozesse X und Y .

f

_(X,Y)

(x, t

₁

; y, t

₂

) = f

_(X,Y)

(x, t

₁

+ ∆; y; t

₂

+ ∆) (station¨ ar verbundene Prozesse). Dann gilt analog zu 8.3.1:

s

XY

(t

1

, t

2

) = E[X(t

1

)Y (t

2

)] = s

XY

(0, t

2

− t

1

) = s

XY

(τ ) mit den Eigenschaften: s

_XY

(τ ) = s

_{Y X}

(−τ ) und s

_XY

(−τ ) = s

_{Y X}

(τ ) Definition: Kreuzleistungsdichtespektrum

S

_XY

(ω) =

∞

Z

−∞

s

_XY

(τ )e

^−jωτ

dτ, s

_XY

(τ ) = 1 2π

∞

Z

−∞

S

_XY

(ω)e

^jωτ

dω

8.4 Spezielle Prozesse

8.4.1 Gauß-Prozesse

Ein zuf¨ alliger Prozess heißt Gauß-Prozess oder normaler Prozess, falls:

f

_X

(x

₁

, t

₁

; . . . ; x

_n

, t

_n

) = 1

p (2π)

ⁿ

det C exp

− 1

2 (x − m)C

⁻¹

(x − m)

⁰

(x − m) = x

1

− m

X

(t

1

) x

2

− m

X

(t

2

) · · · x

n

− m

X

(t

n

)

Zeilenvektor

(x − m)

⁰

= (x − m)

^T

=









x

₁

− m

_X

(t

₁

) x

₂

− m

_X

(t

₂

)

· · · x

_n

− m

_X

(t

_n

)









Spaltenvektor

C =











Cov (X(t

1

), X(t

1

)) · · · Cov (X(t

1

), X (t

n

)) Cov (X(t

₂

), X(t

₁

)) · · · Cov (X(t

₂

), X (t

_n

))

.. . . .. .. .

Cov (X(t

_n

), X(t

₁

)) · · · Cov (X(t

_n

), X(t

_n

))











Kovarianzmatrix

Cov (X(t

_i

), X(t

_j

)) = s

_X

(t

_i

, t

_j

) − m

_X

(t

_i

) · m

_X

(t

_j

)

Beachte: Der Gauß-Prozess ist durch m

_X

(t) und s

_X

(t

₁

, t

₂

) vollst¨ andig charakterisiert.

8.4.2 Markov-Prozesse

Folge aufeinanderfolgender Zeitpunkte: t

₁

< t

₂

< t

₃

< · · · < t

_n

Definition 1: Ein Prozess X heißt rein stochastisch (ohne Ged¨ achtnis), falls f

_X

(x

_n

t

_n

| x

₁

, t

₁

; x

₂

, t

₂

; . . . ; x

n−1

, t

n−1

| {z }

bekannte Vergangenheit

) = f

_X

(x

_n

t

_n

)

z.B. W¨ urfeln.

Definition 2: Ein Prozess heißt Markov-Prozess, wenn

f

_X

(x

_n

t

_n

|x

₁

, t

₁

; x

₂

, t

₂

; . . . ; x

n−1

, t

n−1

) = f

_X

(x

_n

t

_n

|x

_n−1

, t

n−1

) z.B. Automat

Beispiel: Wiener-Prozess (Brausche Bewegung); T = [0, ∞) f

X

(x, t) =

( δ(x) t = 0

√1 2π

exp

−

^x_2t²

t > 0

f

_X

(x

₂

, t

₂

|x

₁

, t

₁

) =

( δ(x

2

− x

1

) t

2

= t

1

√

1

2π(t2−t₁)

exp h

−

^(x_2(t^2−x1)2

2−t1)

i

sonst

9 Statische Systeme

9.1 Abbildung von Zufallsgr¨ oßen 9.1.1 Determinierte Systemabbildung

X



 

 

 

  X

₁

X

2

.. . X

l

Y

₁

Y

2

.. . Y

m



 

 

 

  Y a

a a

a a a

.. . .. .

