1) Wir betrachten noch einmal das folgende Anfangsrandwertproblem f¨ ur die eindimen- sionale W¨ armeleitungsgleichung:

Ubungsaufgaben: Partielle Differentialgleichungen I ¨ Serie 5

Prof. Dr. H.-Ch. Grunau , PD Dr. B. Rummler Wintersemester 2020/21

1) Wir betrachten noch einmal das folgende Anfangsrandwertproblem f¨ ur die eindimen- sionale W¨ armeleitungsgleichung:



 

 

u _t − u _xx = 0 t > 0, x ∈ (0, π), u(t, 0) = u(t, π) = 0 t > 0,

u(0, x) = ϕ(x) x ∈ [0, π].

Sei ϕ ∈ C ² ([0, π]) und erf¨ ulle die Kompatibilt¨ atsbedingungen ϕ(0) = ϕ(π) = ϕ ⁰⁰ (0) = ϕ ⁰⁰ (π) = 0. Zeigen Sie, dass das Anfangsrandwertproblem eine L¨ osung

u ∈ C ⁰ ([0, ∞) × [0, π]) ∩ C ^∞ ((0, ∞) × [0, π]) besitzt.

Hinweis: Beachten Sie, dass bei k ∈ N die Funktion v _k (t, x) := exp(−k ² t) · sin(kx),

die Differentialgleichung und die Randbedingungen erf¨ ullt. Setzen Sie ϕ zun¨ achst ungerade und dann 2π-periodisch als C ² -Funktion auf ganz R fort. Betrachten Sie die Fourierreihe dieser Funktion und finden Sie so eine geeignete Folge (a _k ) k∈ N , so dass die Funktion

u(t, x) :=

∞

X

k=1

a _k v _k (t, x) die gew¨ unschten Eigenschaften hat.

2) Sei Ω ⊂ E ⁿ (n ≥ 3) offen, x _o ∈ ∂Ω sei Randpunkt und u ∈ C ² (Ω) ∩ C ⁰ (Ω) sei subharmonisch, d.h. −∆u ≤ 0 in Ω. Außerdem nehmen wir an, dass

(i) u < 0 in Ω und u(x _o ) = 0, u ist in x _o differenzierbar, (ii) es existiert eine Kugel B _R (y) ⊂ Ω mit x _o ∈ ∂B _R (y).

Zeigen Sie, dass unter den obigen Voraussetzungen gilt:

∂u

∂ν (x _o ) > 0.

Hinweis: Man betrachte auf A := B _R (y) \ B _ρ (y) (0 < ρ < R) die Funktion v _ε (x) = ε

1

|x−y|

− _R

¹

mit hinreichend kleinem ε > 0 und wende das schwache Maxi- mumprinzip auf w = u + v _ε an.

- - - – - - - -

Bitte wenden!!!

3) Sei Ω ⊂ E ⁿ ein beschr¨ anktes Gebiet, welches im Streifen {x ∈ E ⁿ : 0 ≤ x ₁ ≤ d} liegt.

F¨ ur u ∈ C ² (Ω) ∩ C ⁰ (Ω) gelte −∆u + c(x) · u ≤ 0 mit einer Funktion c( . ) < 0.

(a) Zeigen Sie f¨ ur c = −1 unter der Bedingung d ∈ (0, log 2) die folgende Ab- sch¨ atzung

sup

Ω

u ≤ 1

2 − e ^d sup

∂Ω

|u|.

(b) K¨ onnen Sie eine ¨ ahnliche Absch¨ atzung auch f¨ ur ein allgemeines c( . ) < 0 geben?

Begr¨ unden Sie!

Hinweis zu (a): Betrachten Sie die F¨ alle sup _Ω u ≤ 0 und sup _Ω u > 0 getrennt.

Im zweiten Fall setze man v = u − sup _∂Ω u − (e ^d − e ^x

) sup _Ω u und zeige −∆v ≤ 0.

4) Sei Ω ⊂ E ⁿ beschr¨ ankt und offen. F¨ ur T > 0 bezeichne Q _T den Zylinder (0, T ] × Ω.

(Zeit-Raum-Zylinder) Gegeben seien eine positiv definite Matrix A = [a _j,k ] ⁿ _j,k=1 und die Fkt. u ∈ C ² (Q _T ) ∩ C ⁰ (Q _T ) mit

∀ (t, x) ∈ Q T : u t (t, x) −

n

X

j,k=1

a j,k

∂ ² u

∂x _j ∂x _k (t, x) ≥ 0. (∗) Zeigen Sie, dass u sein Minimum auf dem parabolischen Rand ∂ _p Q _T := ({0} × Ω) ∪ ([0, T ] × ∂Ω) annimmt, d.h.

min

(t,x)∈Q

u(t, x) = min

(t,x)∈∂

Q

u(t, x).

Hinweis: Nehmen Sie zun¨ achst an, dass in (∗) die strikte Ungleichung gilt.

Betrachten Sie im allgemeinen Fall u _ε (t, x) = u(t, x) − ε exp(x ₁ ).

5) Betrachten Sie f¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet Ω ⊂ E ⁿ und ein Randdatum ϕ : ∂ Ω → E ¹ eine L¨ osung u ∈ C ² (Ω) des Dirichlet-Problems f¨ ur die Minimalfl¨ achengleichung



 



 



− div





∇u q

1 + ||∇u|| ² _E



 = 0 f¨ ur x ∈ Ω,

u = ϕ f¨ ur x ∈ ∂ Ω.

Schreiben Sie den nichtlinearen Operator L(u) := − div





∇u q

1 + ||∇u|| ²

E



 formal als linearen Operator L(u)(x) = − P n

j,k=1 a _j,k (x)u _x

_x

(x) mit Koeffizienten a _j,k (x)( die nat¨ urlich von der unbekannten L¨ osung u abh¨ angen.) Finden Sie Elliptizit¨ atskonstan- ten f¨ ur L(u), die Sie aus der Vorlesung mit den Bezeichnungen λ bzw. Λ kennen.

Zeigen Sie:

∀x ∈ Ω : min

∂Ω ϕ ≤ u(x) ≤ max

∂Ω ϕ.