¨Ubungen zu H¨oherer Analysis f¨ur Lehramtstudierende

Ubungen zu H¨ ¨ oherer Analysis f¨ ur Lehramtstudierende

1. Einheit, 08.10.2010

Ein paar Beispiele zur Einstimmung ...

Sei X =R² und d_{N Y} (die New-York Metrik) definiert durch d_{N Y}(x, y) = |x₁−y₁|+|x₂−y₂| x= (x₁, x₂), y = (y₁, y₂)∈R².

(1) (a) Zeige, dass d_{N Y} tats¨achlich eine Metrik ist.

(b) Bezeichne dE die euklidische Metrik. Zeige, dass stets gilt:

d_E(x, y)≤d_{N Y}(x, y)

(2) (a) Berechne in (R², d_{N Y}) den Umfang des Einheitskreises (d.h. der Menge aller Punkte, die vom Ursprung den Abstand eins haben).

(b) In (R², d_E) gilt: Das Verh¨altnis zwischen Umfang eines Kreises und Durchmesser ist gleichπ. Gilt eine solche Beziehung auch in der New-York Metrik? Wenn ja, mit welcher Konstante?

(3) Angenommen in New York g¨abe es nur zwei Schulen. Wie m¨usste die Grenze zwi- schen den Schulbezirken gezogen werden, so dass der Schulweg f¨ur jedes Kind so kurz wie m¨oglich ist? Aufgrund der Stadtgeometrie bietet es sich an, dieses Problem ma- thematisch in (R², d_{N Y}) zu l¨osen. Schule A habe die Koordinaten (−6,−1), Schule B (−3,3).

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