Φ

y = Φ(x)

Definition: Ein statistisches System heißt de- terminiert, falls f¨ ur alle ω ∈ Ω gilt, daß mit y = Y (ω) und x = X(ω) gilt:

y = Φ(x) [Stochastische Systemabbildung → 9.3.1]

9.1.2 Transformation der Dichtefunktion

gegeben: Zuf¨ alliger Vektor X mit F

_X

oder f

_X

, Systemabbildung Φ gesucht: F

Y

oder f

y

des zuf¨ alligen Vektors Y am Systemausgang Zun¨ achst: L¨ osung f¨ ur den Sonderfall l = m = 2 und Φ bijektiv.

Φ

bijektiv a

a

a a X





 X

₁

X

2

Y

₁

Y

2





 Y

Y = Φ(X) bestehe aus den Teilabbildungen Y

₁

= ϕ

₁

(X

₁

, X

₂

)

Y

₂

= ϕ

₂

(X

₁

, X

₂

) Dann gilt f¨ ur die Werte der Zufallsgr¨ oßen Y

₁

= ϕ(x

₁

, x

₂

) und Y

₂

= ϕ(x

₁

, x

₂

):

6

- R

R

6

- R

R X

2

X

₁

X q '

&

$

% Φ

⁻¹

(B)

@

Y

₂

Y

₁

q Y '

&

$

% z

Φ

Da Φ bijektiv sein soll, folgt:

X

1

= ϕ

1−1

(Y

1

, Y

2

) X

₂

= ϕ

₂⁻¹

(Y

₁

, Y

₂

)

X = Φ

⁻¹

(Y )

Ansatz: P (Y ∈ B) = P(X ∈ Φ

⁻¹

(B)), mit Variablentransformation (→ Analysis) x

(B)

f

_Y

(y

₁

, y

₂

)

| {z }

gesucht

dy

₂

dy

₁

= x

(Φ⁻¹(B))

f

_X

(x

₁

, x

₂

)

| {z }

bekannt

dx

₂

dx

₁

= x f

_X

(ϕ

₁⁻¹

(y

₁

, y

₂

), ϕ

₂⁻¹

(y

₁

, y

₂

))

∂(ϕ1,ϕ2)

∂(x1,x2)

dy

₂

dy

₁

mit der sogenannten Funktionaldeterminante:

∂(ϕ

1

, ϕ

2

)

∂(x

₁

, x

₂

)

=

det





∂ϕ1(x1,x2)

∂x1

∂ϕ1(x1,x2)

∂x2

∂ϕ2(x1,x2)

∂x1

∂ϕ2(x1,x2)

∂x2





Dann gilt umso genauer, je kleiner B, aber auch allgemein:

f

_Y

(y

₁

, y

₂

) =





f

_X

(x

1

, x

2

)

∂ϕ1(x1,x2)

∂(x1,x2)





x1=ϕ1−1(y1,y2) x2=ϕ2−1(y1,y2)

Sonderfall l = m = 1:

f

_Y

(y) =



 f

_X

(x)

∂ϕ

∂x





x=ϕ⁻¹(y)

Beispiele

1. Beispiel: l = m = 1 X ^a (...)

³

^a Y Y = ϕ(X) = X

³

gegeben:

f

_X

(x) =

₁

b−1

a ≤ x ≤ b 0 sonst

6

-

1 b−a fX(x)

a b x

gesucht: f

_Y

(y) 1. y = ϕ(x) = x

³

2. Funktionaldeterminante:

dϕ(x) dx

= 3x

²

3. Umkehrfunktion: x = ϕ

⁻¹

(y) = √

³

y 4. Einsetzen → Dichte

⇒ f

_Y

(y) = (

₁

b−a 1 3(√³

y)²

a

³

≤ y ≤ b

³

0 sonst

6

-

fY(y)

a b x

2. Beispiel: l = 2, m = 1. Y

1

= ϕ

1

(X

1

, X

2

) = X

1

+ X

2

, Y

2

= ϕ

2

(X

1

, X

2

) = X

2

gegeben: f

X

(x

1

, x

2

), gesucht: f

Y

(y)

1. Werte: y

1

= ϕ

1

(x

1

, x

2

) = x

1

+ x

2

, y

2

= ϕ

2

(x

1

, x

2

) = x

2

2. Funktionaldeterminante

∂(ϕ

1

, ϕ

2

)

