Ubungen zu Analysis I (f¨ ¨ ur Mathematiker)

MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN Prof. Dr. H.-D. Donder

WS 09/10 Blatt 5 23.11.09

Ubungen zu Analysis I (f¨ ¨ ur Mathematiker)

1. Sei 0≤q <1. Sei (a_n)_n∈N eine Folge mit

|a_n+2−a_n+1| ≤ q· |a_n+1−a_n| f¨urn ∈N. Zeigen Sie, dass (a_n)_n∈N konvergent ist.

(4 Punkte)

2. Sei die Folge (an)n∈N definiert durch

a₀ = 1, a_n+1 = 2 +a_n 1 +an

Zeigen Sie, dass die Folge (a_n)_n∈N konvergent ist, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

(4 Punkte) 3. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz oder Divergenz

(a) P∞ k=0

k!

k^k (b)

P∞ k=0

k+4 k²+3k+1

(c) P^∞

k=1

(−1)^{k √1}

k (d) P^∞

k=1

2k⁴+1 3k⁴+k²

2k

(4 Punkte) 4. Zeigen Sie, dass es zu jeder reellen Zahl 0 < a ≤ 1 eine Folge nat¨urlicher Zahlen 1 <

m0 < m1 < m2 <· · · gibt, so dass gilt

∞

X

k=0

1

m_k = a

(4 Punkte)

Abgabetermin: Montag, den 30. November 2009, 14.30 Uhr (Gekennzeichneter ¨Ubungskasten im 1. Stock vor der Bibliothek).