Prof. Dr. Helmut Lenzing Paderborn, den 1. Dezember 2003 Markus Diek¨amper, Andrew Hubery, Marc Jesse Abgabe bis 9. Dezember 2003, 11 Uhr

(1)

Prof. Dr. Helmut Lenzing Paderborn, den 1. Dezember 2003 Markus Diek¨amper, Andrew Hubery, Marc Jesse Abgabe bis 9. Dezember 2003, 11 Uhr

Ubungen zur Vorlesung ¨ Lineare Algebra I

WS 2003/2004 Blatt 8

AUFGABE 1 (4 Punkte):

Seien a

1

, . . . , a

n

paarweise verschiedene reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass das System der folgenden Vektoren





 1 1 ...

1 



 ,





 a

1

a

2

...

a

n





 ,





 a

²1

a

²2

...

a

²_n





 , . . . ,





 a

ⁿ⁻¹1

a

ⁿ⁻2 ¹

...

a

ⁿ⁻_n ¹







linear unabh¨angig ist.

Hinweis: Sie k¨ onnen ohne Beweis verwenden, dass eine reelle Polynomfunktion f 6 = 0 vom Grad kleiner gleich n h¨ ochstens n Nullstellen hat.

AUFGABE 2 (4 Punkte):

Sei p eine Primzahl. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

a) Die Zahl √ p ist nicht rational.

b) Die Menge Q( √ p) := { a + b √ p | a, b ∈ Q } bildet einen K¨orper.

Sie d¨ urfen verwenden: Falls p ein Produkt teilt, so teilt p auch mindestens einen Faktor.

AUFGABE 3 (4 Punkte):

Wir betrachten die Menge F

3

:= { 0, 1, 2 } und versehen diese wie folgt mit einer Addition und einer Multiplikation

+

3

: F

3

× F

3

−→ F

3

, (x, y) 7→

½ x + y f¨ ur 0 ≤ x + y < 3 x + y − 3 f¨ ur x + y ≥ 3

·

³

: F

3

× F

3

−→ F

3

, (x, y) 7→

½ x · y f¨ ur x 6 = 2 oder y 6 = 2

1 sonst

a) Zeigen Sie, dass (F

3

, +

3

) den Axiomen (A1)-(A4) gen¨ ugt.

b) Beweisen Sie, dass ( F

3

, ·

³

) die Forderungen (M1)-(M4) erf¨ ullt.

(2)

AUFGABE 4 (4 Punkte) :

a) Sei V

n

die Menge aller Polynomfunktionen f mit f (x) = P

n

i=0

a

i

x

ⁱ

¨ uber den reellen Zahlen vom Grad kleiner gleich n. Zeigen Sie, dass V

n

ein R-Vektorraum ist.

b) Zu gegebenen a

1

, a

2

, a

3

∈ R betrachten wir folgende Teilmengemenge des R

³

W :=









 x

1

x

2

x

3



 | a

1

+ a

2

x

2

+ a

3

x

²3

= 0





 .

F¨ ur welche a

1

, a

2

, a

3

bildet W bez¨ uglich der koordinatenweisen Operationen einen R- Vektorraum?

Abgabeort: In den orangen mit den Nummern 10 oder 15 versehenden K¨asten auf dem

D1-Flur.