Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende

Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtsstudierende

11. Einheit, 14.01.2011

(48) Beweise folgenden Satz (Stetige Abh¨angigkeit von den Anfangswerten).

SeienD⊂Rⁿ⁺¹ undf :D→Rⁿ stetig inD, lipschitzstetig inxgleichm¨aßig intmit der Lipschitzkonstante L > 0. Seien weiter x, y : [t₀, t₀+a] → Rⁿ, a > 0 L¨osungen von

x⁰ =f(x, t) t ≥t0

mit Anfangswerten x(t₀) =x₀ und y(t₀) =y₀, wobei (t₀, x₀),(t₀, y₀)∈D.

Dann gilt

|x(t)−y(t)| ≤ |x₀−y₀|e^L(t−t0), t∈[t₀, t₀+a].

Hinweis: Verwende das Lemma von Gronwall.

(49) Seien t, s∈R und A, B ∈R^n×n. Zeige, dass f¨ur die Matrix-Exponentialfunktion gilt (a) e^Ate^As =e^A(t+s) =e^Ase^At

(b) Wenn A und B kommutieren, dann gilte^A+B =e^Ae^B. (50) Gegeben sei die Differentialgleichung

y⁰(t) = 1 t

1 2t² 0 1

y(t) +e^−t 2t

t+1 t

mit y∈R² und t >0.

(a) Bestimme ein Fundamentalsystem und eine Fundamentalmatrix Y(t).

(b) Bestimme die L¨osung der Gleichung mit Anfangswert y(t₀) = y₀, t₀ > 0. Hin- weis: Verwende Satz (4.30) aus der Vorlesung.

(51) Bestimme die L¨osung der Differentialgleichung

x⁰(t) =Ax(t) x(0) =x₀ mit x∈R³, t≥0 und

A=





3 2 −2 0 1 0 0 0 1





in der Form x(t) =e^Atx₀. Hinweis: Transformiere die Matrix auf Diagonalform.

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(52) Bestimme die L¨osung der Differentialgleichung

x⁰(t) =Ax(t) x(0) =x₀ mit x∈R³, t≥0 und

A=





0 −2 −1

1 2 1

0 1 1





in der Form x(t) = e^Atx₀. Hinweis: Transformiere das System auf Jordansche Nor- malform.

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