Wir betrachten die Abbildung f : R

(1)

Prof. Dr. Helmut Lenzing Paderborn, den 12. Januar 2004 Markus Diek¨amper, Andrew Hubery, Marc Jesse Abgabe bis 20. Januar 2004, 11 Uhr

Ubungen zur Vorlesung ¨ Lineare Algebra I

WS 2003/2004 Blatt 12

AUFGABE 1 (4 Punkte):

Wir betrachten die Abbildung f : R

⁵

−→ R

⁵

,





 x

1

x

2

x

3

x

4

x

5





 7→







x

1

+ 2x

2

+ x

3

+ 2x

4

+ x

5

x

1

+ 2 x

2

+ 4 x

3

+ 8 x

4

+ 16 x

5

6x

1

+ 8x

2

+ 6x

3

+ 8x

4

+ 6x

5

x

1

+ 2x

2

+ 4x

3

+ 8x

4

+ 16x

5

7 x

1

+ 10 x

2

+ 7 x

3

+ 10 x

4

+ 7 x

5





 .

a) Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung ist.

b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Kernf und Bild f .

AUFGABE 2 (4 Punkte):

Wir betrachten Vektorr¨aume V und W der Dimension n bzw. m . Beweisen Sie:

a) F¨ ur n ≤ m gibt es eine injektive lineare Abbildung von V nach W . b) F¨ ur n ≥ m gibt es eine surjektive lineare Abbildung von V nach W .

AUFGABE 3 (4 Punkte):

a) Gegeben seien zwei lineare Abbildungen

f : R

⁴

−→ R

³

,





 x

1

x

2

x

3

x

4





 7→





x

1

+ 3x

2

− x

3

− 4x

4

3x

1

+ 2x

2

− 3x

3

+ 2x

4

−2x

1

− 3x

2

+ 3x

3

+ 2x

4





und

g : R

³

−→ R

⁴

,



 x

1

x

2

x

3



 7→







x

1

+ 3 x

2

− 2 x

3

3x

1

+ 2x

2

− 3x

3

−x

1

− 3x

2

+ 3x

3

−4 x

1

+ 2 x

2

+ 2 x

3





 .

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen von f, g und g ◦ f .

(2)

b) Gegeben sei die Darstellungsmatrix





1 3 5 7 11

2 4 8 16 32 3 9 27 81 243



 einer linearen Abbildung

f : R

⁵

−→ R

³

. Berechnen Sie f ( x ) mit x =





 1

−1 2

−2 1





 .

AUFGABE 4 (4 Punkte):

Geben sei ein endlichdimensionaler Vektorraum V und eine lineare Abbildung f : V −→ V mit f ◦ f = f . Zeigen Sie, dass dann die folgenden Aussagen gelten:

a) V = Kern f + Bild f b) Kernf ∩ Bild f = {0}.

Geben Sie konkret eine lineare Abbildung f : V −→ V mit f ◦ f = f an, die zus¨atzlich Kern f 6= {0} 6= Bild f erf¨ ullt.

Abgabeort: In den orangen mit den Nummern 10 oder 15 versehenden K¨asten auf dem

D1-Flur.