¨Ubungsblatt Aufgabe 1: Betrachten Sie die W¨armeleitungsgleichung mit periodischen Randbedingungen ∂tq(x, t

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

SINADAHM

10. OKTOBER2019

Numerische Verfahren hyperbolischer Erhaltungsgleichungen – 1. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1: Betrachten Sie die W¨armeleitungsgleichung mit periodischen Randbedingungen

∂_tq(x, t) = κ∂_xxq(x, t) (κ >0), q(x,0) = q0(x), ∀x∈R, q(x+ 1, t) = q(x, t), ∀x∈R.

(1)

Zur Diskretisierung der W¨armeleitungsgleichung auf dem Intervall [0,1] betrachten Sie ¨aquidistante St¨utzstellen 0 =x−1/2, ..., xI−1/2 = 1 mitxi−1/2=ih,h= 1/I,I ∈N, und eine konstante Zeitschritt- weite k. Die Approximation des Zellmittelwertes ist gegeben durch

Qⁿ_i := 1 h

Z x_i+1/2

xi−1/2

q(x, nk)dx.

Die diskrete Periodizit¨atsbedingung hat die FormQⁿ_i+1 =Qⁿ_i ∀i, n.

(a) Implementieren Sie die folgenden numerischen Verfahren:

• Zentrierte Differenzen und expliziter Euler:

Qⁿ⁺¹_i =Qⁿ_i + k

h²κ(Qⁿ_i−1−2Qⁿ_i +Qⁿ_i+1)

• Zentrierte Differenzen und Trapezregel (Crank-Nicolson):

Qⁿ⁺¹_i =Qⁿ_i + k

2h²c(Qⁿ_i−1−2Qⁿ_i +Qⁿ_i+1+Qⁿ⁺¹_i−1 −2Qⁿ⁺¹_i +Qⁿ_i+1+ 1) Zur Bestimmung des Startwertes Q⁰_i k¨onnen Sie die Mittelpunktregel verwenden.

(b) Betrachten Sie das AWP (1) mit Koeffizientκ= 0.04, Anfangsdaten q(x,0) =

(0 :x∈[0,1]\[0.6, .08]

1 : 0.6≤x≤0.8

und der Periodizit¨atsbedingungq(t, x+ 1) =q(t, x) ∀x∈R, t∈R⁺.

Wenden Sie die beiden Verfahren auf dieses AWP an und stellen Sie die numerischen Ergebnisse zum Zeitpunkt t= 1 und t= 2 graphisch dar. Verwenden Sie zur Diskretisierung verschiedene Gitterweiten, z.B.I = 50, I = 100 undI = 200.

Aufgabe 2: Betrachten Sie auf Ω =R×[0,∞) die Advektionsgleichung mit periodischen Rand- bedingungen

∂tq(x, t) +c∂xq(x, t) = 0, c >0,

q(x,0) = q0(x), ∀x∈R,

q(x+ 1, t) = q(x, t), ∀x∈R.

(2)

Zur Diskretisierung der Advektionsgleichung auf dem Intervall [0,1] betrachten Sie ¨aquidistante St¨utz- stellen 0 =x_−1/2, ..., x_I−1/2 = 1 mit x_i−1/2 =ih,h= 1/I,I ∈N, und eine konstante Zeitschrittweite k. Die Approximation des Zellmittelwertes ist gegeben durch

Qⁿ_i := 1 h

Z xi+1/2

xi−1/2

q(x, nk)dx.

Die diskrete Periodizit¨atsbedingung hat die FormQⁿ_i+1 =Qⁿ_i ∀i, n.

(a) Implementieren Sie die folgenden numerischen Verfahren in Erhaltungsform:

• Das Upwind-Verfahren:

Qⁿ⁺¹_i =Qⁿ_i −k

hc(Qⁿ_i −Qⁿ_i−1)

• Das implizite Upwind-Verfahren:

Qⁿ⁺¹_i =Qⁿ_i − k

hc(Qⁿ⁺¹_i −Qⁿ⁺¹_i−1)

Die Mittelpunktregel kann zur Bestimmung der Startwerte Q⁰_i verwendet werden.

(b) Betrachten Sie das AWP (2) mit Advektionsgeschwindigkeit c= 2, Anfangsdaten q(x,0) =

(0 :x∈[0,1]\[0.6, .08]

1 : 0.6≤x≤0.8

und der Periodizit¨atsbedingungq(t, x+ 1) =q(t, x) ∀x∈R, t∈R⁺.

Wenden Sie das Upwind-Verfahren und das implizite Upwind-Verfahren auf dieses AWP an und stellen Sie die numerischen Ergebnisse der beiden Verfahren zum Zeitpunktt= 1 undt= 2 gemeinsam mit der exakten L¨osung graphisch dar. Verwenden Sie zur Diskretisierung verschie- dene Gitterweiten, z.B. I = 50, I = 100 und I = 200. W¨ahlen Sie die Zeitschritte so, dass k= 0.1h/c,k= 0.5h/c,k= 0.9h/cund k=h/cgilt.

(c) Betrachten Sie das AWP (2) mit Advektionsgeschwindigkeit c= 1, Anfangsdaten q(x,0) =e^{−β(x−0.5)2} ·sin(f x), β= 100, f = 80 f¨urx∈[0,1], und der Periodizit¨atsbedingungq(x+ 1, t) =q(x, t) ∀x∈R, t∈R⁺.

Stellen Sie auch f¨ur diese Anfangsdaten die numerische L¨osung der beiden Verfahren zum Zeit- punkt t= 1 zusammen mit der exakten L¨osung graphisch dar.

Aufgabe 3: Betrachten Sie die Advektions-Diffusionsgleichung

∂_tq(x, t) +c∂_xq(x, t) = ∂_xxq(x, t) ∀x∈R, t >0, >0 q(x,0) =q0(x) = e^−βx2 ∀x∈R

(3) und bestimmen Sie die analytische L¨osung.

Hinweis: Nach einer Fouriertransformation der W¨armeleitungsgleichung k¨onnen Sie die folgende gew¨ohn- liche Differentialgleichung l¨osen:

ˆ

qτ(ζ, τ) = −ζ²q(ζ, τˆ ) ζ ∈R, τ >0, >0 ˆ

q(ζ,0) = qˆ0(ζ) ζ ∈R. Abgabe am 17. Oktober 2019 am Beginn der Vorlesung.

Besprechung in der ¨Ubung am 21. Oktober 2019.