∂(x

1

, x

2

) =

∂ϕ1

∂x1

∂ϕ2

∂x2

∂ϕ2

∂x1

∂ϕ2

∂x2

=

1 1 0 1

= 1 3. Umkehrfunktion

x

₁

= ϕ

₁⁻¹

(y

₁

, y

₂

) = y

₁

− y

₂

x

₂

= ϕ

₂⁻¹

(y

₁

, y

₂

) = y

₂

4. Einsetzen → Dichte

f

Y

(y

1

, y

2

) =

f

X

(x

1

, x

2

) 1

x1=y1−y2

x2=y2

= f

X

(y

1

− y

2

, y

2

)

5. ¨ Ubergang zur Randdichte f

Y

(y) = f

Y1

(y) =

∞

Z

−∞

f

Y

(y

1

, y

2

) dy

2

=

∞

Z

−∞

f

X

(y

1

− y

2

, y

2

) dy

2

Sonderfall: x

1

, x

2

unabh¨ angig → f

_X

(x

1

, x

2

) = f

_X1

(x

1

) · f

_X2

(x

2

) f

_Y

(y) =

∞

Z

−∞

f

_X1

(y

₁

− y

₂

) · f

_X2

(y

₂

) dy

₂

= (f

_X1

∗ f

_X2

)(y)

Bei der Summation unabh¨ angiger ZGen werden ihre Dichtefunktionen gefaltet.

Konkreter Fall:

6

- 6

-

1 a

fX2(x2)

x2

a

1 a

fX1(x1)

x1

a

X

₂

X

1

a a

6

? n

+ ^a Y

- f

Y

(y) 6

1 a

Q

Q Q

Q Q

a Q 2a y

z.B. Fertigungstoleranzen von Widerst¨ anden, Ann¨ aherung an die Normalverteilung

a R a

R = (100 ± 10) Ω 90 100 110 R/Ω ^-

a R R a

R = (200 ± 20) Ω 180 200 220 R/Ω ^-

Q

Q Q

Q Q

a R R R a

R = (300 ± 30) Ω 270 300 330 R/Ω ^-

3. Beispiel: l = m = 1, aber ϕ nicht bijektiv.

X ^{a a} Y

- 6

x0

Einweggleichrichter mit Vorspannung

Y = ϕ(X) =

0 X ≤ x

₀

aX − b X > x

0

mit a, b > 0

gegeben: f

_X

(x) =

^√1

2π

e

^−12x2

gesucht: f

_Y

(y)

Betrachtung der Kennlinie:

1. P {Y < 0} = 0

2. P {Y = 0} = P {X < x

₀

} =

∞

R

−∞

f

_X

(x) dx =

^√1

2π

∞

R

−∞

e

^−12x2

dx = p

₀

(Tabelle) 3. P {Y > 0} : ϕ ist bijektiv

Werte: y = ϕ(x) = a · x + b

Funktionaldeterminante:

^∂ϕ_∂x

= a

Umkehrfunktion: x = ϕ

⁻¹

(y) =

¹_a

(y + b)

Dichte: f

_Y

(y) =

^√1

2π 1

a

e

^{−12·a12(y+b)2}

y > 0, sonst 0.

Ergebnis ist eine gemischte Dichte.

9.1.3 Vorgeschriebene Verteilungsfunktion

F

X

(x) ^a ϕ = ? ^a F

Y

(y)

l = m = 1. Gegeben: F

X

(x), gew¨ unscht: F

Y

(y).

L¨ osung unter der Voraussetzung, dass Systemabbil- dung bijektiv ist.

- 6

R R

y x

P {X < x} = P {Y < y}

F

X

(x) = F

Y

(y) F

_X

(x) = F

_Y

(ϕ(x)) ϕ(x) = F

Y−1

(F

X

(x))

Beispiel:

- f

_X

(x) 6

1 x 1

- f

_Y

(y) 6

y 1

f

_X

(x) =

1 0 < x < 1

0 sonst f

_Y

(y) =

e

^−y

y > 0

0 y ≤ 0

- F

X

(x) 6

1 x 1

"

"

"

"

"

- F

Y

(y) 6

y 1

F

_X

(x) =







0 x ≤ 0

x 0 < x < 1

1 x ≥ 1

F

_Y

(y) =

0 y ≤ 0

1 − e

^−y

y > 0

Berechnung der Umkehrfunktion F

Y

(y) = 1 − e

^−y

= z

e

^−y

= 1 − z y = ln 1

1 − z = F

_Y⁻¹

(z)

ϕ(x) = F

Y−1

(F

X

(x)) = ln 1 1 − F

_X

(x)

