MATHEMATISCHESINSTITUT
PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL
DAVIDKERKMANN
25. APRIL2019
12 13 14 15 Σ
NAME: MAT-NR.:
Numerik gew¨ohnlicher Differentialgleichungen – 4. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 12: (6 Punkte)
Wir betrachten auf [0,1] das Randwertproblem
−εu00(x) +b(x)u0(x) +c(x)u(x) =f(x) auf 0< x <1 u(0) = 0
u(1) = 0
mit 0< ε1 und Funktionen c, b: [0,1]→Rmitc(x)≥λ >0 f¨ur alle x∈[0,1].
F¨ur die Diskretisierung benutzen wir ein ¨aquidistantes Gitter mith= 1/(m+ 1). Zeigen Sie, dass das Differenzenverfahren
−εUi+1−2Ui+Ui−1
h2 +bi
h
Ui−Ui−1 : bi ≥0 Ui+1−Ui : bi <0
+ciUi =fi, U0 =Um+1 = 0 bez¨uglich der k · k∞-Norm gleichm¨aßig inεstabil ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Koeffizientenmatrix des Finiten-Differenzen-Verfahrens diagonaldomi- nant ist. Wie k¨onnen Sie daraus die Stabilit¨atsaussage folgern?
Aufgabe 13: (6 Punkte)
Betrachten Sie die in der Vorlesung vorgestellte Pendelgleichung θ00(t) =−sin(θ(t)) auf 0< t <2π,
θ(0) =α, θ(2π) =α.
W¨ahlen Sie ein ¨aquidistantes Gitter und betrachten Sie die Diskretisierung 1
h2(θi−1−2θi+θi+1) + sin(θi) = 0, i= 1, ..., m, θ0 =α,
θm+1 =α.
Dies ist ein nichtlineares Gleichungssystem der FormG(θ) = 0,G:Rm→Rm. Implementieren Sie f¨ur diese Gleichung das Newton-Verfahren
θ[k+1]=θ[k]+δ[k], J(θ[k])δ[k]=−G(θ[k]),
wobei θ[k] eine N¨aherung an θ im Schritt k darstellt und J die Jacobi-Matrix der Funktion G ist.
W¨ahlen Sie die konstante Startl¨osung θi[0] = 0.7 ∀i = 0, ..., m+ 1. Plotten Sie ihre L¨osung nach einigen Newton-Schritten und geben Sie||δ[k]||∞= maxk(|δ[k]|) aus. Wie Sie in der Vorlesung gesehen haben, besitzt dieses Randwertproblem keine eindeutige L¨osung. W¨ahlen Sie mindestens eine weitere Startl¨osung, sodass sich eine andere L¨osung ergibt, und plotten Sie auch diese.
b.w.
Aufgabe 14: (6 Punkte)
Betrachten Sie das Randwertproblem
u00(x) =f(x) auf 0< x <1 u0(0) =σ1
u0(1) =σ2.
(a) Bestimmen Sie eine analytische Bedingung, unter der es mindestens eine L¨osung des Randwert- problems gibt.
(b) Zur numerischen Approximation von L¨osungen dieses Randwertproblems benutzen wir eine Dis- kretisierung der Form AU =F:
1 h2
−h h
1 −2 1
1 −2 1
1 −2 1
. .. ... ...
1 −2 1
1 −2 1
h −h
U0 U1 U2
U3 ... Um−1
Um Um+1
=
σ1+h2f(x0) f(x1) f(x2) f(x3)
... f(xm−1)
f(xm)
−σ2+h2f(xm+1)
.
Bestimmen Sie auch hierzu eine Bedingung, wann es mindestens eine L¨osung des Gleichungssys- tems gibt.
(c) Erkennen Sie eine Beziehung zwischen den beiden Bedingungen?
Aufgabe 15: (6 Punkte)
Beweisen Sie Lemma 2.17 der Vorlesung.
Abgabe am 2. Mai 2019 am Beginn der Vorlesung.
Abgabe der Programmieraufgaben bis zum 2. Mai 2019 um 10:30 an david.kerkmann@hhu.de.
Besprechung in den ¨Ubungen am 7. Mai 2019.
![konstanter Faktor [C · f (x)] 0 = C · f 0 (x) algebr. Summe [f (x) ± g(x)] 0 = f 0 (x) ± g 0 (x) Produktregel [u(x) · v(x)] 0 = u 0 v + v 0 u Quotientenregel [ u(x)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)