Praktisch kommt nur vor: 0 < x < 1, d.h. F

X

(x) = x ϕ(x) = ln 1

1 − x , 0 < x < 1 9.1.4 Erwartungswert am Systemausgang

Φ

gegeben a

a

a a X



 

  X

1

.. . X

_l

Y

1

.. . Y

_m



 

  Y

gegeben: f

X

, Φ, Y = (Y

1

, Y

2

, . . . , Y

m

) gesucht: E(Y ) = (E(Y

1

), E(Y

2

), . . . , E(Y

m

))

Y

i

= ϕ

i

(X) = ϕ

i

(X

1

, X

2

, . . . , X

l

) (i = 1, . . . , m) E(Y

1

) =

∞

Z

−∞

y

i

· f

Yi

(y

i

) dy

i

⇒ m¨ uhsam, da f

Yi

berechnet werden muss.

Einfacher gilt:

E(Y

_i

) = E(ϕ(X

₁

, . . . , X

_l

)) =

∞

Z

−∞

· · ·

∞

Z

−∞

ϕ

_i

(x

₁

, . . . , x

_l

) · f

_X

(x

₁

, . . . , x

_l

) dx

₁

. . . dx

_l

Bekannte Sonderf¨ alle

ϕ(X) = X E(ϕ(X)) = E(X) =

∞

R

−∞

xf

_X

(x) dx s. 8.1.1

ϕ(X) = X

²

E(ϕ(X)) = E(X

²

) =

∞

R

−∞

x

²

f

_X

(x) dx s. 8.1.1

ϕ(X) = X

₁

X

₂

E(ϕ(X

₁

, X

₂

)) = E(X

₁

X

₂

) =

∞

R

−∞

∞

R

−∞

x

₁

x

₂

f

_X

(x

₁

, x

₂

) dx

₁

dx

₂

s. 8.1.2 9.2 Abbildungen zuf¨ alliger Prozesse

9.2.1 Determinierte Prozessabbildung Definitionen:

1. X : Menge aller l-dimensionalen Eingabevektorprozesse, X = (X

₁

, X

₂

, . . . , X

_l

) Y : Menge aller m-dimensionalen Ausgabevektorprozesse, Y = (Y

₁

, Y

₂

, . . . , Y

_m

) 2. Prozessabbildung: Φ : X → Y, Φ(X) = Y

3. Determinierte Prozessabbildung: Φ(x) = y

(Ausgaberealisierung ist durch Eingaberealisierung festgelegt)

4. Statische determinierte Prozessabbildung: Φ(X(t)) = Y (t) oder Φ(x(t)) = y(t)

⇒ Rechenmethoden aus 9.1 k¨ onnen auf Prozesse ¨ ubertragen werden

9.2.2 Transformation der Dichtefunktion

Prozess X

mit f

_X

Y Prozess

mit f

_Y

= ?

a ϕ a

Sei zun¨ achst l = m = 1.

Y = ϕ(X), ϕ sei bijektiv 1. Schritt: eindimensionale Dichte f

_Y

(y, t) = ?. t fest: Y (t)

| {z }

ZG

= ϕ(X(t)

| {z }

ZG

), y(t) = ϕ(x(t)).

Damit Situation wie in 9.1.2: f

_Y

(y) =

^˛fX(x)

˛

˛

dϕ(x) dx

˛

˛

˛

!

x=ϕ⁻¹(y)

⇒ f

_Y

(y, t) =

^f˛X(x,t)

˛

˛

dϕ(x) dx

˛

˛

˛

!

x=ϕ⁻¹(y)

Schritt 2: f

Y

(y

1

, t

1

; y

2

, t

2

) = ?

t

₂

fest:

t

₁

fest:

X(t

2

) X(t

1

) a a

ϕ ϕ

a a

Y (t

2

) Y (t

1

)

y

1

= ϕ(x

1

) = ϕ

1

(x

1

, x

2

) y

2

= ϕ(x

2

) = ϕ

2

(x

1

, x

2

)

Mit 9.1.2.:

f

Y

(y

1

, y

2

) =





f

X

(x

1

, x

2

)

∂(ϕ1,ϕ2)

∂(x1,x2)





x1=ϕ1−1(y1,y2) x2=ϕ2−1(y1,y2)

, wobei

∂(ϕ

₁

, ϕ

₂

)

∂(x

₁

, x

₂

) =

∂ϕ1

∂x1

∂ϕ1

∂x2

∂ϕ2

∂x1

∂ϕ2

∂x2

=

∂ϕ1

∂x1

0 0

^∂ϕ_∂x²

2

= ∂ϕ

₁

∂x

₁

· ∂ϕ

₂

∂x

₂

⇒ f

_Y

(y

₁

, t

₁

; y

₂

, t

₂

) =





f

_X

(x

₁

, t

₁

; x

₂

, t

₂

)

∂ϕ(x1)

∂x1

·

^∂ϕ(x_∂x²⁾

2





x1=ϕ⁻¹(y1) x2=ϕ⁻¹(y2)

Schritt 3:

f

Y

(y

1

, t

1

; . . . ; y

n

, t

n

) =





f

X

(x

1

, t

1

; . . . ; x

n

, t

n

)

∂ϕ(x1)

∂x1

· · ·

^∂ϕ(x_∂xⁿ⁾

n





xi=ϕ⁻¹(yi) i=1,...,n

Beispiel: (Fortsetzung von 9.1.2)

X ^a (...)

³

^a Y Y = ϕ(X) = X

³

ist bijektiv 1. t fest: y = ϕ(x) = x

³

Funktionaldeterminante:

^dϕ(x)_dx

= 3x

²

Umkehrfunktion: x = ϕ

⁻¹

(y) = √

³

y

⇒ Dichte: f

Y

(y, t) =

^f˛X(x,t)

˛

˛

dϕ(x) dx

˛

˛

˛

!

x=ϕ⁻¹(y)

=

fX(x,t) 3x²

x=√³

y

=

^fX(3

√y,t) 3³

√

y²

2. t

₁

, t

₂

fest.

y

1

= ϕ(x

1

) = x

13 ∂ϕ(x1)

∂x1

= 3x

12

x

1

= ϕ

⁻¹

(y

1

) = √

³

y

1

y

2

= ϕ(x

2

) = x

23 ∂ϕ(x2)

∂x2

= 3x

22

x

2

= ϕ

⁻¹

(y

2

) = √

³

y

2

f

_y

(y

₁

, t

₁

; y

₂

, t

₂

) =

f

_X

(x

₁

, t

₁

; y

₂

, t

₂

) 3x

₁²

· 3x

₂²

x1=√³ y1

x2=√³ y2

= f

_X

( √

³

y

₁

, t

₁

; √

³

y

₂

, t

₂

) 9( √

³

y

₁

y

₂

)

²

n-dimensionale Dichte analog.

9.2.3 Mittelwert und Korrelationskoeffizient am Systemausgang

Prozess X a ϕ a Prozess Y gesucht: m

Y

(t), s

Y

(t

1

, t

2

)

Unter 9.1.4:

E(Y

_i

) = E(ϕ(X

₁

, . . . , X

_l

)) =

∞

Z

−∞

· · ·

∞

Z

−∞

ϕ

_i

(x

₁

, . . . , x

_l

) · f

_X

(x

₁

, . . . , x

_l

) dx

₁

. . . dx

_l

Daraus folgt speziell:

m

Y

(t) = E(Y (t)) = E(ϕ(X(t))) =

∞

Z

−∞

ϕ(x)f

X

(x, t) dx

s

_Y

(t

₁

, t

₂

) = E(Y (t

₁

)Y (t

₂

)) = E(ϕ(X(t

₁

))ϕ(X(t

₂

)))

=

∞

Z

−∞

∞

Z

−∞

ϕ(x

1

)ϕ(x

2

) · f

X

(x

1

, t

1

; x

2

, t

2

) dx

1

dx

2

9.3 Stochastische statische Systeme 9.3.1 Stochastische Systemabbildung

ZG X

stochastische

ZG Y

Systemabb.

a a

Eingabe x (fest) ⇒ ZG Y mit von x abh.

Dichte f (y|x)

Die Systemabbildung ϕ heißt stochastisch, wenn f(y|x) = f

_(X,Y)

(x, y)

f

_X

(x) .

Folgerungen:

1. Dichte am Ausgang:

f

_Y

(y) =

∞

Z

−∞

f

_(X,Y)

(x, y) dx =

∞

Z

−∞

d(y|x) · f

_X

(x) dx

Die stochastische Systemabbildung wird durch

f (·|·) dargestellt.